Alustukset

>	with(LinearAlgebra):

1.

>	v1:=<-3,1>; v2:=<-1,1>;

>	lambda[1]:=4: lambda[2]:=2;

>	Y:=t->C1*exp(4*t)*v1+C2*exp(2*t)*v2;

>

Y(0);

>	A0:=<v1|v2>;

>	Ceet:=LinearSolve(A0,<-1,6>);

>	Yaa:=subs(C1=Ceet[1],C2=Ceet[2],Y(t));

>	y1y2:=evalm(Yaa); # koordinaattimuodossa

Kuvia ei vaadittu, mutta piirretän tässä. Huomaa parametripiirron syntaksi. (Kts. L12maple ja myös [HAM]-kirja)

>	plot([y1y2[1],y1y2[2],t=0..2]);

Tästä kuvasta ei paljon näy. view -optio on välttämätön:

>	plot([y1y2[1],y1y2[2],t=0..2],view=[-1..10,-10..10]);

>	plot([y1y2[1],y1y2[2],t=0..2],view=[10..200,-40..10]);

>

2.

>	restart: with(LinearAlgebra):

Warning, the name changecoords has been redefined

>	dyht:=diff(y(t),t,t)+0.125*diff(y(t),t)+y(t)=0;

Merkitään  = y,  = y' , jolloin saadaan yhtälösysteemi:

                 ' =

                ' =  

>	A:=<<0,-1>|<1,-.125>>; A:=convert(A,rational);

>	(Lambda,ov):=Eigenvectors(A);

>	v1:=ov[1..-1,1]: v2:=ov[1..-1,2]:

>	y:=C1*exp(Lambda[1]*t)*v1+C2*exp(Lambda[2]*t)*v2;

Tässä on kompleksimuoto. Reaaliseen kantaan pääsemiseksi voidaan tehdä vanhat temput:

>	lambda:=Lambda[1]; w:=ov[1..-1,1];

>	u:=map(Re,w); v:=map(Im,w);

Kaavan johto lienee helpompi tehdä käsin kuin Maplella. Tässä on senverran hankalat lukuarvot, että on parempi johtaa yleisillä symboleilla:

>	alpha:='alpha': beta:='beta':

>	lambda:=alpha+I*beta;

>	u:='u': v:='v':

>	yr:=Re(exp(lambda*t)*(u+I*v)); yr:=evalc(%);

>	yi:=Im(exp(lambda*t)*(u+I*v)); yi:=evalc(%);

Perun heti puheeni. Kun sievennykset tehdään yleisillä symboleilla, menemättä vektorien komponentteihin, kaikki sujuu kuin rasvattu.

>	u:=map(Re,w); v:=map(Im,w);lambda:=Lambda[1]: alpha:=Re(lambda); beta:=Im(lambda);

>

yr;

>

yi;

>	y:=C1*yr+C2*yi;

>	y:=evalm(y);

>	y:=map(simplify,y);

>

y1:=y[1];

>

y2:=y[2];

>	#dyht:=diff(y(t),t,t)+0.125*diff(y(t),t)+y(t)=0;

>	diff(y1,t,t)+0.125*diff(y1,t)+y1;

>	simplify(%);

>	diff(y1,t), y2;

>	diff(y1,t)- y2: simplify(%);

Nuo kaksi nollaa kertovat kaiken. Systeemin ratkaisun 1. komponenttifunktio y1 toteuttaa dyht:n. Toinen komponentti on ensimmöisen derivaatta.

Ehkä hiukan huonosti harkittu käsinlaskuksi.

3.

>	A:=<<-2/25,2/25>|<1/50,-2/25>>;

>	(lambda,V):=Eigenvectors(A);

>	v1:=V[1..-1,1]: v2:=V[1..-1,2]:

>	y:=t->C1*exp(lambda[1]*t)*v1+C2*exp(lambda[2]*t)*v2;

>	y(0)=<25,0>;

>	A0:=<<1,-2> | <1,2>>;

>	Ceet:=LinearSolve(A0,<2.5,0>);

>	Y:=subs(C1=Ceet[1],C2=Ceet[2],y(t));

>	ykoord:=evalm(Y);

>	ykoord[1]=ykoord[2];

>	tsama:=solve(%,t);

>	plot([ykoord[1],ykoord[2]],t=0..30);

>	evalf(tsama);

>

4.

>

restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

>	with(plots): with(LinearAlgebra): with(linalg):

Warning, the previous binding of the name GramSchmidt has been removed and it now has an assigned value

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>	A:=<<2,-1>|<3,-2>>;

>	(lambda,V):=Eigenvectors(A);

>	v1:=V[1..-1,1]; v2:=V[1..-1,2];

>	y:=t->C1*exp(lambda[1]*t)*v1+C2*exp(lambda[2]*t)*v2;

>

y(0);

>	A0:=<<-3,1>|<-1,1>>;

>	Ceet:=LinearSolve(A0,<3,2>);

>	yAA:=subs(C1=Ceet[1],C2=Ceet[2],y(t));

>	arrow([v1,v2],shape=arrow);

Ominaisvektorin v1 suunnalla trajektori kulkee poispäin O:sta, v2:n suunnalla O:oon päin.

>

y(t);

>	Ys:=map(eval,subs(t=log(s),y(t)));

Selvästi hyperbelejä.

>	YY:=evalm(Ys);

>	parvi:=seq(seq([YY[1],YY[2],s=0..4],C2=-2..2),C1=-2..2):

>	plot([parvi]);

>	display(%,arrow([v1,v2]),view=[-5..5,-5..5]);

>

kuva:=%:

>	y1:='y1':y2:='y2':

>	with(DEtools):

Warning, the name adjoint has been redefined

>	display(kuva,DEplot([D(y1)(t)=2*y1(t)+3*y2(t),D(y2)(t)=-y1(t)-2*y2(t)], [y1(t),y2(t)],t=-5..2,y1=-5..5,y2=-5..5,color=grey),title="Satula");

>

5.

>

restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

>	with(plots): with(LinearAlgebra): with(linalg):

Warning, the previous binding of the name GramSchmidt has been removed and it now has an assigned value

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

>	A:=<<7,3>|<-1,3>>;

>	(lambda,V):=Eigenvectors(A);

>	v1:=V[1..-1,1]; v2:=V[1..-1,2];

>	y:=t->C1*exp(lambda[1]*t)*v1+C2*exp(lambda[2]*t)*v2;

>

y(0);

>	A0:=<<1,3>|<1,1>>;

>	Ceet:=LinearSolve(A0,<3,2>);

>	yAA:=subs(C1=Ceet[1],C2=Ceet[2],y(t));

>	arrow([v1,v2],shape=arrow);

Trajektorit  kulkevat  poispäin O:sta..

>

y(t);

>	Ys:=map(eval,subs(t=log(s),y(t)));

>	YY:=evalm(Ys);

>	parvi:=seq(seq([YY[1],YY[2],s=0..4],C2=-2..2),C1=-2..2):

>	plot([parvi]);

>	display(%,arrow([v1,v2]),view=[-5..5,-5..5]);

>

kuva:=%:

>	y1:='y1':y2:='y2':

>	with(DEtools):

Warning, the name adjoint has been redefined

>	display(kuva,DEplot([D(y1)(t)=7*y1(t)-y2(t),D(y2)(t)=3*y1(t)+3*y2(t)], [y1(t),y2(t)],t=-5..2,y1=-5..5,y2=-5..5,color=grey),title="Lähde");

>

>

>