Jaksollinen jatkaminen

Jokainen jollain välillä [a,b] määritelty funktio voidaan jatkaa jaksollisena (p=b-a) koko R:ään.

Esim:

>	f:=x->x^2: # välillä [0,1], jatka 1-jaksoisena!

>	Jf:=JJ(f,0..1);

>	plot(Jf(x),x=-5..5);

>	f:=x->x^2: # välillä [-1,1], jatka 2-jaksoisena!

>	plot(f,-1..1);

>	Jf:=JJ(f,-1..1);

>	plot(Jf,-4..4);

  Kanttiaalto

>	f:=x->piecewise(x>0,1,x<0,-1); plot(f,-1..1);

>	Jf:=JJ(f,-1..1): plot(Jf,-4..4);

>

Fourier-kertoimet, esimerkkejä Fourier-sarjoista

Fourier-kertoimien kaavat, jotka saatiin ortogonaalisuuden perusteella. Kaavat johti jo kauan ennen Fourieria , kukas muu kuin Euler  v. 1777.

>

f:='f':

>	a0:=(1/(2*Pi))*Int(f(x),x=-Pi..Pi);

>	an:=(1/Pi)*Int(f(x)*cos(n*x),x=-Pi..Pi);

>	bn:=(1/Pi)*Int(f(x)*sin(n*x),x=-Pi..Pi);

>	sarja:='a0'+Sum('an'*cos(n*x)+'bn'*sin(n*x),n=1..infinity);

>	osasumma:=(x,N)->a0+add(an*cos(n*x)+bn*sin(n*x),n=1..N):

Fourier -sarjojen muodostaminen on nyt helppoa. Toki voi tulla integrointivaivaa, mutta Maplea voi käyttää

nautinnollisesti hyödyksi. Voi tietysti syntyä myös tilanteita, joissa on turvauduttava numeeriseen integrointiin.

Siihenkin Maplessa on välineitä.

Esim 1, kanttiaalto

>	f:=x->piecewise(x>0,1,x<0,-1);

>	Jf:=JJ(f,-Pi..Pi); #plot(Jf,-2*Pi..2*Pi);

>

>	a0:=(1/(2*Pi))*Int('f'(x),x=-Pi..Pi);

>	a0:=(1/(2*Pi))*2*int(f(x),x=0..Pi);

>	an:=(1/Pi)*Int('f'(x)*cos(n*x),x=-Pi..Pi);

>	an:=2*(1/Pi)*int(cos(n*x),x=0..Pi);

>

an:=0;

>	bn:=(1/Pi)*Int('f'(x)*sin(n*x),x=-Pi..Pi);

>	bn:=2*(1/Pi)*int(1*sin(n*x),x=0..Pi);

>	bn:=trigsiev(bn,n);

>	seq(bn,n=1..7);

>	sarja:=Sum('b[n]'*sin(n*x),n=1..infinity);

>	osasumma:=(x,N)->add(bn*sin(n*x),n=1..N);

>	osasumma(x,9);

>	sarja:=(4/Pi)*Sum(sin(2*k-1)*x/(2*k-1),k=1..infinity); # Muista iso Sum !

Kuvaajia:

>	plot([Jf(x),osasumma(x,1)],x=-2*Pi..2*Pi);

>	plot([Jf(x),osasumma(x,1),osasumma(x,3),osasumma(x,5)],x=-2*Pi..2*Pi);

>	plot([Jf(x),seq(osasumma(x,N),N=1..7)],x=-Pi..Pi);

>	plot([Jf(x),seq(osasumma(x,N),N=[1,3,5,31,67])],x=-Pi..Pi,color=[gray,black,green,blue,red]);

>	plot([Jf(x),osasumma(x,101)],x=-0.1..Pi+.1,color=[gray,blue],numpoints=100);

>	display(%,view=[0..Pi,0.7..1.3]);

Miten voi kanttiaallon F-sarja supeta, vaikka kertoimet ovat harmonisen sarjan kertoimet. sin(n*x)-termien on pakko vaikuttaa asiaan. Tutkitaan:

>	g:=(x,k)->sin((2*k-1)*x);

>	plot3d(g(x,k),x=-Pi..Pi,k=1..10):

>	x:=Pi/2:plot([seq([k,g(x,k)],k=1..20)]):

>	kuva:=(x,N)->plot([seq([k,g(x,k)],k=1..N)],style=line);

>	kuva(0.1,100):

>	display(seq(kuva(x,150),x=[seq(0.1*k,k=0..10*3)]),insequence=true):

>

Yleinen jakso p=2L

>	restart: with(plots): read("e:ns05.mpl");

Warning, the name changecoords has been redefined

>	a0:=1/(2*L)*Int('f'(x),x=-L..L);

>	an:=1/L*Int('f'(x)*cos(n*Pi*x/L),x=-L..L);

>	bn:=1/L*Int('f'(x)*sin(n*Pi*x/L),x=-L..L);

Esim: Puoliaaltotasasuunnattu siniaalto

>	u:= piecewise(t>-L and t < 0,0,t > 0 and t < L,E*sin(omega*t));

>	omega:=2: E:=1:

>	L:=Pi/omega:plot(u(t),t=-1..1,axes=box); omega='omega': E:='E':L:='L':L:=Pi/omega:

>

>	a0:=1/(2*L)*int(E*sin(omega*t),t=0..L);

>	an:=1/L*int(E*sin(omega*t)*cos(n*omega*t),t=0..L);  # Huom! n > 1

>	an:=trigsiev(an,n);

>	a1:=1/L*int(E*sin(omega*t)*cos(1*omega*t),t=0..L);

>	bn:=1/L*int(E*sin(omega*t)*sin(n*omega*t),t=0..L);  # Huom! n > 1

>	bn:=trigsiev(bn,n);

>	b1:=1/L*int(E*sin(omega*t)*sin(1*omega*t),t=0..L);

>	sarja:=a0+Sum(an*cos(n*omega*t),n=2..infinity)+b1*sin(omega*t);

>

>	osasumma:=unapply(a0+sum(an*cos(n*omega*t),n=2..N)+b1*sin(omega*t),t,N);

>	E:=1: omega:=2:

>	plot([u,osasumma(t,10)],t=-L..L);

>	plot([seq(osasumma(t,N),N=2..10)],t=-L..L);

>	plot([osasumma(t,50)],t=-L..L,numpoints=100,axes=boxed);

>