Välikoealueet, ohjeet ja tehtävät ratkaisuineen (aikaanaan)

Tehtävät ja ratkaisut

• Välikoe 1 Tehtävät -- pdf -- [-- ps --] Ratkaisut Huom! Tehtävässä 4 monet olivat käyttäneet konvoluutiolausetta. Minulla ei vielä ole tietoa, kuinka hyvin se oli yleensä onnistunut. Joka tapauksessa se on ihan hyvä tapa tässä tehtävässä, itse asiassa saattaa olla lyhempikin kuin yllä esitetyt. (Lisään sen vielä sivulle, kunhan ehdin.)

Välikoe 1, ma 17.10.05

• Luennot: 3. ensimmäisen viikon osalta.
• Harjoitukset 1--3.

• Jaetut prujut luentohakemistossa
• Oppikirja [KRE8] Kohdat 12.1 - 12.9. (Siis koko luku 12 paitsi 12.10.), Kohdat 16.1-16.3.

Osattavia kaavoja, määritelmiä yms.

• Kaikki kompleksiaritmetiikkaan ja funktioihin liittyvät peruskaavat ja -määritelmät, kuten potenssi, juuri, exp, log, sin, cos, sinh, cosh.
  
• Cauchy-Riemannin yhtälöt, f' lausuttuna Re- ja Im-osien avulla, Laplacen yhtälö.

(Tarvittaessa) annettavia kaavoja

• sin z:n esitys Re- ja Im-osien avulla, samoin cos z:n ja hyperbolisten funktioiden. (Siis: trig. ja hyperb. määritelmät osattava, mutta Re+i*Im-muotoa ei vaadita laskutehtävissä muistettavaksi.)
  Vain jos tehtävänä on esityksen johtaminen, voidaan olla antamatta.
• Kaavat sin(a +- b)= sin(a)cos(b)+-cos(a)sin(b), cos(...)=...
• Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava annetaan. (olkoon menneeksi)
• Möbius-kuvauksen konstruointilause (pruju Lause 7.2), KRE Theorem 2 (Three points and their images given) s. 694.

Välikoe 2 ma 8.11. aiheet: Laplace-muunnokset, lineaarialgebra

Koealue, kirjallisuus, prujut

• Luennot viikoilla 41 - 44 + ti 2.11 (DYS-alkuun saakka)
• Harjoitukset 4-7
• luentohakemistossa olevat prujut, joista tärkeimmät jaettu prujujakelussa.
• KRE Ch 5 Laplace Transforms. Kohta 5.4 (F(s):n derivaatta ja integraali) jää väliin, 5.6:tta ei myöskään tarvitse perusteellisesti (osamurtohajotelma selkeissä perustapauksissa osattava toki muodostaa).
• KRE Ch 6 Linear Algebra
  Koko luku (6.1-2 katsotaan vanhan kertaukseksi), kohdasta 6.6 ei tarvitse osata Cramerin sääntöä.
• KRE Ch 7 Linear Algebra: Matrix eigenvalue problems
  7.4: Otsikko "Forms" s. 388 ja siitä pykälän loppuun jää väliin.
  7.5: Theorem 6 (Principal axes ) s. 396 ja siitä pykälän loppuun jää väliin.

Annettavia kaavoja

• Laplace-muunnoskaavat annetaan siinä muodossa kuin ao. harjoitustehtäväpaperissa.
• Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava annetaan. (olkoon menneeksi, kun nyt aloitettiin.)
• Kaavat sin(a +- b)= sin(a)cos(b)+-cos(a)sin(b), cos(...)=...

