Alustukset

>	with(linalg): with(LinearAlgebra):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding

>	alias(GS=LinearAlgebra[GramSchmidt]): # Huomaa tämä!

>	alias(TR=LinearAlgebra[Transpose]):

>	alias(rref=ReducedRowEchelonForm): alias(ref=GaussianElimination):  alias(Diag=DiagonalMatrix,Id=IdentityMatrix): with(plots):

>	alias(Dot=DotProduct,Id=IdentityMatrix,TR=Transpose):

>	Sis:=(u,v)->add(u[i_]*conjugate(v[i_]),i_=1..LinearAlgebra[Dimension](u)):

1.

Käsin kirjoitettu pruju.

2.

Kts. myös pruju.

>	A:=<<1,1,1,1>|<-1,4,-1,4>>;

>	Q:=GramSchmidt([A[1..-1,1],A[1..-1,2]],normalized);

>	v1:=A[1..-1,1];

>	v2:=A[1..-1,2];

>	q1:=Normalize(v1,2);

>	Sis(v2,q1);

>	f2:=v2-Sis(v2,q1)*q1;

>	q2:=Normalize(f2,2);

>	Q:=<q1|q2>;

>	R:=TR(Q).A;

Prujussa on esitetty, miten R-matriisi saadaan suoraan GS-prosessin tuottamista kertoimista.

Tässä on tehty "halpahintaiseen" tyyliin.

>	b:=<-1,6,5,7>;

>	R.x = TR(Q).b;

>	rref(<R | TR(Q).b>);

>	x:=%[1..-1,-1];

>

b-A.x;

>	Norm(%,2);

>

3.

Pruju.

4.

>	karpoly:=8*lambda^2-2*lambda-1;

>	Lambda:=solve(karpoly=0,lambda);

>	y:=C1*exp(Lambda[1]*t)+C2*exp(Lambda[2]*t);

Tässä on yhtälön (HY) yleinen ratkaisu.

Alkuehdot saadaan sijoittamalla t:lle arvo 0 y:n ja diff(y,t):n lausekkeissa.

(Maple-huom: Emme voi kirjoittaa y(0), koska y on vain t:n lauseke eikä Maple-funktio.)

>	AE:={subs(t=0,y)=-0.2,subs(t=0,diff(y,t))=-0.325};

>	Ceet:=solve(AE,{C1,C2});

>	Y:=subs(Ceet,y);

Tässä on AA-tehtävämme ratkaisu.

Tarkistus:

>	subs(t=0,Y), subs(t=0,diff(Y,t));

>

eval(%);

Alkuehdot toteutuvat.

Sitten diffyhtälö:

>	8*diff(Y,t,t)-2*diff(Y,t)-Y;

Sekin toteutuu, joten kaikki on kunnossa.

5.

>	karpol:=(lambda+k)^2;

Tarkistetaan:

>	expand(%);

Koska  on kaksinkertainen juuri, saadaan toinen LRT ratkaisu kertomalla t:llä. ("perimätieto").

Yleinen ratkaisu on siten:

>	y:=(C1+t*C2)*exp(-k*t);

>

6.

>

restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

>	karpol:=lambda^2+4*lambda+13;

>	Lambda:=solve(karpol=0,lambda);

>	alpha:=Re(Lambda[1]); beta:=abs(Im(Lambda[1]));

Suosimme positiivista beta:aa. Koska Maple saattaa muutella järjestystä, otimme abs:n mukaan peliin. Sinänsä

yleinen ratkaisu ei muutu, otettiinpa kumpi tahansa.

>	yh:=exp(alpha*t)*(A*cos(beta*t)+B*sin(beta*t));

EHY:n erikoista kannattaa etsiä "herätteen" taajuuksisen trig. polynomin muodossa (koska tällainen ei toteuta HY:öä).

>	yp:=a*cos(t)+b*sin(t);

>	dyht:=diff(yp,t,t)+4*diff(yp,t)+13*yp=cos(t);

Yhtälön vasen puoli: lhs, "left hand side" , vastaavasti oikea puoli: rhs .

cos- ja sin-termien kertoimien oltava samat:

>	abyht:=coeff(lhs(dyht),cos(t))=1,coeff(lhs(dyht),sin(t))=0;

>	ab:=solve({abyht},{a,b});

>	yp:=subs(ab,yp);

>

y:=yh+yp;

Alkuehdot voitaisiin käsitellä subs-tyylillä, kuten edellä. Vielä kätevämpää on muuttaa lauseke funktioksi unapply :lla:

>

Warning, premature end of input

>	yf:=unapply(y,t);

>	AB:=solve({yf(0)=0,D(yf)(0)=1},{A,B});

>	yae:=subs(AB,y);

>	plot(yae,t=0..20);

>	plot([yae,yp],t=0..20);

>

Ajanhetkestä t=2 lähtien yaa ja yp eivät kuvan tarkkuudella erotu toisistaan.