A(1,:) ilmaisee A-matriisin ensimmäisen rivin (yksinäinen kaksoispiste jälkimmäisenä indeksinä tarkoittaa, että sarakeindeksi käy läpi kaikki arvonsa . Vastaavasti A(:,2) tarkoitta A:n toista saraketta.

Pelkkä kaksoispiste matriisin indeksinä tarkoittaa, että molemmat indeksit saavat kaikki mahdollset arvonsa. Tällöin tulee tietää, kumpaa matriisin indeksisuuntaa pidetään ensisijaisena.
Matlab on sarakeorientoitunut. Tämä johtunee alkuperäisen Matlabin Fortran-sidonnaisuudesta, mutta siihen on myös relevantteja puhtaasti matriisilaskennallisia perusteita. (Usein ajattelmme matriisia kokoelmana vierekkäin ladottuja sarakevektoreita.)

Esim

>> A=reshape(1:12,4,3)   % Kätevä tapa muotoilla vektorista matriisi. 
>> A(:)                  % Jonoutus sarakkeittain.

Indeksointia ja kaksoispistenotaatiota käsitellään tarkemmin kohdassa 11 ... Kts. myös [SKK] 2.9, ss. 23 - 25.

21. Muutama funktio, Matlabin erikoispiirteitä

Funktioesimerkkejä

Komento help elfun antaa alkeisfunktioluettelon ("elementary functios").

Esim.

  
  >> x=linspace(0,5,10)
  >> y=log(x)           % log on luonnollinen logaritmi 
  >>                    % kokeile vaikka log(exp(1))

• Funktio linspace on kaikkein eniten tarvittavia datavektorin muodostamisfunktioita kaksoispistenotaation ohella. Tässä tapauksessa väli [0,5] jaetaan tasavälisiin osiin siten, että jakopisteiden lukumäärä on 10.

• Funktio log laskee (luonnollisen) logaritmifunktion arvon jokaisessa x-vektorin komponentissa ( skalaarifunktio).

• Vektorimme alkaa alkiosta 0. Laskenta ei kaadu tähän, vaan Matlab varoittaa asiasta ja sijoittaa y-vektorin 1. komponentiksi arvon -Inf (IEEE- aritmetiikkastandardin mukaisesti).

Piirrä log-funktion kuvaaja välillä (0,5) alkamalla yllä olevasta karkeasta diskretoinnista ja hienontaen sitten vaikkapa jakovölien lukumääriin 20,50,100.

Automaattinen tilan varaus

>> clear    % Kaikki työtilan muuttujat vapautetaan.
>> x(3)=0   % Matlab varaa 3-pituisen vektorin
x =
     0     0     0
>> x(9)=2   % Tilaa varataan automaattisesti lisää.
x =
     0     0     0     0     0     0     0     0     2

>> clear A  % Varmuustoimenpide
>> A(3,4)=1 % Matriisille varataan oikean kokoinen tila.
A =
     0     0     0     0
     0     0     0     0
     0     0     0     1

Operoitaessa suurilla datamäärillä, on tehokkuussyistä edullista kuitenkin varata tila ennakkoon. Jos tiedämme tarvitsevamme numeerista vektoria, jonka pituus on 10 000, on syytä alustaa: >> x=zeros(1,10000);
Muussa tapauksessa muistinhallinta joutuu kohtuuttoman kovalle koetukselle. Havainnollistamme asiaa pienellä esimerkillä, jossa samalla tulee ensi kosketus Matlabin for-silmukkarakenteeseen .

>> clear x, x(1)=1; for k=1:5, x(k+1)=atan(x(k)), end
x =
    1.0000    0.7854
x =
    1.0000    0.7854    0.6658
x =
    1.0000    0.7854    0.6658    0.5874
x =
    1.0000    0.7854    0.6658    0.5874    0.5311
x =
    1.0000    0.7854    0.6658    0.5874    0.5311    0.4882

Vaihtelevat argumentti- ja tuloslistat

 [tulos1,tulos2,...] = fun(arg1,arg2,...)

Jos tulosagumentteja on vain yksi, voidaan vasemalla ovat hakasulut jättää pois.

Esim.

linspace(a,b,n) - funktiossa n=100 on oletus, se on useimmiten sopiva arvo 2-ulotteiseen grafiikkaan, jossa linspace on erityisen tarpeellinen.

>> x=linspace(-pi,pi); % Kolmannen argumentin oletusarvo on 100
>> y=sin(x);
>> plot(x,y)

>> x=[1 2 3]
>> norm(x,2)   % Euklidinen normi
>> norm(x,1)   % l1-normi (itseisarvojen summa)
>> norm(x)     % Oletusarvona euklidinen

>> x=[1 -1 2 -3 4 6]
>> m=max(x)
>> [m,k]=max(x)   % sekä maksimiarvo että sen indeksi.

>> A=rand(6,4);
>> koko=size(A)   % Palauttaa  2-pituisen vektorin.
>> [m,n]=size(A)  % Sijoittaa rivien lkm:n muuttujaan m ja 
>>                % sarakkeiden lkm:n muuttujaan n

>> A=rand(5,5);
>> eig(A)
>> [V,D]=eig(A)

Kompleksiaritmetiikka

3. Matriisi- ja taulukko-operaatiot

Kertolasku (*) on nimenomaan matriisikertolasku. Jos halutaan laskea kahden samankokoisen matriisin (vektorin) tulo vastinalkioittain (pisteittäin), kirjoitetaan kertomerkin eteen pite (.).

Jakolasku A\B tai A/B tarkoittaa matriisioperaationa yhtälöryhmän ratkaisemista ja taulukko-operaationa (A./B) yksinkertaisesti vastinalkioittain tapahtuvaa jakoa. (Taulukkotapauksessa A.\B on sama kuin A./B) .

Potenssiin korotus A^p tarkoittaa matriisioperaationa tuloa A*A*...*A ja edellyttää siis, että A on neliömatriisi. Taulukko-operaatio A.^B tarkoittaa vastinalkioittain muodostettuja potensseja ja edellyttää samankokoisia matriiseja (joista siis toinen voi olla skalaari).

Kokoamme taulukkoon:

Vasemman sarakkeen matriisioperaatiot edellyttävät, että operandit ovat oikean kokoisia kyseiseen toimitukseen. Tässäkin tapauksessa skalaarilla operoiminen onnistuu aina. On syytä huomata, että potenssiin korotuksessa ja jakolaskussa matriisi- ja taulukko-operaatiot eivät ole samoja, vaikka toinen argumentti olisi skalaari. Kertolaskussa sensijaan skalaarin ja matriisin tulo on sama kuin pisteittäinen tulo.

Matriisijakolaskut

>> x=A\b

>> x=inv(A)*b

Tässä b:n on oltava A:n sarakkeen pituinen sarakevektori tai matriisi, jossa tällaisia sarakevektoreita on ladottuna vierekkäin.

