[Str] Strang: Linear Algebra [Gree]Greenberg [Kre] Kreyszig
q(x1,x2)=ax12+2bx1x2+ cx22 . Tämä voidaan kirjoittaa: xT A x, missä x=[x1,x2]T ja [a b] A := [ ] [b c] Jokainen neliömuoto voidaan kirjoittaa näin symmetrisen matriisin avulla (ja kääntäen symmetrinen matriisi määriää neliömuodon). (Tämä yleistyy mieliv. n:lle)Diagonalisoidaan matriisi A, A=Q D Q-1 = Q D QT (huom: A symm. => A:n ominaisvektorit ortogonaaliset.
Suoritetaan muuttujanvaihto y=QTx , tällöin q saa muodon l1y1+l2y2 , missä l1 ja l2 ovat A:n ominaisarvot. Tämä tarkoittaa, että ominaisvektorien muodostamassa "pääakselikoordinaatistossa" yhtälöllä q=vakio on yksinkertainen perusmuoto.
Tässä on Maple-istunto, joka havainnollistaa asiaa (vrt. KRE Exa 6, s. 412): Tarkastellaan yhtälöä
17x12-30x1x2+ 17x22=128
Neliömuodon matriisi on:
> A:=matrix(2,2,[17,-15,-15,17]); [ 17 -15] A := [ ] [-15 17] > eigenvects(A); [2, 1, {[1, 1]}], [32, 1, {[-1, 1]}] > v1:=[1,1]:v2:=[-1,1]:QT:=matrix([v1,v2]):Q:=transpose(QT); [1 -1] Q := [ ] [1 1] > y:=vector([y1,y2]):d:=diag(2,32):qy:=evalm(y&*d&*y); # Maple ymmärtää 2 2 # Matriisi * vektori- qy := 2 y1 + 32 y2 # tulon ilman vektorin # transponointiaTässä on vasen puoli "pääakselikoordinaateissa", jolloin kannan muodostavat ominaisvektorit. Käyrä voidaan piirtää piirtämällä (tai ajattelemalla) ellipsi ensin xy-tasoon ja kuvaamalla (kierto-)matriisilla Q, ts. alkuperäsiin x-muuttujiin päästään näin: x=Q y . Ellipsin parametriesitys y-muuttujien suhteen on
> y1:=8*cos(t);y2:=2*sin(t); y1 := 8 cos(t) y2 := 2 sin(t) Takaisin alkuperäisiin: > x:=evalm(Q&*y); x := [8 cos(t) - 2 sin(t), 8 cos(t) + 2 sin(t)] > xl:=convert(x,list): # Vektorin konversio listaksi (näitä tarvitaan # Maplessa silloin tällöin. > with(plots): > display(ellipsi,omvekt); 10 + + AAAAAAA + AAAAAAAA AAAAA + AAAAAA AAAA A + AAAAA AAAA AA 5 +AAAA AAAA AA AAA* AAAA AAA AAAA + AAAA AAAA AAAAAAA + AAAA AAA AAAA AAAA+AAA AAA +---+--+---+---+--+-***---+---+--+---*---+--+---****+---+--+---+---+--+---+ -10 -5A 0 + AAA 5 10 AAA + AAAA AA *AAAA AA A-5A+ AA AAAAAA + A AAAAA + AA AAAAAAAA + AAAAAAA + -10 +Tässä kokeiltiin ihan tahallaan, miltä tekstitilassa piirtäminen näyttää, kyllä tuon asian hyvällä tahdolla tuostakin näkee.
[GREE] 4.7. Exe, ss. 198 - 199 [KRE] Probl. set 7.14, teht. 25 - 30 s. 414