Yllä olevissa kaavoissa kannattaa korvata cos (Pi n) lausekkeella (-1)n.
Termeittäin integrointi oli tuottanut yllättävän paljon vaikeuksia ja sotkeutumista.
Tuo integrointi tuottaa siis yhtälön
/infinity \
| ----- / n n\|
2 | \ |(-1) cos(n x) (-1) ||
x = 4 | ) |-------------- - -----||
| / | 2 2 ||
| ----- \ n n /|
\ n = 1 /
Jälkimmäinen osa on tunnettu sarja, jonka summa voidaan tässä kätevästi laskea
palauttamalla se annettuun sarjaan
infinity
-----
\ 1 2
) ---- = 1/6 Pi
/ 2
----- n
n = 1
Tämä palauttaminen tapahtuu sijoittamalla yllä x=Pi (parillisen funktion
jaksollinen laajennus on jatkuva myös päätepisteissä).
Vain yksi 6:n pisteen suoritus !