Muistisäänöt:

• Tärkeämpi jako-operaatio ilmaistaan takakenoviivalla ( \ ) .
• Yhtälöryhmän ratkaisu voidaan ajatella matriisilla A jakamiseksi, siksi A on jakoviivan alapuolella.
• Vähemmän tärkeätä jako-operaatiota ( / ) ei tarvitse muistaa.

Mainittakoon vielä, että matriisijakolaskussa A:n ei tarvitse olla neliömatriisi. Ellei se ole, ratkaisu suoritetaan PNS-mielessä. (Palataan lähemmin.)

Matriisi- ja taulukko-operaatioesimerkkejä

Toisin kuin Maplessa, Matlabissa ei voida käsitellä "vapaita" muuttujia. (Jos käytetään lisäpakkausta "symbolic toolbox", voidaan suorittaa myös symbolisia operaatioita, mutta tässä käsittelemme vain Matlabin perusajatusmaailmaa.)

>> x=[-2,-1,0,3,5]  
>> x2=x.^2              % x-vektorin 2. potenssit.
>> x^2                  % Matriisipotenssi on tuomittu epäonnistumaan.
>> x.*exp(x)            % exp toimii "pisteittäin", kerrotaan exp-arvot
                        % pisteittäin x-arvoilla.
>> x=linspace(-1,2);    % 100-pituinen diskretoitu x-akselin pätkä.
>> plot(x,x.*exp(x))    % Yhdistetään kuvaajan 100-pistettä pikku janoilla.

Tee itsellesi selväksi pisteittäiset, vastinalkioittain toimivat operaatiot.

Esimerkkejä matriisioperaatioista

1. Lineaarinen yhtälösysteemi

Esimerkki

2. Kokeiluja matriisipotenssilla

rand('state',1)
A=rand(4,4)
[rank(A),rank(A^10),rank(A^25),rank(A^30)]
>> rand('state',1)                           
>> A=rand(4,4)                               
A =
    0.9528    0.8407    0.0222    0.1996
    0.7041    0.4428    0.3759    0.3031
    0.9539    0.8368    0.8986    0.5383
    0.5982    0.5187    0.4290    0.9102
>> [rank(A),rank(A^10),rank(A^25),rank(A^30)]
ans =
     4     4     2     1

3.1 Työtila, muuttujat, istunnon talletus, help

Komennot

clear, CTRL-C, help, helpwin, helpdesk, ...
load, diary, save

Istunnon ja muuttujien talletus

Istunnosta saadaan "päiväkirja" tiedostoon "doku" komennolla diary doku. Tämä on tehtävä etukäteen. Usein on kätevämpää menetellä edellisellä tavalla, jotta vältytään kaikenmaailman virheilmoitusten jälkisiivoukselta.

Komentoja save ja load voidaan käyttää, jos halutaan tallettaa kaikki tai osa muuttujista ja palauttaa ne jälkeenpäin levyltä työtilaan. Pelkkä save tallettaa kaikki muuttujat tiedostoon matlab.mat, josta ne saadaan palautetuksi komennolla load. Muuttujien tallettamista tarvittaneen aika harvoin, hyödyllisempää on yleensä tallettaa komennot ja ajaa ne uudestaan.

Sensijaan tyyppiä save 'tiedosto.txt' x y z -ascii olevat komennot ovat varsin hyödyllisiä tulosten talletukseen, jos halutaan vaikka jatkaa datan käsittelyä jollain muulla ohjelmalla.
Vastaavasti load 'tiedosto.txt' .

Kts. vanhaa L1.html ***

3.2 Laskentatarkkuus, tulostusasu, aritmetiikkaa

Komennot, systeeminuuttujat

eps, format

4. Muuttujat ja lausekkeet, vertailua Mapleen

Matlab- ja Maple-sijoituslauseiden syntaksi

Muuttujan nimissä erotellaan pienet ja isot kirjaimet, siten esimerkiksi x ja X edustavat eri muuttujaa. Tämä pätee niin Maplen kuin Matlabin suhteen. Tuttu englanninkielinen termi "case sensitive" pätee siten molempiin.

Kuten todettu, Matlabissa ei ole vapaita muuttujia, kuten Maplessa. Tämä yksinkertaistaa evaluointimekanismia merkittävästi. Jos evaluonnissa törmätään muuttujaan, jolla ei ole arvoa, saadaan virheilmoitus. (Maplen evaluointisääntöjä on käsitelty mm. viitteessä [HAM].)

Periaatteita

• Yhden muuttujan funktion arvoja esittävä Matlab-lauseke muodostetaan yleensä ajatellen muuttuja (sanokaamme x) vektoriksi. Tällöin laskutoimitukset ovat pistealkuisia taulukko-operaatioita. (Pistettä ei tule tapauksissa + tai -, muistammehan.)
• Lausekkeet ovat toisaalta usein matriisilaskentaan liittyviä lausekkeita, jolloin laskutoimitukset ovat matriisitoimituksia.
• Jos lauseke kirjoitetaan tulkille ilman loppumerkkiä, se laskee ja näyttää arvon ja sijoittaa sen sijoitusmerkin (=) vasemmalla puolella olevaan muuttujaan, tai "systeemimuuttujaan" ans, mikäli muuttujaan sijoittamisosa puuttuu. Loppumerkki (;) estää tulostuksen.
• Samalle riville voi kirjoittaa useita sijoituslauseita pilkulla tai puolipisteellä erotettuna. Pitkä lauseke voidaan jakaa eri riveille lopettamalla rivi kolmeen pisteeseen ( ... ) .

Matemaattisten lausekkeiden käsittely on siten Maplessa mukavampaa ja luontevampaa (myös vapaiden muuttujien takia).

Toisaalta Maplessa on tiettyjä komplikaatioita matriisien käsittelyssä. Asia on paranemaan päin versiossa Maple 6 kehitetyn LinearAlgebra- pakkauksen ansiosta. Kuitenkin siirtymäkauden hankaluuksia esiintyy, koska nykyisellään on myös tarvetta vanhempaan linalg-syntaksiin.
Matlab on numeeristen matriisien käsittelyssä ylivertaisen yksinkertainen ja lisäksi tehokas Mapleen verrattuna. (Symbolisia matriiseja ei Matlabilla tietenkään voi käsitellä.)

