Näin jatkaen saadaan: An=QDD...DQ -1 = QDnQ-1.
b)
> with(linalg): > A:=matrix(3,3,[0,3,-2,2,1,-2,-3,3,1]); [ 0 3 -2] [ ] A := [ 2 1 -2] [ ] [-3 3 1] > eigenvects(A); [-2, 1, {[1, 0, 1]}], [3, 1, {[1, 1, 0]}], [1, 1, {[1, 1, 1]}] Tämä tarkoittaa: Ominaisarvot: -2,3,1 ja niiden alg. kertaluvut 1,1,1 ja sitten näkyvät ominaisvektorit. Koska alg. kertaluvut ovat =1, niin geom. kertaluvut ovat myös =1 (jäävät 1:den ja 1:den väliin). Siitä seuraa diagonalisoituvuus. (Tietysti yhtä hyvin suoraan siitä, että ominaisarvot ovat eri suuret ja eri ominaisarvoihin liittyvät om. vektorit ovat lin. riippumattomia.) *** alla ominaisarvot "käsinlaskutekniikalla" *** Seuraava on kätevä tapa poimia ominaisvektorit hiirellä vaakariveiksi, jolloin tarvitaan transponointi. > Q:=transpose(matrix([[1, 0, 1],[1, 1, 0],[1, 1, 1]])); [1 1 1] [ ] Q := [0 1 1] [ ] [1 0 1] > QI:=inverse(Q); [ 1 -1 0] [ ] QI := [ 1 0 -1] [ ] [-1 1 1]Tarkistus:
> evalm(A),evalm(Q&*diag(-2,3,1)&*QI); [ 0 3 -2] [ 0 3 -2] [ ] [ ] [ 2 1 -2], [ 2 1 -2] [ ] [ ] [-3 3 1] [-3 3 1]Samathan nuo ovat.
a)-kohdan mukaan: A6=Q D6 Q-1
> D6:=diag((-2)^6,3^6,1^6); [64 0 0] [ ] D6 := [ 0 729 0] [ ] [ 0 0 1] > evalm(Q&*D6&*QI); [792 -63 -728] [ ] [728 1 -728] [ ] [ 63 -63 1] Tarkistus (raakaa voimaa käyttäen): > evalm(A&^6); [792 -63 -728] [ ] [728 1 -728] [ ] [ 63 -63 1] **Näin siis ominaisarvot "käsin": > charmA:=evalm(A-lambda*diag(1,1,1)); [-lambda 3 -2 ] [ ] charmA := [ 2 1 - lambda -2 ] [ ] [ -3 3 1 - lambda] > p:=det(charmA); 2 3 p := 5 lambda + 2 lambda - lambda - 6 > lam:=solve(p,lambda); lam := 1, 3, -2 > charm1:=subs(lamda=1,op(charmA)); [-lambda 3 -2 ] [ ] charm1 := [ 2 1 - lambda -2 ] [ ] [ -3 3 1 - lambda] > charm2:=subs(lambda=3,op(charmA)); [-3 3 -2] [ ] charm2 := [ 2 -2 -2] [ ] [-3 3 -2] > charm3:=subs(lambda=-2,op(charmA)); [ 2 3 -2] [ ] charm3 := [ 2 3 -2] [ ] [-3 3 3] Tässä leikitään eleganttia: suoritetaan Gauss kolmelle matriisille samanaikaisesti: > map(gausselim,[charm1,charm2,charm3]); [-1 3 -2] [-3 3 -2 ] [2 3 -2] [ ] [ ] [ ] [[ 0 6 -6], [ 0 0 -10/3], [0 15/2 0]] [ ] [ ] [ ] [ 0 0 0] [ 0 0 0 ] [0 0 0] Tästäpä luetaan ominaisvektorit: [1, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 1]