Tentti 23.05. 1996

Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin eri riveille:
1) opintojakson nimi, päiväys;
2) opiskelijanumero+kirjain, TEKSTATEN sukunimi alleviivattuna, kaikki etunimet;
3) koulutusohjelma (Ke,Ko,M,Mk,P,R,S,Tf,Ti,Tu);
4) mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat;
5) nimikirjoitus.

1. Olkoon A diagonalisoituva neliömatriisi, ts. A voidaan esittää muodossa , missä D on diagonaalimatriisi.

   a) Osoita, että .

   b) Olkoon

         
         | 0  3 -2|
       A=| 2  1 -2|
         |-3  3  1|
   
   
   Osoita, että A on diagonalisoituva ja laske  .
   
    
   Kaksi säiliötä, A ja B sisältää 50  l nestettä 
   kumpikin. 
   Niitä yhdistää
   kaksi putkea siten, että  virtaa nestettä 
   nopeudella 4  l/min ja
    1  l/min ja oletetetaan, että neste sekoittuu heti. 
   Puhdasta vettä virtaa säiliöön A nopeudella 3  l/min
   ja säiliöstä B poistuu nestettä niinikään nopeudella 3 
    l/min.
   
      3 l/min 
      __________          __________
      -->       |         |         |
      __        |_________|         |
       |         4 l/min ->         |
       |        -----------         |
       |        |         |         |
       |    A   |         |    B    |
       |        |---------|         |
       |         <--1 l/min         |
       |        |---------|         ----
       |________|         | ____________-> 3 l/min
   
   Oletetetaan, että alkuhetkellä säiliö A 
   sisältää 25 kg suolaa ja
   säiliö B pelkkää vettä.
   
   a) Määritä suolamäärät kummassakin säiliössä
   ajan funktiona.
   
   b) Millä ajanhetkellä säiliöiden suolamäärät ovat samat?
   
    
   
    Laske funktion f1 Laplace muunnos ja funktion F2 käänteismuunnos, kun
     
   
   
    
   Ratkaise numeerisesti alkuarvotehtävä , 
   välillä  jakamalla väli a) kahteen, b) kolmeen yhtä suureen osaan.
   Käytä Eulerin menetelmää. Ilmoita ratkaisusi taulukkoina muodossa 
    t-sarake, x-sarake (kolmella numerolla) ja piirrä kuvaajat 
   (samaan kuvaan).
   
    
   Määrittele kompleksinen exp-funktio ja osoita, että se on analyyttinen
   koko kompleksitasossa ja johda sen derivaatan lauseke.