Esimerkki "algebrallisesta" lausekkeesta

x=linspace(-1,1); y1=1+x; y2=y1+(x.^2)/2; y3=y2+(x.^3)/(1*2*3); plot(x,y1,'b',x,y2,'r',x,y3,'g',x,exp(x),'k') >> plot(x,y1,'b',x,y2,'r',x,y3,'g',x,exp(x),'k') >> shg >> grid

Esimerkki matriisilausekkeesta

>> rand('state',0) >> A=rand(2,2); >> S1=eye(2,2)+A; >> S2=S1+(A^2)/2; >> S3=S2+(A^3)/(1*2*3); >> S4=S3+(A^4)/(1*2*3*4); >> [A,S1,S2,S3,S4,expm(A)] ans = Columns 1 through 7 0.9501 0.6068 1.9501 0.6068 2.4716 1.0426 2.6704 0.2311 0.4860 0.2311 1.4860 0.3971 1.6742 0.4642 Columns 8 through 12 1.2187 2.7278 1.2702 2.7441 1.2849 1.7383 0.4838 1.7562 0.4894 1.7613

Tulosta on syytä katsoa ajattelemalla sitä vierekkäisinä 2 x 2-matriiseina. Kirjoitetaan yleisemmin for-silmukalla, käytetään samalla uudempaa Matlabin tietorakennetta, solumatriisia, jossa kukin 2 x 2 - matriisi on alkiona "matriisivektorissa" P. (Solumatriisin käyttö ei olisi mitenkään välttämätöntä, sen hyöty tässä yhteydessä on lyhentää laskentakaavaa jakamalla toiminta kahteen for-silmukkaan. Saammepa samalla ensituntuman uuteen tietorakenteeseen (versiossa 5 tulleeseen).

>> for k=1:20; P{k}=(A^k)/prod(1:k); end % Tässä on kätevää käyttää % solumatriisia P ("cell array") >> S=eye(2,2);for k=1:20; S=S+P{k}; end >> [S,expm(A)] ans = 2.7441 1.2849 2.7441 1.2849 0.4894 1.7613 0.4894 1.7613 >> format long % Täysi tulostustarkkuus >> [S,expm(A)] ans = 2.74410134440431 1.28494639715736 2.74410134440431 1.28494639715736 0.48941951062196 1.76130317613298 0.48941951062196 1.76130317613298 >> format short % Palataan alkuperäiseen tulostustarkkuuteen.

Huomaa ero x.^k, A^k. Lukija, joka tuntee matriisieksponenttifunktion, huomaa heti mistä on kyse. Sellaiselle lukijalle, joka ei ole tätä käsitettä kohdannut, esimerkki voi avata uusia huikeita näköaloja (?!)

5. Matriisien osat ja kokoaminen, matriisifunktioita

eye,zeros,ones,diag,tril, triu, rand, hilb, vander, magic, primes
reshape

• Matriisi ympäröidään hakasuluilla.
• Rivin alkiot erotellaan välilyönnillä tai pilkulla.
• Rivit erotellaan puolipisteellä tai rivinvaihdolla (ENTER)

>> A=[1 2 1;-1 2 3;-10 -11 -12]
>> b=[1;1;1]   % tai b=ones(3,1)
>> Ab=[A,b]
>> A_alle_b=[A;b]

51. Relaatiot ja loogiset operaatiot

Vertailuoperaattorit voidaan ajatella funktioiksi, joiden argumentit ovat operaattorimerkin molemmin puolin, voidaan puhua vasemmasta ja oikeasta argumentista.

Vertailufunktiot toimivat kohdassa 7 käsiteltävien skalaalaarifunktioiden tavoin.

Tämä tarkoittaa:

1. Kahden skalaarin vertailu tuottaa arvon 1, jos relaatio on tosi ja arvon 0, muuten.
2. Samankokoisten matriisien vertailu tuottaa samankokoisen tulosmatriisin, jossa vertailu suoritetaan vastinalkioittain ("pisteittäin").
3. Jos toinen argumentti on skalaari, se laajenee toisen kokoiseksi, ts. skalaaria verrataan kuhunkin toisen argumentin alkioon vuorollaan.

Esimerkkejä

>> 2==3, 2<3
ans =
     0
ans =
     1

>> A=[0 1;2 1],B=ones(size(A)),C=zeros(size(A)),E=eye(2,2)
A =
     0     1
     2     1
B =
     1     1
     1     1
C =
     0     0
     0     0
E =
     1     0
     0     1

>> A==B
ans =
     0     1
     0     1

>> A<=C 
ans =
     1     0
     0     0

>> A>E 
ans =
     0     1
     1     0

>> E==(E ~=0)
ans =
     1     1
     1     1

>> E=(E ~=0)    % Pieni kompa: tässä suoritetaan sijoitus muuttujaan E.
E =
     1     0
     0     1

>> A=rand(10,10);
>> A>=0.5
ans =
     1     0     0     0     1     0     1     0     0     0
     0     0     0     1     0     0     0     0     0     0
     1     1     1     0     1     0     0     0     1     0
     0     1     0     1     1     0     0     0     1     0
     0     0     1     1     0     0     1     0     0     1
     0     1     1     0     0     0     0     1     0     0
     1     1     1     1     1     1     0     1     1     1
     1     0     1     0     1     0     1     1     0     0
     1     1     0     0     0     0     1     0     1     0
     1     0     0     1     1     1     1     1     1     1

Lukijaa kehoitetaan kokeilemaan/tutkimaan helpin avulla.

Huomataan, että totuusarvot ovat myös numeerisia, mutta kääntäen numeeriset funktiot (kuten zeros, ones) tuottavat numeerisen tuloksen, joka ei ole tyyppiä "logical".

Edellistä voidaan hyödyntää usein kätevästi suorittamalla laskutoimituksia totuusarvoilla 0 ja 1, jälkimmäinen on hyvä tiedostaa. Palaamme asiaan find-komennon yhteydessä kohdassa 52.

Merkkijonojen ("string") suhteen kannattaa tässä yhteydessä mainita myös konversiofunktiot num2str ja str2num

Jos haluat hassutella merkkijonoilla, niin kokeilepa hyvin vuoksi, mitä antaa   >> merkki10+0 . Tälle on luonnollinen (ASCII-) selitys, mutta älä nyt juutu kuitenkaan.

Esimerkki loogisista operaatioista vektoreilla

>> x=[-2,1,0,5];  
>> y=[-2,-1,0,1];
>> (x>0) | (y>0)
ans =
     0     1     0     1
>> (x>0) & (y>0)
ans =
     0     0     0     1

Esimerkki all- ja any- funktioista matriiseilla

>> A=reshape(1:6,3,2)'
A =
     1     2     3
     4     5     6
>> B=A; B(2,2)=-B(2,2)
B =
     1     2     3
     4    -5     6
>> all(A==B)          % all-funktiota sovelletaan sarakkeittain,
ans =                 % identtiset sarakkeet antavat 1:n (ja vain ne).
     1     0     1
>> all(all(A==B))     % Näin voidaan testata, ovatko matriisien kaikki
ans =                 % alkiot samat.
     0
>> any(A==B)          % any-funktiota sovelletaan sarakkeittain.
ans =                 % Jos vastinsarakkeissa on jotkin samat
     1     1     1    % vastinalkiot, saadaan 1, muuten 0.

