Välikokeet

Välikokeiden (uudistetut) pisterajat (29.12.05)

   Arvosana    piste-alaraja

      1            29
      2            38
      3            46
      4            54
      5            62

Välikoealueet, ohjeet ja tehtävät ratkaisuineen

3. välikokeen alue
2. välikokeen alue

Tehtävät ja ratkaisut

Välikoe 1 Tehtävät -- pdf -- [-- ps --] Ratkaisut Huom!(To 27.10.)
Tehtävässä 4 monet olivat käyttäneet konvoluutiolausetta. Minulla ei vielä ole tietoa, kuinka hyvin se oli yleensä onnistunut. Joka tapauksessa se on ihan hyvä tapa tässä tehtävässä, itse asiassa saattaa olla lyhempikin kuin yllä esitetyt. (Lisään sen vielä sivulle, kunhan ehdin.)
Välikoe 2 Tehtävät -- pdf -- [-- ps --] Ratkaisut
Välikoe 3 Tehtävät -- pdf -- [-- ps --] Ratkaisut

Välikoe 1, ma 17.10.05 klo 16 - 19

aihe: kompleksianalyysia, Laplace-muunnokset

Salijako täällä.

Koealue:

Luennot: 4. ensimmäisen viikon osalta + ti 11.10. alku (Laplace-muunnoskäsittelyn loppuun).
Harjoitukset 1LV--5LV (5LV teht. 1,2,3)

Prujut ja kirjallisuus:

Jaetut prujut luentohakemistossa
Oppikirja [KRE8]
- Pykälät 12.1 - 12.8. (Siis koko luku 12 paitsi 12.9 ja 12.10.)
- Pykälät 5.1 - 5.3, 5.5 (jätetään integraaliyhtälöt), 5.6 (kursorisesti), 5.7. Pykälä 5.6 sisältää perusteellisen osamurtokäsittelyn. Se on ihan hyvä lukaista läpi, osamurtokehitelmien muotoa ei tarvitse muistaa, ne annetaan samassa muodossa kuin harj. 3 AV-paperissa.

Osattavia kaavoja, määritelmiä yms.

Kaikki kompleksiaritmetiikkaan ja funktioihin liittyvät peruskaavat ja -määritelmät, kuten potenssi, juuri, exp, log, sin, cos, sinh, cosh.
(Muista, että esim. sin ja cos ovat kädenkäänteessä johdettavissa Eulerin kaavoista.)
Cauchy-Riemannin yhtälöt, f:n derivaatta lausuttuna Re- ja Im-osien avulla, Laplacen yhtälö. (Cauhy-Riemannin napakoordinaattimuotoa ei vaadita osattavaksi, sovellettavaksi kylläkin.)

Annettavia kaavoja

Laplace-muunnoksiin liittyvät kaavat siinä muodossa kuin ne esiintyvät tehtäväpaperissa 3 AV (kahden viivan välissä).
Kaavat sin(a +- b)= sin(a)cos(b)+-cos(a)sin(b), cos(...)=...
(Oikeastaan nämä pitäisi osata, mutta olkoon nyt. )
Näiden avulla on oltava valmis johtamaan esim. tulokaavoja tyyliin sin(a)sin(b) = ... sekä myös esim. sin(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y) jne.

Välikoe 2 ma 14.11. aiheena: Lineaarialgebra

Salijako täällä.

Koealue, kirjallisuus, prujut

Motto: "The purpose of computing is insight, not numbers", R. Hamming

Laskutekniikka palvelee asioiden ymmärtämistä, varsinainen massiivinen laskenta tehdään nykyisin tietokoneilla, kuten hyvin tiedetään. (Siinä puolestaan aivan erityisesti ymmärrystä sitten tarvitaan).
Koetehtävien joukossa on suurella todennäköisyydellä sellainen, joka alkaa: "Todista, osoita ...". Lisäksi tai vaihtoehtoisesti voi olla sellainen, jossa kysellään käsitteitä ja niiden suhtautumista toisiinsa tai yleisistä periaatteista tehtäviä johtopäätöksiä ym., vaikkapa tyyliin Harj. 5 av, teht. 2, harj 7 LV teht. 6. (Huomaa tehtävän 2 (b) virhe: pitäisi olla 3 x 5-systeemi, jolloin liitännäismatriisi on 3 x 6, ja sen viimeinen, b-vektorista muokkautuva sarake siis kyseessä.)
Toki laskutekniikkaakin on mukana, jalona päämääränä tuo "insight".

Luennot viikoilla 41 - 45 (vain ti 8.11., DYS-alkuun saakka) (Joitakin tehtäväkommenteja ja yhteenvetoa voi esiintyä to-pe 10-11.11.)
Harjoitukset 5LV teht. 4 - 8LV
Luentohakemistossa olevat prujut, joista osa jaettu prujujakelussa.
Luentohakemiston LA1.html, LA2.html, LA3.html, ei jaettu, sisältävät hyödyllistä asiaa, osittain hiukan enemmänkin, kuin luennolla on ollut. Toisaalta täydentää KRE-kirjan hieman liiankin niukkaa esitystä mm. kantojen ja dimension perusteista. (Sellaista, mitä luennolla tai harjoituksissa ei ole esitelty, ei vaadita.)

KRE Ch 6 Linear Algebra
Koko luku (6.1-2 katsotaan vanhan kertaukseksi), kohdasta 6.6 ei tarvitse osata Cramerin sääntöä.

