http://math.tkk.fi/~apiola/Tampere2006/
Heikki Apiola, TKK/Matematiikan laitos Esitys matematiikan päivillä Tampereella 4-5.1.2006

Matematiikkaa tietokoneella - kokemuksia 22:n viime vuoden ajalta

Tietotekniikan vaikutus ja mahdollisuudet matematiikassa

Laitteistot, kielet ja ohjelmistot kypsyvät

Symbolilaskenta

Tietokonealgebrasysteemejä alkoi ilmestyä 1970-luvun alkupuolella tekoaälytutkimuksen haarana, joka sittemmin irtautui tästä tutkimusalasta. Tehokkaimmaksi menetelmäksi osoittautui matematiikka itse. Esimerkiksi lausekkeiden sievennys perustuu paljolti ns. Gröbnerin kantojen käyttöön ja symbolinen integrointi ns. Richin algoritmiin. Molemmat tekniikat käyttävät vahvoja algebran työkaluja. Pohjatyö näihin tehtiin 1960-luvulla.

Reduce (Anthony Hearn), Mumath -> Derive (D. Stoutmeyer), Macsyma (1967-1982, MIT), SMP (S. Wolfram).

Nykyiset "markkinajohtajat": Maple (G.Gonnet-G. Geddes), Mathematica (S. Wolfram).

Numeeriset ohjelmistot, matriisikielet

Computer algebra systems began to appear in the early 1970s, and evolved out of research into artificial intelligence (the fields are now regarded as largely separate). The first popular systems were Reduce, Derive (p.o. Mumath) and Macsyma which are still commercially available; a copyleft version of Macsyma called GNU Maxima is actively being maintained. The current market leaders are Maple and Mathematica; both are commonly used by research mathematicians, scientists, and engineers.

Numeronmurskaus ja -analyysi, laskennallinen tiede

Uranuurtajia 1940-luvulta lähtien, tietokoneiden historian aamuhämärissä:
Alan Turing, John von Neumann, James Wilkinson.
Turing: ACE (Automatic Computing Engine) Wilkinson testasi v. 1946-47
Ratkaisun sensitiivisyys ongelman datalle. Kuuluisa esimerkki, jota Wilkinson ihmetteli pitkään:

p(x)=(x-1)(x-2) ... (x-20) = x20 - 210 x19 + ...

Wilkinson epäili ohjelmointivirhettä tai hardware-vikaa, mutta viikkojen etsiskelyjen jälkeen ryhtyi analysoimaan. Linearisointi derivoimalla näyttää, että erityisesti potenssin 19 kertoimen pieni muutos heittää ratkaisut kauas. Tästä sai alkunsa "backward error analysis", hyvä algoritmi on sellainen, joka ratkaisee "lähellä olevan ongelman" tarkasti.
Pääkohteena oli tuolloin yhtälösysteemin A x =b ratkaisun virheen analyysi. Näin päädyttiin tärkeään häiriöalttiuden käsitteeseen.

Lähteitä, joista inspiraatiota:

  1. Forsythe-Malcolm-Moler: Computer Methods for Mathematical Computations, prentice Hall 1977
  2. Kahaner-Moler-Nash: Numerical Methods and Software, Prentice Hall 1989
  3. Press-Flannery-Teukolsky-Wetterling: Numerical Recipes

Matemaattiset ohjelmistot tänä päivänä. Kattava kooste, kirjaan Kincaid-Cheney: Mathematics of scientific computing liittyvä www-Appendix.

Miten laskennalliset seikat vaikuttavat (miten pitäisi vaikuttaa) matematiikan opetuksen painotuksiin ja tyyliin

Opetuskokeiluja

1. Erikoiskursseja, mallinnusta, laskennallisia menetelmiä

  1. Seminaari: Matematiikan tutkimus ja ATK Helsingin yliopisto
    Syksy 1983, vetäjät: Heikki Apiola ja Heikki Haario, kevät 1984, vetäjät: Heikki Apiola ja Lasse Holmström
    Seminaarin Portacom-puheenvuoroja

  2. Matematiikan sovellusprojektit Helsingin yliopoistossa alkaen syksyllä 1984, kurssin rakensivat Aatos Lahtinen, Paul Lindfors, opettajina Jarmo Hallikas, Heikki Apiola, Kyösti Tarvainen, Heikki Haario, Seppo Granlund ym. ym. Myöhemmin mm. Marko Laine.
    Johdatus-osan nykyinen (syksy 2005) kurssisivu

  3. Numeerinen ja symbolinen laskenta TKK, alkoi keväällä 1984. Ohjelmistot APL, Reduce, Macsyma.
    Koneet: UNIVAC, DEC 20, IBM:n lahjoittama AT-PC (80286), varustettu APL-merkki-ROM:lla, muistia 4 tai korkeintaan 8 Mb.
    Numsym-2005-sivu

2. Peruskursseja

TKK:lla aloitettiin tietotekniikkakokeilut matematiikan opetuksen yhteydessä 1980-luvun alkupuolella laajan matematiikan kursseilla Simo Kivelän toimesta. Ohjelmana oli aluksi Matlab. Vähitellen tietokoneharjoitukset ovat tulleet mukaan lähes kaikille peruskursseille. Ohjelmistoina on viime aikoina käytetty Matlabia, Mathematicaa, Maplea, Matchadia.

Myös erillinen matemaattisten ohjelmistojen massakurssi oli käynnissä jonkin aikaa 1990-luvun alussa.

Tämänhetkinen tilanne näkyy Näiltä TKK:n opetussivuilta

Opetusuudistus vuonna 1995

Suppeat jonhonkin alueeseen keskittyvät kurssit, kuten matriisilaskenta, numeerinen analyysi, matemaattiset ohjelmistot jne. poistettiin. Perustettiin isoja (6-8 ov) peruskursseja. Tarkoitus oli integroida numeriikka ja laskentamenetelmät perusmatematiikan opetukseen. Miten kävi? Taas on uudistamisen aika!

Omat peruskurssit (2000-luku)

  1. Peruskurssi 3 K,R,P,Ke,ym. osastoille (n. 400 oppilasta)
  2. V2 -- informaatioverkostot
  3. V3 -- informaatioverkostot

Valikoituja opetusmateriaaleja, demoja, työkaluja

Usean muuttujan funktiot, peruskurssi 2

K3/P3 matematiikan peruskurssi 3

Toisen vuoden syksy. Kurssin sisältö: Kompleksianalyysia, matriisilaskentaa/lineaarialgebraa, ominaisarvoteoriaa ja sen soveltamista lineaarisiin differentiaaliyhtälösysteemeihin, faasitasoja, linearisointia, integraalimuunnoksia, ainakin Laplace-muunnokset, Fourier-sarjat, osittaisdifferentiaaliyhtälöitä (aalto-, lämpö-, Laplace) muuttujien erottelutekniikalla ja Fourier-sarjoihin nojautuen. Differentiaaliyhtälöiden numeerisia menetelmiä, ja muitakin. ---------------------

Numeerinen ja symbolinen laskenta, erikoiskurssi

kevään 2005 pääsivu ja poimintoja: kevään 2004 (= 1984 + 20) pääsivu ja poimintoja: kevään 2002 pääsivu kevään 1984 pääsivu

The End



Heikki K Apiola
Last modified: Tue Jan 3 18:34:09 EET 2006