>> any(any(A==B))     % Onko edes yksi vastinalkiopari sama?
ans =                 % Tässä tapauksessa on (monikin).
     1
>> all(any(A==B))     % Onko jokaisessa vastinsarakkeessa ainakin yksi
ans =                 % sama vastinalkiopari?
     1

Tällaisia yhdistelmiä voidaan soveltaa luovasti.

Huomaamme (jos olemme lukeneet pitemmälle), että all ja any ovat skalaarifunktioita

Matemaattinen sovellus - välin karakteristinen funktio

Esimerkiksi integraalimuunnosten yhteydessä tarvitaan usein paloittain määritellyn funktion esitystä karakterististen funktioiden (Heavisiden funktioiden) lineaarikombinaationa.

Matlabissa välin karakteristinen funktio voidaan esittää ällistyttävän näppärästi ja vähäeleisesti.
Ajatellaan, että x on diskretoitu x-akseli (tietysti käytännössä äärellinen osa sitä) ja a ja b skalaareja. Matlab-lauseke

>> (x > a) & (x < b)

Esimerkki

a=0;b=1;
x=linspace(a,b,20)  % Karkea diskretointi havainnollistuksen vuoksi.
y=(x>a) & (x < b)
plot(x,y);    % Yhdistetään vektorien x ja y vastinpisteet jananpätkillä.
axis([-1,2,-0.1,1.1]);grid;shg   % Parannellaan kuvan ulkoasua.

Jos haluaisimme tarkemman kuvan, voisimme ottaa hienomman diskretoinnin. Tässä tapauksessa olisi toki piirtämisen kannalta ekonomisinta valita 6 pistettä älykkäästi, kuvaajahan koostuu viidestä jananpätkästä.

Erityisesti, jos H on Heavsiden funktio (ts. positiivisen reaaliakselin karakteristinen funktio), niin siirretty funktio H(x-a) saadaan Matlab-lausekkeella >> x > a .

Huomaamme, kuinka kätevää on, että totuusarvoilla 0 ja 1 voi suorittaa myös tavallisia aritmeettisia laskutoimituksia.

52. Datan käsittelyä, find, sum, max, min

Esimerkki

>> rand('state',0)        % Kokeen toistettavuuden takia alustus.
>> v=floor(10*rand(1,8))  % Satunnaisia kokonaislukuja välillä [0,10].
v =
     9     2     6     4     8     7     4     0

>> indvek=[1 1 3 4 2 2 6 1 7 5 5 5]; % indeksivektori saa olla miten
                                     % pitk„ tahansa, toistoja saa esiintyä                                     
>> v(indvek)
ans =
     9     9     6     4     2     2     7     9     4     8     8     8
                         

Usein on tarvetta valita vektorista alkiot, jotka toteuttavat tietyt ehdot. Voimme esimerkiksi tarvita kaikki alkiot, jotka ylittävät jonkin kynnysarvon. (Pankinjohtaja voi haluta valita avainasiakkaikseen kaikki ne, joiden pankkitalletusten vuoden keskiarvo ylittää 50 000 mk.)

Funktio find palauttaa nollasta poikkeavien vektorin alkioiden indeksit. Ehtovektoreitahan osaamme muodostaa loogisilla ja järjestysoperaatioilla.

Esimerkki

>> x=[0,1,-3,5,0];
>> ind=find(x)
ind =
     2     3     4
>> x(ind)
ans =
     1    -3     5
>> x=[x,2*x,-x] % Rakennetaan pitempi ja luvuiltaan vaihtelevampi vektori
                      
x =
  Columns 1 through 12 
     0     1    -3     5     0     0     2    -6    10     0     0    -1
  Columns 13 through 15 
     3    -5     0
>> ind=find(x>=2)
ind =
     4     7     9    13
>> x(ind)
ans =
     5     2    10     3

Yleensä kirjoitetaan suoraan x(find(x>=2)) , mikä on helppo omaksua idiomina.

Matlab sallii myös find-funktion poisjättämisen yllä: x(x>=2) toimii yhtä hyvin.
Jos ajattelemme tätä idiomina, se on sinänsä luonteva (ja pankinjohtajankin helposti omaksuttavissa). Sensijaan indeksoinnin kannalta ajateltuna siinä on näennäinen ristiriita: edellähän olemme oppineet, että 0 ei kelpaa indeksiksi.

Indeksointiin lisätäänkin nyt sellainen sääntö, että indeksointi loogisella vektorilla toimii niin, että valitaan ykkösiä vastaavat vektorin alkiot ja jätetään nollia vastaavat valitsematta. Varjopuolena on, että looginen ja numeerinen (0/1)-vektori (sanomme lyhyesti: "bittivektori") näyttää samalta, mutta edellinen toimii, kun taas jälkimmäinen johtaa virheeseen.

Suositus

Suosittelemme aina käytettäväksi find-funktiota ehtovalintatilanteissa. Se on yhtä find-sanaa (ja kahta sulkua) pitempi, mutta johdonmukaisempi.

Tehtävä Valitse annetusta vektorista parittomia (vastaavasti parillisia) indeksejä vastaavat alkiot.

Ratkaisu

Eleganttia on käyttää jakojäännosfunktiota rem

v=...                       % Jokin vektori
indeksit=1:length(v)        % v:n indeksivektori
v(find(rem(indeksit,2)==0)) % Parillisia vastaavat
v(find(rem(indeksit,2)~=0)) % Parittomia vastaavat

Funktio find sovellettuna matriisiin

Funktio find on valmiiksi ohjelmoitu niin, että kutsu ind=find(A) tekee tuon jonoutuksen. (Ei siis tarvitse kirjoittaa: ind=find(A(:)) .) Kaiken lisäksi matriisit ymmärtävät myös jonoutetun indeksin käytön, ts. jos matriisille annetaan indeksivektori, se tulkitsee sen luvut jonoutetun matriisin indekseiksi.

Toisaalta funktiota voidaan myös kutsua : [i,j]=find(A) Tällöin palautetaan indeksivektorit ijaj, jotka rinnakkain asetettuna antavat 0:sta poikkeavien A:n alkioiden paikat. Tämä muoto on erityisen hyödyllinen käsiteltäessä matriiseja "harvoina" ("sparse").

Esimerkki

A=magic(4)             % Olkoon A 4 x 4- "taikaneliö"
ehtomat=mod(A,3)==0    % Mitkä alkiot ovat jaollisia 3:lla ?
ind=find(ehtomat)      % Indeksit ovat vektoriksi jonoutetun A:n indeksejä.
               % (siis sama kuin find(ans(:))
A(ind)         %
A(ind)=33      % Sijoitetaan kuhunkin arvo 33.

Olkoon A vaikkapa edellinen 4 x 4-taikaneliö (tai mikä tahansa matriisi). Kirjoita Matlab-lauseke, joka korvaa 0:lla kaikki ne A:n luvut, jotka eivät ole jaollisia 3:lla.

