[Up]

Laplace-käänteismuunnos

Laplace-muunnoksen kääntämistä on opeteltu erilaisin tekniikoin, joilla funktion F(s) käänteismuunnos pyritään lausumaan sellaisten osien avulla, joiden käänteismuunnokset tunnetaan (ja voidaan hakea taulukosta). Tämä on perusajatukseltaan aivan samanlaista toimintaa kuin integraalien laskeminen, jossa ensin derivoimalla johdetaan taulukko, jota luetaan takaperin.

Luennolla esitettiin kysymys, onko käänteismuunnokselle kaavaa. Vastasin, että on, mutta se on aika mutkikas ja vaatii kompleksista integrointia, joka tulee vasta kurssin loppuvaiheessa, viittasin Juhani Pitkärannan kirjaan "Integraalimuunnokset, Otakustantamo no 484.

Huomasin vasta myöhemmin, että kaava esiintyy myös Gree-kirjassamme ss. 871-872 ja hyvin esimerkillä ja kuvalla havainnollistettuna.

Laskenta voidaan suorittaa kompleksi-integrointitekniikalla, mutta tietenkin sen voi aina tehdä myös numeerisilla integrointimenetelmillä. Kaavassa integroidaan imaginaariakselin suuntaista suoraa välillä (-ääretön -> ääretön) , missä suora tulee sijoittaa niin kauas oikealle, että kaikki muunnettavan funktion singulariteetit (kuten nimittäjän 0-kohdat) jäävät suoran vasemmalle puolelle.

Kaava voidaan generoida Maplella komennolla:

> (1/(2*Pi*i))*int(F(s)*exp(s*t),s=gamma-i*infinity..gamma+i*infinity);

Tulos tekstimuodossa (ei ole maailman kauneimman näköinen):

                  gamma + i infinity
                          /
                         |
                         |           F(s) exp(s t) ds
                         |
                        /
                gamma - i infinity
            1/2 -------------------------------------
                                 Pi i
(Maplessa pitäisi oikeasti kirjoittaa (iso) I imaginaariyksikölle, mutta tässä käytimme Maplea vain tekstinkäsittelyyn.)
This page created by <Heikki.Apiola@hut.fi>
Last update 8.11.96