TKK / Matematiikan laitos / opetus /

Mat-1.3345 Differentiaaliyhtälöiden inversio-ongelmat (5 op), syksy 2006

Kurssin aihepiiri: Inversio-ongelmat ovat täsmällisen matemaattisen analyysin ala, jonka tutkimukset kuuluvat milloin puhtaan, milloin sovelletun matematiikan alaan. Yleensä inversio-ongelmilla tarkoitetaan tuntemattomien rakenteiden selvittämistä epäsuorilla mittauksilla. Tyypillinen inversio-ongelma on johtavuusyhtälön käänteisongelma, jota lääketieteellisissä sovelluksissa kutsutaan impedanssitomografiaksi. Käytännössä ongelma on seuraava: Halutaan selvittää tuntemattoman kappaleen rakenne tasavirtamittauksilla, joita tehdään kappaleen pinnalla. Kappaleen pinnalle syötetään erilaisia sähkövirtakuvioita, ja virran syöttämiseen tarvittava energia mitataan. Tutkittavana kohteena voi olla esimerkiksi ihmisen kudokset, lentokoneen runko tai maaperä. Matemaattisesti tämä inversio-ongelma vastaa osittaisdifferentiaaliyhtälön kertoimien määräämistä, kun yhtälön kaikkien mahdollisten ratkaisuiden reuna-arvot ja niiden normaaliderivaatat reunalla tunnetaan.

Kurssin sisältö: Kurssi keskittyy analyysiin liittyvien inversio-ongelmien perusteisiin ja tomografiamenetelmiin. Kurssilla esitellään myös useampiulotteisia inversio-ongelmia ja kuvantamiseen liittyviä kysymyksiä.

Esitiedot: Mat-1.015 Modernin analyysin perusteet ja Mat-1.140 Funktionaalianalyysin perusteet

Luennot: ke 12--14 ja pe 12--14, U345 (I periodilla alkaen 8.9.2006 ja II periodilla 8.11 alkaen), professori Matti Lassas, e-mail: Matti.Lassashut.fi, Y319, p. 451 3069.
Huom! Perjantaina 13.10 ei ole luentoa!

Luentomuistiinpanot:
Kopiot luentomuistiinpanoista löytyvät myös matematiikanlaitoksen kirjastosta.
Sivut 1-22
Sivut 23-36
Sivut 37-45
Sivut 46-63
Lisämateriaali inversio-ongelmista (Bal)
Lisämateriaali distribuutioista ja muusta
Lisämateriaali yksiulotteisista inversio-ongelmista (Katchalov-Kurylev-Lassas)

Tentti: Kurssin tentti järjestetään tiistaina 19.12. klo 13-16 salissa K.

Tenttialue: Luentomuistiinpanoista distribuutiot ja Sobolev-avaruudet, Bal luvut 1.3-1.4, 2.1-2.2 ja 3.1-3.2 sekä Katchalov-Kurylev-Lassas luvut 1.1-1.3.

Harjoitukset: ke 14--16 U345 Assistentti Tapio Helin, e-mail: thelinmath.hut.fi, U303.

Harjoitustehtävät ovat saatavissa myös assistentin ovenpielessä olevasta kuoresta. Opiskelijat ratkaisevat tehtävät itsenäisesti kotona, ja ratkaisuja tarkastellaan harjoitustunnilla. Tehdyistä harjoitustehtävistä annetaan pisteitä, jotka huomioidaan arvostelussa. Matematiikan laitoksen kirjastossa sijaitsevaan kurssimappiin toimitetaan viikoittain harjoitusten ratkaisut. Harjoituksia on 7 kierrosta.

Laskuharjoituspisteet voi tarkistaa täältä.

Harjoitustehtävät:
Kierros 1 ps pdf
Kierros 2 ps pdf
Kierros 3 ps pdf
Kierros 4 ps pdf
Kierros 5 ps pdf Huom. poikkeuksellisesti vain yksi tehtävä!
Kierros 6 ps pdf
Kierros 7 ps pdf

Harjoitusten vastauksia:
Kierros 1 pdf
Kierros 2 pdf
Kierros 3 pdf
Kierros 4 pdf
Kierros 5 pdf
Lisämateriaali funktionaalianalyysistä
Kierros 6 pdf
Kierros 7 pdf

Lisätehtävä:
Kurssi on 5-6op laajuinen. Suorittaaksesi 6op laajuisen version sinun tulee tutustua seuraaviin artikkeleihin: Uhlmann ja Cheney-Isaacson-Newell. Viikon 48 perjantain luennon paikalla (1.12) järjestetään keskustelutilaisuus. Artikkeleiden huolellinen läpilukeminen on aikaavievää, eikä se ole tässä tarkoitus. Riittää että pystyt keskustelemaan papereissa esitellyistä tuloksista. Günther Uhlmannin paperissa lue luvut 0,1,2 ja selaa luku 3 läpi. Cheney-Isaacson-Newell paperista lue luvut 1,2,4,5 sekä tutustu kaikkiin kuviin.

Tervetuloa kurssille!

Matti Lassas
Tapio Helin