Ratkaisu

A=magic(4)  % tms.
A(find(mod(A,3)~=0))=0

6. Ohjausrakenteita: for, while, if, switch

Toisaalta ohjausrakenteiden välttelyssä ei kannata mennä liiallisuuksiin, eikä se aina ole mahdollistakaan.

if- ja switch-rakenteet

if  lauseke
       komentoja 
end

Tyypillisimmin lauseke on skalaari.

Yleisesti if -lauseessa voi olla elseif ja else- haaroja. (elseif on kirjoitettava yhteen.)

Koodi voidaan kirjoittaa samalle riville, silloin rivinvaihdot on korvattava pilkuilla. Selkeyden takia on syytä suosia yllä olevaa kirjoitustapaa sisennyksineen.
Luonnollisesti ohjausrakenteet kirjoitetaan yleensä m-tiedostoon, vain aivan yksinkertaisissa tapauksissa kannattaa kirjoittaa suoraan komentoikkunaan.

Esimerkki

Kirjoitetaan koodi, joka palauttaa arvon 0, jos luku on 0, arvon 1, jos se on positiivinen tai Inf, arvon -1, jos negatiivinen tai -Inf ja virheilmoituksen, jos "luku" on kompleksinen tai NaN.

Vaikka tällainen rakenne voidaan kirjoittaa suoraan Matlab-istuntoon, se ei ole mitenkään järkevää. Kirjoitamme koodin tiedostoon ifesim.m . Laitamme alkuun input-lauseen, joka kysyy käyttäjältä syötelukua n.

n=input('Anna luku tai +-Inf ')
' Jos annoit kompleksiluvun tai NaN:n, syytä itseäsi. '
if imag(n)~=0
   error('Haluan reaaliluvun')
elseif n < 0
   tulos=-1
elseif n==0
   tulos=0
elseif n > 0
   tulos=1
else
  error('Haluan reaaliluvun, tai +/- Inf:n, NaN ei käy. ')
end

Switch-esimerkki

Kirjoitetaan muunnelma edellisestä, joka sopii switch-rakenteelle. Tehdään se tiedostoon switchesim.m .

n=input('Anna luku tai +-Inf ')

switch n
   case  0
      'Annoit luvun 0'
   case  1
      'Annoit luvun 1'
   case -1
      'Annoit luvun -1'
   otherwise
      ['Annoit jotain muuta, tarkemmin sanottuna ',num2str(n),':n']
end

Switch-rakenne soveltuu siis tilanteeseen, jossa haaraudutaan muutaman "vaihdemuuttujan" arvon mukaan. Toisin kuin if-lauseessa, tässä ei käytetä loogisia ehtoja, vaan rakenne itsessään sisältää "vaihdemuuttujan" vertailun "tapausarvoon".

Näyttää siltä, että kompleksinen vaihdemuuttuja toimii jonkin tämän kirjoittajalle vaikeasti aukeavan logiikan mukaisesti. En voi nyt muuta kuin suositella pitäytymistä reaalisissa (tai käyttämään if-rakennetta).

Yllä oleva koodi toimii järkevästi reaaliluvuilla sekä syötteillä Inf,-Inf, NaN ja 'kissa'. Kompleksilukujen suhteen se puhuu joskus palturia.

for-lause

for muuttuja=vektorilauseke
   komennot
end

Esimerkki (tyhmä)

Lasketaan vektorin alkioiden itseisarvojen summa "vääräoppisella" tavalla.

v=...   % Annetaan vektori v 
n=length(v);
summa=0;
for k=1:n
  summa=summa+abs(v(k));
end;

Esimerkki (viisaampi)

Iteroidaan neliöjuurifunktiota annettuun lähtäarvoon ja talletetaan koko iteraatiojono vektoriksi iterjono .

a=5     % Annetaan iteraation lähtäarvo, olkoon 5
n=10    % Iteraatiokierrosten lukumäärä
%%%%%%%%%%%  iter.m alkaa %%%%%%%%%%%%%%%%%%
iterjono=[]; % Alustetaan iterjono tyhjäksi vektoriksi.
uusiarvo=a;
for k=1:n
  iterjono=[iterjono,uusiarvo];
  uusiarvo=sqrt(uusiarvo);
end;
iterjono
%%%%%%%%%%%%%% iter.m loppuu %%%%%%%%%%%%

Jos kirjoitamme yllä merkityn osan tiedostoon iter.m, voimme edetä Matlab-istunnossamme seuraavaan tapaan:

a=5;n=10;
iter            % Suoritetaan tiedostossa iter.m olevat komennot.
a=iterjono(end) % Uudeksi alkuarvoksi viimeinen edellä saatu arvo
a =
    1.0031
>> iter          % Suoritetaan tiedostossa iter.m olevat komennot, 
iterjono =       % alkuarvona on edellisen iteroinnin viimeinen arvo.
  Columns 1 through 7 
    1.0031    1.0016    1.0008    1.0004    1.0002    1.0001    1.0000
  Columns 8 through 10 
    1.0000    1.0000    1.0000
>> format long   % Täysi tulostustarkkuus
>> iter          % Nyt ei muuteta alkuarvoa, katsotaan edellistä tarkemmin
iterjono =
  Columns 1 through 4 
   1.00314837919044   1.00157295250543   1.00078616722326   1.00039300638462
  Columns 5 through 8 
   1.00019648388935   1.00009823711941   1.00004911735345   1.00002455837517
  Columns 9 through 10 
   1.00001227911220   1.00000613953725
>> format short   % Palataan oletustulostustarkkuuteen.

Esimerkki sisäkkäisistä silmukoista, Hilbertin matriisi

Muodostetaan ns. Hilbertin matriisi, jonka alkiot ovat H(i,j)=1/(i+j-1).

m=4;n=4  % Annetaan m ja n

for i=1:m
    for j=1:n
       H(i,j)=1/(i+j-1);
    end
end
H     % Näytä tulos.
H =
    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500
    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000
    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667
    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429

Tässä on esimerkki tilantessa, joka on varmasti helpointa kirjoittaa alkiotason silmukointina. Matriisioperaatioratkaisu vaatii hieman kokemusta. Itse asiassa Matlabissa on valmis funktio hilb, jonka on kirjoittanut Matlab:n luoja, Cleve Moler. Koodin voi katsoa komennolla type hilb .

while-lause

while lauseke
      komennot 
end

While-rakenne on sopivampi iterointiin kuin for sikäli, että lopetusehto voidaan ottaa luontevasti mukaan.

Esimerkki, kone-epsilon

Kone-epsilon on suurin liukuluku eps>0, joka lisättynä 1:een antaa tulokseksi 1. Kyseessä on liukulukujärjestelmän suhteellisen tarkuuden mitta, jota myös pyöristysyksiköksi sanotaan.

e=1;  % Alustus 
while 1+e > 1
  e=e/2;
end
e
eps   % Systeemimuuttuja eps antaa arvion kone-epsilonille
abs(e-eps)   % Paljonko eroavat

Tämä koodi voi antaa "pahimmassa tapauksessa" arvon eps/2 riippuen alkuarvosta. Kone-epsilonin tapauksessa tärkeää on tietää suuruusluokka, kertoimella 2 ei ole merkitystä.

