a)

>	restart:with(inttrans):alias(L=laplace,IL=invlaplace): # Jätetään u vapaaksi.

Warning, the name changecoords has been redefined

>

f:=t^2;

>	FT:=Int(f*exp(-s*t),t=0..T);

>	u:=t^2; dv:=exp(-s*t); v:=int(dv,t); du:=diff(u,t);

>	FT:=subs(t=T,u*v)-subs(t=0,u*v)-Int(v*du,t=0..T);

1. termi menee o:aan, kun T lähenee  :tä.

Laskettavaksi jää:

>	FT:=Int(2*exp(-s*t)/s*t,t = 0 .. T);

>	u:=2/s*t; dv:=exp(-s*t): du:=diff(u,t): v:=int(dv,t);

>	FT:=subs(t=T,u*v)-subs(t=0,u*v)-Int(v*du,t=0..T);

Jälleen eka termi  menee 0:aan (kun s > 0), joten

>	FT:=Int(2*exp(-s*t)/s^2,t = 0 .. T);

Tässä onkin pelkkä exp-funktion integraali. Annetaan nyt Maplen laskea se:

>	value(FT);

Siispä saadaan:

>

F:=2/s^3;

Tarkistus:

>	int(f*exp(-s*t),t=0..infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent.

Need to know the sign of --> s

Will now try indefinite integration and then take limits.

>	assume(s > 0);int(f*exp(-s*t),t=0..infinity);

>	with(inttrans):

>	laplace(f,t,s);

Onpa nyt ainakin varmennettu.

b)

>	restart:with(inttrans):alias(L=laplace,IL=invlaplace):

Warning, the name changecoords has been redefined

Malliratkaisuissa riittäköön a)-kohdan perusteellinen "vaiheistus". Antaa Maplen nyt integroida.

>	f:=t*exp(-t);

>	intT:=int(f*exp(-s*t),t=0..T);

Kun s > -1 , saadaan raja-arvoksi:

>	Limit('intT',T=infinity)=1/(1+s)^2;

>	L(f,t,s); # Tarkistus

Lisätehtävä: Mieti, miten saat tämän s-siirtolauseen avulla!

c)

>	f:=cos(a*t);

>	intT:=int(f*exp(-s*t),t=0..T);

>	Limit('intT',T=infinity)=s/(s^2+a^2); # kun s > 0

Katsotaan taulukosta, oikein on.

Kahdella peräkkäisellä osittaisintegroinnilla johdetaan yhtälö, josta integraali voidaan ratkaista.

d)

No tämä nyt on aivan samanlainen:

>	f:=sin(a*t);

>	intT:=int(f*exp(-s*t),t=0..T);

>	Limit('intT',T=infinity)=a/(s^2+a^2); # kun s > 0

a)

Harjoitellaan samalla Heavisidea, vaikkei tässä sitä pyydetä

>	f:=u(t-1)-u(t-2);

>	plot(f,t=-1..3,scaling=constrained);

Lasketaan suoraan määritelmän mukaan kolmessa osassa:

>	Int(0*exp(-s*t),t=0..1)+Int(1*exp(-s*t),t=1..2)+Int(0*exp(-s*t),t=0..infinity);

Toisin sanoen:

>	Int(1*exp(-s*t),t=1..2);

>

>	F:=value(%);

Tämä näkyy myös t-siirtolauseesta, näetkö?

b)

>	f:=t*(u(t)-u(t-1)):

>	plot(f,t=-1..2,scaling=constrained);

>	F:=int(t*exp(-s*t),t=0..1);

t-siirtolausetta ajatellen f on syytä kirjoittaa muotoon:

>	t*u(t)-(t-1)*u(t-1)-u(t-1);

Tästä onkin helppo muuntaa (tai tarkistaa yllä oleva). (Muista, että  käyttäytyy L-muunnettaessa täsmälleen samoin kuin pelkkä  t.)

a)

>	Lt2:=L(t^2,t,s);

>	subs(s=s-3,Lt2);  # Kätevää toteuttaa s-siirto.

>	'L(exp(3*t)*t^2,t,s)'=L(exp(3*t)*t^2,t,s); # Tarkistus

b)

>	g:=5*sinh(2*t);

>	G:=L(g,t,s);

>	F:=subs(s=s-2,G); expand(%);

tai:

>	f:=5*exp(2*t)*convert(sinh(2*t),exp); f:=expand(%);

>	FF:=L(f,t,s);

>	simplify(F-FF);

Jälkimmäisessä tavassa ei käytetty s-siirtoa, joten se olkoon "epävirallinen".

c)

>	g:=cos(t):

>	f1:=1/2*exp(t)*g; f2:=1/2*exp(-t)*g;

>	F1:=subs(s=s-1,1/2*L(g,t,s));

>	F2:=subs(s=s+1,1/2*L(g,t,s));

>

F:=F1-F2;

>	normal(%);

>	L(sinh(t)*cos(t),t,s); # Tarkistus.

>

a)

Muutetaan merkinnät vastaamaan s-siirtokaavaa:

>	F:=s->12/s^4;  # Määritellän oikeaksi Maple-funktioksi.

>

F(s-3);

>	f:=IL(F(s),s,t);

>	InvLF:=exp(3*t)*f;

>	L(InvLF,t,s); #Tarkistus.

b)

>	G:=3/(s^2+6*s+18);

>	nim:=denom(G);

>	nim:=s^2+6*s+9+ysi;

>	nim:=(s+3)^2+3^2;

>

G:=3/nim;

>	F:=algsubs(s+3=s,G);

>	f:=IL(F,s,t);

>	InvL:=f*exp(-3*t);

>	L(InvL,t,s);normal(%); #Tarkistus.

a)

>	F:=(s+5)/((s+1)*(s-3));

>	F:=convert(F,parfrac,s);

b)

>

c)

>	F:=(s+8)/(s^2+4*s+4+yksi); #Maple sieventää joskus liian automaattisesti.

>	F:=(s+8)/((s+2)^2+yksi);

>	F:=(s+2+kuusi)/((s+2)^2+yksi);

>	F1:=(s+2)/((s+2)^2+1);

>	F2:=6/((s+2)^2+1);