KRE Ch 7 Linear Algebra: Matrix eigenvalue problems
7.4: Otsikosta "Forms" s. 388 pykälän loppuun jää väliin.
7.5: Otsikosta "Transformation to principal axes" s. 395 alh. pykälän loppuun jää väliin.
(8.2: Inner product (dot product) on hyvä konkreettinen kertaus vektorigeometrian sisätuloasioista, jonka pitäisi olla vanhastaan tuttua asiaa.)

Ortogonalisointi: Harjoituksissa on kuulemma herättänyt hämmennystä tehtävässä 6, LV8 tarvittava kehden LRT vektorin ortonormeeraus. Gram-Schmidt-ortogonalisointi todellakin puuttuu KRE-kirjasta (mitä voidaan hämmästellä). Kyse on paljon yksinkertaisemmasta asiasta kuin miltä kaavat näyttävät. Ensimmäinen askel on aivan havainnollinen vektorin (v) projektio (p) toiselle (u), jolloin v-p on kohtisuorassa u:ta vastaan. Jokainen osaa tämän tehdä ihan varmasti, kun kaivelee sisätuloasiat mieleensä. Tämän enempää ei kokeessa tulla kysymään (vaikka jatkokin on yhtä havainnollinen, mutta kokeisiin ehkä liian työläs).

Välikoe 3 to 15.12. klo 13-16

Luennot ja harjoitukset

Luennot viikoilla 45-49 (DYS-alusta alkaen katkeran suloiseen (?) loppuun saakka)
Harjoitukset 8 AV - 12 LV

Aiheet, kirjallisuus, prujut

DYS
[KRE] Luku 3, tarkennusta:
- 3.0 on vanhan kertausta, 3.1 kokonaan
- 3.2 kokonaan, epälineaaristen yleistä olemassaololausetta (Theorem 1 s. 159) ei tarvitse osata. Wronskin determinantti ei ole välttämätön, jos ratkaisujen LRT nähdään muuten. (Saa toki käyttää, luennolla ei tarvittu.)
- 3.3. kokonaan. Kompleksisten ominaisarvojan tapaus on syytä osata kirjoittaa reaalisessa muodossa
```
       y=[u | v] e^at K C
```
  missä u ja v ovat ominaisvektorin Re- ja Im-osat, ominaisarvo=a+ib ja K on kiertomatriisi, jossa kulmana on bt ja kierretään myötäpäivään, jos b >0. (C on kerroinvektori, joka voidaan esittää muodossa C=[u | v]^-1 y(0). Tätä ei KRE-kirjassa (s. 166-167) esitetä kunnolla, se pitäisi osata tarvittaessa johtaa. Tehtävän luonteesta (työläydestä) riippuen kaava tai sen luonnehdinta voidaan antaa tehtäväpaperissa.
  s. 167 "No basis of eigenvectors available"-tapauksessa yritemuoto annetaan. Sen perusteella tietysti osattava johtaa ja laskea.
- 3.4. Kokonaan. Ymmärrettävä, että kriteerit eivät ole mitään muuta kuin tapa lausua ominaisarvojen ominaisuudet (Re/kompl, eri/samanmerkk, , ...) toisen asteen yhtälön juurien ominaisuuksien avulla. Älä missään tapauksessa opettele näitä ulkoa.
- 3.5. Jätetään Example 5 (Van der Pol) pois. Linearisoinnin suhteen kannattaa toimia Harj. 9AV10LV-ohjeen mukaan, KRE-kirjan esitys "hieman heiveröinen" (heiluriesimerkin yhteydessä).
- 3.6. Riittää osata yksi tapa, ainoa yleispätevä on "Method of variation of parameters". Tätä kaavaa ei tarvitse osata ulkoa, vaan se annetaan tarvittaessa. Kannattaa laskea siihen tyyliin kuin AV10 teht. 1:ssä (kaava annetaan siinä muodossa).
Fourier-sarjat
L-sivulla pruju.
[KRE] Luku 10, tarkennusta:
- 10.1, 10.2, osattava periaatteessa johtaa Fourier-kertoimien kaavat, jotka kylläkin annetaan koepaperissa samassa muodossa kuin harjtehtävissä. Osattava suppenemislause Theorem 1 s. 535 (tai vastaava prujusta tai harjoitustehtäväpaperista) ja osattava soveltaa sitä.
- 10.3, 10.4 kokonaan, 10.5 jää väliin
- 10.6. on viimeinen.
Osittaisdiffyhtälöt
Yhtälöiden johtamista ei kysytä, yhtälöitä ei tarvitse edes muistaa ulkoa, vaan annetaan.
[KRE] Luku 11, tarkennusta:
- Aalto: 11.3, ei 11.4.
- Lämpö ja Laplace: 11.5. (Siinä kaikki)
Numeerisia menetelmiä
- Tavalliset diffyhtälöt ja systeemit:
  [KRE]19.1, ei 19.2, 19.3. Osattava Eulerin menetelmä. Heunin ja Runge-Kuttan menetelmät annetaan tarvittaessa.
  Diffyhtälöiden numeriikkapruju saattaa jäädä kovin suppeaksi, jonkinverran täydennystä tarvitaan luennoista tai kirjasta.
- Laplacen yhtälö: [KRE]19.4 s. 967 ADI Method:iin saakka.

Heikki K Apiola

Last modified: Wed Apr 5 14:51:44 EEST 2006