7. Skalaarifunktiot

Siis jos f on skalaarifunktio, niin

       f(skalaari) -> skaalaari


              | f(a1 1) ...   f(a1 n) |
              | f(a2 1) ...   f(a2 n) |
   f(A) ->    |        ...           |
              |        ...           |
              | f(am 1) ...   f(am n) |

Otetaanpa hieman laajempi luettelo Matlabin skaalaarifunktioita:

    sin   asin    exp   abs    round
    cos   acos    log   sqrt   floor
    tan   atan    rem   sign   ceil

Jos joku näistä on tuntematon, niin muistathan katsoa helpistä.

8. Vektorifunktiot

Esimerkki, sum, max

A=reshape(1:12,4,3)
sum(A)
max(A)

Other MATLAB functions operate essentially on a vector (row or column), but act on an m-by-n matrix (m>=2) in a column-by-column fashion to produce a row vector containing the results of their application to each column. Row-by-row action can be obtained by using the transpose; for example, mean(A')'.

     f(vekt) -> skal
     f(A)   operoi sarakkeittain:


               |        |     |           |
               | f(a. 1)   ...     f(a. n) |
       f(A) -> |        |     |           |
               |        |     |           |

        max        sum       median     any   floor
        min        prod      mean       all   ceil   round
        sort       std

Matriisin jonoutus pitkäksi sarakevektoriksi saadaan aikaan kirjoittamalla

         A(:)

Jonoutetusta pitkästä vektorista päästään takaisin matriisiin komennolla reshape , joka on varsin kätevä moneen hommaan, katso helpwin reshape .

Tehtävä: (a) Kirjoita lauseke, joka laskee matriisin A alkioiden itseisarvojen sarakesummien maksimin.
(b) Sama rivisummille.
Edellinen on matriisin ns. 1-normi, jälkimmäinen taas "ääretön-normi", näistä enemmän tuonnempana.

9. Matriisifunktiot

• samankokoinen matriisi (esim. rref)
• kaksi samankokoista matriisia (esim. eig)
• vaikkapa kolme samankokoista matriisia (esim. lu)
• vektori (esim. size, eig, poly)
• skalaari (esim. det, norm, cond, rank)

  eig, inv, svd, lu, rref, expm, det, size, norm, cond, rank 

Mainittakoon tässä eig .

     lam=eig(A)

   [V,D]=eig(A)

Tehtävä: Muodosta symmetrinen 10 x 10 satunnaismariisi (käyttäen rand -funktiota), nimeltään A. Huomaa, että symmetrisen matriisin saat esim. kertomalla mielivaltaisen matriisin ja sen transpoosin keskenään. Muodosta matriisit V ja D, missä V:n sarakkeet ovat A:n ominaisvektorit ja D:n diagonaalialkiot ovat A:n ominaisarvot. Laske A*V ja V*D ja totea ne samoiksi. Muistele ominaisarvojen ja - vektoreiden määritelmää ja perustele, miksi näin on.

10. Esimerkkejä nuolinäppäiniteroinnista

Ympäristö on Unix:n tcshell-komentotilan tyylinen:

• "Nuoli-ylös"-näppäimellä voi kelata komentopuskuria taaksepäin.
• Toiminnassa ovat Emacs-tyyliset CTR-A (alkuun, "Anfang"), CTR-E (loppuun, "Ende"), CTR-K (rivin lopun poisto "kill").

Esimerkki nuolinäppäinalgoritmista, Pika-Newton

Matlab-ikkunassa voidaan pystyttää pikaisesti ihan merkittäviä on-line algoritmeja suorittamalla iteraatiota nuolinäppäimellä. Tarvittaessa kannattaa venyttää Matlab-ikkuna leveäksi, jotta saadaan pitkä (tarvittaessa pari pitkää riviä) algoritmin ytimeksi. Tätä toimintaa kannattaa suunnitella yhdessä editori-ikkunan kanssa (muista myös kynä ja paperi!)

Esim: Ratkaise f(x)=0 Newtonin menetelmällä , kun f(x)=x*exp(-x)-sin(5*x) Verrataan vielä kuvaan zoomaamalla.

x=linspace(0,5);y=x.*exp(-x)-sin(5*x);plot(x,y);grid;shg

Lasketaan derivaatta Maplella:

    |\^/|     Maple V Release 5.1 (Helsinki University of Technology)
._|\|   |/|_. Copyright (c) 1981-1998 by Waterloo Maple Inc. All rights
 \  MAPLE  /  reserved. Maple and Maple V are registered trademarks of
 <____ ____>  Waterloo Maple Inc.
      |       Type ? for help.
> diff(x*exp(-x)-sin(5*x),x);
                       exp(-x) - x exp(-x) - 5 cos(5 x)


%Valitaan kuvasta alkupiste 1.3.

x=1.3;
fx=x.*exp(-x)-sin(5*x);dfx=exp(-x)-x.*exp(-x)-5*cos(5*x);x=x-fx./dfx

Usean muuttujan Newton

 1+x2-y2+excos y = 0
 2 x y + ex sin y = 0

clf
x=linspace(-2,5,40);y=linspace(-6,6,40);
[X,Y]=meshgrid(x,y);            
Z1=1+X.^2-Y.^2+exp(X).*cos(Y);
Z2=2*X.*Y+exp(X).*sin(Y);
contour(X,Y,Z1,[0 0])
hold on
contour(X,Y,Z2,[0 0],'r')
shg
figure
surfl(X,Y,Z1);hold on; surfc(X,Y,Z2);colorbar;shg;grid

%%%%%%% funjac.m %%%%%%%%%%%%
function [f,J]=funjac(x)
% Kutsuesim: [f,J]=funjac([1,2])  % Lasketaan funktio ja Jakobiaani pist [1,2].
% Tämä on algoritmin ongelmariippuva osa, käytä tarvittaessa Maplea
% Jakobiaanin muodostamiseen

function [f,J]=funjac(x)
% Kutsuesim: [f,J]=funjac([1,2])  % Lasketaan funktio ja Jakobiaani pist [1,2].
% Tämä on algoritmin ongelmariippuva osa, käytä tarvittaessa Maplea
% Jakobiaanin muodostamiseen

f=[1+x(1)^2-x(2)^2+exp(x(1))*cos(x(2)); 2*x(1)*x(2)+exp(x(1))*sin(x(2))];
J=[2*x(1) + exp(x(1))*cos(x(2)),  -2*x(2) - exp(x(1))*sin(x(2))
   2*x(2) + exp(x(1))*sin(x(2)),   2*x(1) + exp(x(1))*cos(x(2))];

