Dirac'n delta

Kuka olikaan Dirac
Tehdään kokeeksi tekstimuotoista Maple-matematiikkaa. Tarkastellaan yksikköimpulssifunktiota

d_e(t-a).

Kuvassa e=1/5 ja a=0.

> alias(H=Heaviside):
> delta_e:=5 *(H(t+1/10)-H(t-1/10));
> int(delta_e,t=-infinity..infinity);

                                       1
> plot(delta_e,t=-1..1);

                                   -5--*---|                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
                                   |   +   |                                  
  **********************************---+---********************************** 
 -1               -0.5               0 0                 0.5                1 
>

Tästä sitten jatketaan, (kuten) luennolla ... ja päädytään deltaan, joka voidaan ymmärtää lyhennysmerkinnäksi sille, että integraalijonon rajakäyttäytyminen on sellaista kuin on (hiukka ylimalkaista, mutta integraalien kirjoittaminen on nyt liian työlästä) Tässä on sellainen tilanne, jossa integroinnin ja rajankäynnin järjestystä ei saa vaihtaa, mutta merkintä kuitenkin viittaa siihen, että tällainen vaihtaminen tehtäisiin. Tällöin voidaan ajatella, että "integraali" onkin tulkittava toisin ja se ajatus johtaa oikeaan suuntaan: Oikeastaan delta pitäisi ajatella lineaariseksi kuvaukseksi, joka operoi funktioihin (integraalihan on tällainen lineaarikuvaus). Tarkemmin sanottuna:

    delta(f)=f(0)

Tarkemmin asiasta kannattaa tässä yhteydessä lukea Pitkärannan monisteesta no 484, Integraalimuunnokset s. 38 ->. Diracin delta on ns. distribuutio, eikä tavallinen reaaliakselilla määritelty funktio.

No, vaikka tuo ei ihan poistaisi kaikkea "delta-mystiikkaa", niin Laplace- muunnosten yhteydessä deltalla operointi on helppoa - senkun vain muunnetaan (ja Maplekin osaa).

Esimerkki: Mukana impulsiivinen voima

Vaimentamaton massa-jousisysteemi, joka alkuhetkellä on levossa ja johon sin-muotoisen herätteen lisäksi vaikuttaa hetkellä t=3 (positiiviseen suuntaan) lyhyt impulssi (suuruudeltaan 2 yksikköä).

     x''+4x=sin t + 2delta(t-3)
     x(0)=0, x'(0)=0

> alias(L=laplace,H=Heaviside,IL=invlaplace):

Tässä diff-yhtälö:

> dy:=diff(x(t),t,t)+4*x(t)=sin(t)+2*Dirac(t-3);

                   /   2      \
                   |  d       |
             dy := |----- x(t)| + 4 x(t) = sin(t) + 2 Dirac(t - 3)
                   |   2      |
                   \ dt       /

Laplace-muunnetaan:

> Ldy:=L(dy,t,s);

                 /   2      \
                 |  d       |
        Ldy := L(|----- x(t)| + 4 x(t) = sin(t) + 2 Dirac(t - 3), t, s)
                 |   2      |
                 \ dt       /

> X:=solve(Ldy,L(x(t), t, s));

                                     1
                                - ------ - 2 exp(- 3 s)
                                   2
                                  s  + 1
                         X := - -----------------------
                                          2
                                         s  + 4

> X:=simplify(X);

                                           2
                         1 + 2 exp(- 3 s) s  + 2 exp(- 3 s)
                    X := ----------------------------------
                                    2        2
                                  (s  + 1) (s  + 4)
> xx:=IL(X,s,t);

            xx := 1/3 sin(t) - 1/6 sin(2 t)

                 + 2 H(t - 3) (- 1/3 sin(t - 3) + 2/3 sin(2 t - 6))

                 + 2 H(t - 3) (1/3 sin(t - 3) - 1/6 sin(2 t - 6))

> simplify(xx);

               1/3 sin(t) - 1/6 sin(2 t) + H(t - 3) sin(2 t - 6)

           ulkoisen voiman  vapaan väräht. viivästetty vapaan väräht.
           taajuus          taajuus        taajuus

> plot(xx,t=0..20);
 

Piirretään vielä erikseen yllä eritellyt komponentit.

> plot({(1/3)*sin(t),- (1/6)*sin(2*t),H(t - 3)*sin(2*t - 6)},t=0..20);