Välikoe 3, ti 14.12.2004

Aiheet ja viitteet

1. DYS: analyyttiset, kvalitatiiviset, numeeriset
   Viitteet: KRE8: CH 3, CH 19.1,19.3, L/eAt.pdf (tulee), L/Diffyhtälösysteemien numeriikkaa (päivittyy)
   Tarkennuksia KRE-osiin:
   • 3.3: Kompleksisten ominaisarvojen tapauksessa myös reaalinen muoto. Osattava laskea alkuarvotehtävä siirtymällä kompleksisesta exp- muodosta reaaliseen muotoon. Suositus: Älä opettele ulkoa reaalista muotoa (muuta kuin sen "hahmo") , jos tehtävä on sellainen, jossa tarvitaan yleistä muotoa ja jossa sen johtamisen katsotaan aiheuttavan liikaa ylimääräistä laskutyötä, se annetaan.
     Kohtaa "No basis of eigenvectors available" ei tarvitse opiskella, se tehdään e^At:n avulla. (Toki saa tehdä myös KRE-tyylillä.)
   • 3.4: Kriittisten pisteiden luonne on osattava lukea ominaisarvojen luonteesta (reaalisuus/kompleksisuus, merkkisyys, ym.) Toki voi olla vaivaa säästävää ja hyödyllistä ja täysin luvallista lukea nämä asiat 2. asteen yhtälön juurien ominaisuuksista, mutta päätelmät, joissa sanotaan, että "p on sitä ja sitä, kun taas q on tuota ja tuota" eivät kartuta pistesaldoa, ellei selvitetä niistä johtuvia ominaisarvopäätelmiä. (Ei ulkolukua, vaan ymmärrystä!) Myöskään sivulla 173 olevaa kuvaa Fig. 88 ei tarvitse opiskella sen kiistattomasta kauneudesta huolimatta.
   • 3.5: Linearisointi on syytä opetella suorittamaan harj. 9 ohjeissa neuvotulla tavalla muodostamalla Jacobin matriisi. ( Se on yleisempi ja sitäpaitsi myös mekaanisempi = helpompi tapa)
   • 3.6: Epähomogeenisille riittää osata soveltaa integraalikaavaa, joka esiintyy harj. 8 tehtävässä AV 6. (Ei vaadita osattavaksi ulkoa.)
   • 19.1, 19.3 Euler ja implisiittinen Euler osattava,jälkimmäinen esiintyy ainakin harj. 10 ohjeissa. Jos muita menetelmiä kokeissa esiintyy, niin ao. kaavat annetaan.
2. Fourier-sarjat
   Viitteet: KRE Ch 10.1 - 10.4, pruju: L/Fourier-sarjat
3. Osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, lämpö ja Laplace/Poisson, analyyttiset (muuttujien erottelu + F-sarja), numeeriset (differenssi).
   Viitteet:KRE 11.5, 19.4
   • 19.4, vain perusmenetelmä, ei iteratiivisia lineaarisen systeemin ratkaisijoita (kuten Liebmann, ADI yms.).

Annettavia/osattavia kaavoja

• Trigonometriasta samat kuin ennenkin.
• Sovitaan nyt, että 2. asteen yhtälön ratkaisukaava on vihdoinkin osattava, samoin jos käytät juurien ominaisuuksia, ne on osattava johtaa (tai muistettava).
• Diffyhtälöt ja niiden numeriikka, kts. yllä.
• Muistettava e^At:n määritelmä (exp-funktion sarjakehitelmä)
• Fourier-kertoimien kaavat annetaan yleisessä muodossa (täsmälleen, kuten harj. 11 tehtäväpaperissa).
  Toki on mahdollista, että kysytään kertoimien johtamista, mutta annetaan ne joka tapauksessa.
• Lämpöyhtälö ja Laplacen yhtälö on muistettava. Osattava johtaa ratkaisukaavat. Jos tehtävä on puhdas laskutehtävä, jossa kaavan johtaminen olisi liian työlästä, annetaan kaava valmiina, ei siis ole tarkoitus opetella ulkoa.
• Laplace/Poisson-yhtälön differenssimenetelmäkaava osattava.

Matlab-taidot

Jossain numeriikkaa käsittelevässä tehtävässä on mahdollista korvata laskimella tapahtuva laskenta antamalla oikeat Matlab-komennot. (En lupaa, että tällaisia tulee, mutten myöskään, ettei. Tehtävässä ilmoitetaan, jos näin voi menetellä.)