%%%%%%%%% end funjac.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \  MAPLE  /  reserved. Maple and Maple V are registered trademarks of
 <____ ____>  Waterloo Maple Inc.
      |       Type ? for help.
> with(linalg):
> jacobian([1+x^2-y^2+exp(x)*cos(y),2*x*y+exp(x)*sin(y)],[x,y]);
                 [2 x + exp(x) cos(y)    -2 y - exp(x) sin(y)]
                 [                                           ]
                 [2 y + exp(x) sin(y)    2 x + exp(x) cos(y) ]

x=[1;-2];
[fx,Jx]=funjac(x);h=-Jx\fx;x=x+h

Tai vaikka:

x=ginput
x=x'
[fx,Jx]=funjac(x);h=-Jx\fx;x=x+h

Esimerkki nuolinäppäinalgoritmista, Euler

format compact
f=inline('t.^2-y','t','y')

clf;hold on, grid, title('dy/dt=t^2-y'); n=2;a=0;b=4;ya=1;
[T,Y]=euleri(f,a,b,ya,n);plot(T,Y,T,Y,'o'); shg;[T',Y'], n=2*n

%%%%%% euleri.m %%%%%%%%%%%%
function [T,Y]=euleri(f,a,b,ya,n)
h=(b-a)/n;
Y=zeros(1,n+1);T=Y;
T(1)=a;Y(1)=ya;
for j=1:n
   Y(j+1)=Y(j)+h*feval(f,T(j),Y(j));
   T(j+1)=a+j*h;
end;   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

11. Osamatriisit, kaksoispiste

  a:b     % vektori: [a,a+1,...,b]
  a:h:b   % vektori: [a,a+h,...,b]

Kokeile esim:

>> -5:6
>> -3.1:0.1:4
>> 2:-0.5:-1

>> x=-pi:0.1:pi; y=sin(x); 
>> plot(x,y)
>> [x' y']

>> a=-pi; b=pi; n=20;   % Muuteltavat arvot.
>> h=(b-a)/n;
>> x=a:h:b;

Vectors and submatrices are often used in MATLAB to achieve fairly complex data manipulation effects. Colon notation" (which is used both to generate vectors and reference submatrices) and subscripting by vectors are keys to efficient manipulation of these objects. Creative use of these features permits one to minimize the use of loops (which slows MATLAB) and to make code simple and readable. Special effort should be made to become familiar with them.

The expression 1:5 (met earlier in for statements) is actually the row vector [1 2 3 4 5]. The numbers need not be integers nor the increment one. For example,

        0.2:0.2:1.2

        5:-1:1  gives   [5 4 3 2 1].

        x = [0.0:0.1:2.0]' ;
        y = sin(x);
        [x y]

The colon notation can be used to access submatrices of a matrix. For example,

A(1:4,3) is the column vector consisting of the first four entries of the third column of A.

A(:,3) is the third column of A , and A(1:4,:) is the first four rows.

A(:,[2 4]) contains as columns, columns 2 and 4 of A .

A(:,[2 4 5]) = B(:,1:3) replaces columns 2,4,5 of A with the first three columns of B. Note that the entire altered matrix A is printed and assigned. Try it.

A(:,[2,4]) = A(:,[2,4])*[1 2;3 4]

If x is an n-vector, what is the effect of the statement x = x(n:-1:1)? Try it.

To appreciate the usefulness of these features, compare these MATLAB statements with a Pascal, FORTRAN, or C routine to effect the same.

12. M-files

There are two types of M-files: script files and function files.

Script files. A script file consists of a sequence of normal MATLAB statements. If the file has the filename, say, rotate.m, then the MATLAB command rotate will cause the statements in the file to be executed. Variables in a script file are global and will change the value of variables of the same name in the environment of the current MATLAB session.

Script files are often used to enter data into a large matrix; in such a file, entry errors can be easily edited out. If, for example, one enters in a diskfile data.m

        A = [
        1 2 3 4
        5 6 7 8
        ];

An M-file can reference other M-files, including referencing itself recursively.

Function files. Function files provide extensibility to MATLAB. You can create new functions specific to your problem which will then have the same status as other MATLAB functions. Variables in a function file are by default local. However, version 4.0 (nyt on jo 5.3) permits a variable to be declared global.

We first illustrate with a simple example of a function file. Otetaan pari vielä yksinkertaisempaa. Määritellään funktio 'sincos', joka laskee sinin ja cosinin tulon.

function y=sincos(x)
y=sin(x).*cos(x);

sincos=inline('sin(x).*cos(x)','x');

Piirretään

x=linspace(0,2*pi);
plot(x,sincos(x)); shg

function [mean,stdev] = stat(x)
            % Keskeisiä tilastollisia tunnuslukuja
            % x - vektori
            % esim: [ke,std]=stat(1:10)
            n = length(x);
            mean = sum(x) / n;
            stdev = sqrt(sum((x - mean).^2)/n);

        function  a = randint(m,n)
        %RANDINT  Randomly generated integral matrix.
        %         randint(m,n) returns an m-by-n such matrix with entries
        %         between 0 and 9.
        a = floor(10*rand(m,n));

        function  a = randint(m,n,a,b)
        %RANDINT  Randomly generated integral matrix.
        %         randint(m,n) returns an m-by-n such matrix with entries
        %         between 0 and 9.
        %         rand(m,n,a,b) return entries between integers  a  and  b .
        if nargin < 3, a = 0; b = 9; end
        a = floor((b-a+1)*rand(m,n)) + a;

        function  [mean, stdev] = stat(x)
        % STAT  Mean and standard deviation
        %      For a vector x, stat(x) returns the
        %      mean and standard deviation of  x.
        %      For a matrix x, stat(x) returns two row vectors containing,
        %      respectively, the mean and standard deviation of each column.
        [m  n] = size(x);
        if m == 1
              m = n;     % handle case of a row vector
        end
        mean = sum(x)/m;
        stdev = sqrt(sum(x.^ 2)/m - mean.^2);

        function  a = gcd(a,b)
        % GCD  Greatest common divisor
        %      gcd(a,b) is the greatest common divisor of
        %      the integers a and b, not both zero.
        a = round(abs(a));  b = round(abs(b));
        if  a == 0 & b == 0
            error('The gcd is not defined when both numbers are zero')
        else
            while b  ~= 0
                r = rem(a,b);
                a = b;  b = r;
            end
        end

        function  [b, steps] = bisect(fun, x, tol)
        %BISECT Zero of a function of one variable via the bisection method.
        %         bisect(fun,x) returns a zero of the function.  fun is a string
        %         containing the name of a real-valued function of a single
        %         real variable; ordinarily functions are defined in M-files.
        %         x  is a starting guess.  The value returned is near a point
        %         where  fun  changes sign.  For example,
        %         bisect('sin',3) is pi.  Note the quotes around sin.
        %
        %         An optional third input argument sets a tolerence for the
        %         relative accuracy of the result.  The default is eps.
        %         An optional second output argument gives a matrix containing a
        %         trace of the steps; the rows are of form  [c f(c)].

        % Initialization
        if nargin < 3, tol = eps; end
        trace = (nargout == 2);
        if x  ~= 0, dx = x/20; else, dx = 1/20; end
        a = x - dx;  fa = feval(fun,a);
        b = x + dx;  fb = feval(fun,b);

        % Find change of sign.
        while (fa > 0) == (fb > 0)
             dx = 2.0*dx;
             a = x - dx;  fa = feval(fun,a);
             if (fa > 0) ~= (fb > 0), break, end
             b = x + dx;  fb = feval(fun,b);
        end
        if trace, steps = [a fa; b fb]; end

        % Main loop
        while  abs(b - a) > 2.0*tol*max(abs(b),1.0)
             c = a + 0.5*(b - a);  fc = feval(fun,c);
             if trace, steps = [steps; [c fc]]; end
             if (fb > 0) == (fc > 0)
                  b = c;  fb = fc;
               else
                 a = c;  fa = fc;
             end
        end

        s = 'This is a test'

        disp('this message is hereby displayed')

        error('Sorry, the matrix must be symmetric')

        iter = input('Enter the number of iterations:  ')

   A=rand(100,100);b=ones(100,1); tic; x = A \ b;  toc

        format short     fixed point with 4 decimal places (the default)
        format long      fixed point with 14 decimal places
        format short e   scientific notation with 4 decimal places
        format long e    scientific notation with 15 decimal places

        x = -4:.01:4;  y = sin(x);  plot(x,y)

         x=linspace(-4,4);

       x=linspace(-4,4,10); y=sin(x); [x' y'], plot(x,y)

        x = -1.5:.01:1.5;  y = exp(-x.^2);  plot(x,y)

        t=0:.001:2*pi; x=cos(3*t); y=sin(2*t); plot(x,y)

   t=linspace(0,2*pi);x=cos(t);y=sin(t);plot(x,y);
   axis('equal');axis('square')

   t=linspace(0,2*pi);x=cos(t);y=sin(t);plot(t,x,'r',t,y,'b');

   t=linspace(0,4*pi);x=cox(t);y=sin(t);z=t;
   plot3(x,y,z);    % Ruuviviiva

    fii=linspace(fii1,fii2);x=r(fii).*cos(fii);y=r(fii).*sin(fii);
    plot(x,y);
    axis('equal');axis('square');grid  % Usein näissä halutaan sama
                                       % skaala akseleille

    fii=linspace(fii1,fii2);polar(fii,r(fii));
    grid  % Lisäbonuksena saadaan myös hilaviivat napakoordinaattiviivoina

        title         graph title
        xlabel        x-axis label
        ylabel        y-axis label
        gtext         interactively-positioned text
        text          position text at specified coordinates

        title('Best Least Squares Fit')

        x=0:.01:2*pi;y1=sin(x);y2=sin(2*x);
        y3=sin(4*x);plot(x,y1,x,y2,x,y3)

        x=0:.01:2*pi; Y=[sin(x)', sin(2*x)', sin(4*x)']; plot(x,Y)

        x=0:.01:2*pi; y1=sin(x); y2=sin(2*x); y3=sin(4*x);
        plot(x,y1,'--',x,y2,':',x,y3,'+')
        plot(x,y1,'--b',x,y2,'g',x,y3,'+y')

        [X,Y] = meshgrid(x,y);

        x = -2:.1:2;
        y = x;
        [X,Y] = meshgrid(x,y);
        Z = exp(-X.^2 - Y.^2);
        mesh(x,y,Z)  % yhtä hyvin mesh(X,Y,Z)

        subplot(1,2,1),surfc(x,y,Z)  
        title('Pintapiirros')
        subplot(1,2,2),contour(x,y,Z)
        title('Korkeuskäyrät')

    x=linspace(a,b);plot(x,f(x))

   fplot('f',[a,b])

A={'Otsikko';[1 2;3 4];magic(10)}
A
celldisp(A)
cellplot(A)
A{1,1},A{2,1},A{3,1}
%% ei toimi näin: %[ots,ykakone,taika10]=deal([A{1,1},A{2,1},A{3,1}])
A={'Otsikko';{1 2;3 4};magic(10)}

A
celldisp(A)
cellplot(A)

clear
AA={'A';magic(3)}
nimi=AA{1}
A=AA{2}

clear
M=magic(4)
A.nimi='M'
A.data=M
A2.nimi='A2'
A2.data=A.data^2

for i=1:5
nimet{i}=['nimi',num2str(i)]
  end;
 cellplot(nimet);shg

A(:,:,1)=[1 2 3;-2 3 -1;5 -4 -1];A(:,:,2)=vander(1:3);

A(:,:,1) =
     1     2     3
    -2     3    -1
     5    -4    -1
A(:,:,2) =
     1     1     1
     4     2     1
     9     3     1
» max(A)
ans(:,:,1) =
     5     3     3
ans(:,:,2) =
     9     3     1
» min(A)
ans(:,:,1) =
    -2    -4    -1
ans(:,:,2) =
     1     1     1

» whos
  Name      Size         Bytes  Class

  A         3x3x2          144  double array   % 3 riviä, 3 saraketta, 2 tasoa
  ans       1x3x2           48  double array

min(min(A))

ans(:,:,1) =
    -4
ans(:,:,2) =
     1
» min(min(min(A)))
ans =
    -4
» min(A(:))
ans =
    -4

A
sum(A)
A(:,:,1) =
     1     2     3
    -2     3    -1
     5    -4    -1
A(:,:,2) =
     1     1     1
     4     2     1
     9     3     1
ans(:,:,1) =
     4     1     1     % 1. tason sarakesummat
ans(:,:,2) =
    14     6     3     % 2. tason sarakesummat

cumsum(A)
ans(:,:,1) =
     1     2     3   % 1. tason sarakkeittain otetut kumulatiiviset summat
    -1     5     2
     4     1     1
ans(:,:,2) =
     1     1     1   % 2. tason sarakkeittain otetut kumulatiiviset summat
     5     3     2
    14     6     3

format compact
x=[1 1 3 4 5 1 9 8]
[m,y]=hist(x,10)  % Oletusarvo 10, toimii siten muodossa hist(x). 
bar(y,m)

house=ceil(10*rand(3,3,3,4))
A=cell(3,4)
for i=1:3
   for j=1:4
     A{i,j}=ceil(10*rand(3,3));
   end;
end;

celldisp(A)
cellplot(A)

>> help colspace

 --- help for sym/colspace.m ---

 COLSPACE Basis for column space.
    The columns of B = COLSPACE(A) form a basis for the column space of A.
    SIZE(B,2) is the rank of A.
 
    Example:
 
      colspace(sym(magic(4))) is
 
        [  0,  1,  0]
        [  0,  0,  1]
        [  1,  0,  0]
        [ -3,  1,  3]
 
    See also NULL.

General