Alustukset, ohjelmat

>	read("/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/302/L/v302.mpl");

>	# read("/p/edu/mat-1.414/maple/v302.mpl");  # Poista kommentti tästä ja lisää edelle!

>	#read("c:\\usr\\heikki\\s02\\v302.mpl");

>	with(LinearAlgebra): with(plots):

>	op(trajenuoli);

1

>	print(SisF); # Sisätulo funktioavaruudessa, emme kuitenkaan tässä "maanläheisessä" tavassa tarvitse sitä.

Kaikkein opettavaisinta on laskea aivan käsinlaskua simuloiden:

>

f1:=x:

>	a0:=int(f1*1,x=-Pi..Pi)/int(1*1,x=-Pi..Pi);

>

>	a1:=int(f1*cos(x),x=-Pi..Pi)/int(cos(x)^2,x=-Pi..Pi);

>	a2:=int(f1*cos(2*x),x=-Pi..Pi)/int(cos(2*x)^2,x=-Pi..Pi);

Nämä oltaisiin voitu päätellä integroitavien parittomuuden perusteella suoraan.

>	b1:=int(f1*sin(x),x=-Pi..Pi)/int(sin(x)^2,x=-Pi..Pi);

>	b2:=int(f1*sin(2*x),x=-Pi..Pi)/int(sin(2*x)^2,x=-Pi..Pi);

>	projf1:=b1*sin(x)+b2*sin(2*x);

>	plot([f1,projf1],x=-Pi..Pi,title="Suoran y=x paras approx trig. 2. ast. polynomilla");

>

f2:=x^2:

>	a0:=int(f2*1,x=-Pi..Pi)/int(1*1,x=-Pi..Pi);

>

>	a1:=int(f2*cos(x),x=-Pi..Pi)/int(cos(x)^2,x=-Pi..Pi);

>	a2:=int(f2*cos(2*x),x=-Pi..Pi)/int(cos(2*x)^2,x=-Pi..Pi);

>	b1:=int(f2*sin(x),x=-Pi..Pi)/int(sin(x)^2,x=-Pi..Pi);

>	b2:=int(f2*sin(2*x),x=-Pi..Pi)/int(sin(2*x)^2,x=-Pi..Pi);

b-kertoimet ovat heti nähtävissä 0:ksi, koska parillinen (f2) kertaa pariton (sin) on pariton.

>	projf2:=a0+a1*cos(x)+a2*cos(2*x)+b1*sin(x)+b2*sin(2*x);

>	plot([f2,projf2],x=-Pi..Pi,title="Paraabelin y=x^2 paras approx trig. 2. ast. polynomilla");

Parittoman/parillisen funktion PNS-approksimaatiossa on vain parittomia/parillisia trig. termejä (sinejä/cosineja).

2.

>	alias(TR=LinearAlgebra[Transpose]):

(a)

>	A:=<<2,3-4*I>|<3+4*I,2>>;

>

TR(A);

>	map(conjugate,%);

A on hermiittinen. Siitä seuraa: ominaisarvot reaaliset (spektri makaa reaaliakselilla).

>	Eigenvalues(A);

Niinpä näkyy makaavan.

(b)

>	B:=<<1/2,(1/2)*I*sqrt(3)>|<(1/2)*I*sqrt(3),1/2>>;

Symmetrinen on, mutta ei hermiittinen. Symmetrisyys ei ole erityisen hyödyllinen ominaisuus kompleksiselle matriisille.

Katsotaan unitaarisuutta:

>	HermitianTranspose(B).B;

On unitaarinen. Ominaisarvojen pitäisi sijaita kompleksitason yksikköympyrän kehällä,

>	Eigenvalues(B);

>	map(abs,%);

Niinpä vaan!

c)

>	C:=<<0,1-I,0>|<1+I,0,1-I>|<0,1+I,0>>;

>	HermitianTranspose(C);

>	Eigenvalues(C);

Tässä nyt oli toinen esimerkki hermiittisestä.

3.

>	A:=<<.5,-.3>|<.6,1.4>>;

>	trajenuoli(A,<1,1>,10);

>	(oa,ov):=Eigenvectors(A);

>	v1:=ov[1..-1,1]: v2:=ov[1..-1,2]:

>	with(plots):

>	kuva1:=display(arrow(v1,shape=arrow),arrow(v2,shape=arrow),traje(A,v1,10),view=[-2..2,-2..2]):

>	op(traje);

>	arrow([3*v1,3*v2,-3*v1,-3*v2],shape=arrow);[oa,ov];

Suora y=x vastaa ominaisarvoa 1.099 > 1, sillä virtaus ulospäin. Toisella taas sisäänpäin.

>	ov2:=display(trajenuoli(A,0.1*v2,40),trajenuoli(A,-0.1*v2,40)):ov1:=display(trajenuoli(A,4*v1,40),trajenuoli(A,-4*v1,40)): display(ov1,ov2);

>	ov2:=display(traje(A,0.1*v2,40),traje(A,-0.1*v2,40)):

>	ov1:=display(traje(A,4*v1,40),traje(A,-4*v1,40)):

>	ovt:=display(ov1,ov2):

>	kuva1:=display(ovt,traje(A,<3,1.8>,20),traje(A,<3.8,2>,20)):

>	display(kuva1,traje(A,<0,1>,10),traje(A,<-4,0>,10),traje(A,<-3.6,-1.46>,40),traje(A,<-3.7,-0.85>,10),view=[-5..5,-5..5]);

>

>	ovt:=display(ov1,ov2):

>	kuva1:=display(ovt,trajenuoli(A,<3,1.8>,20),traje(A,<3.8,2>,20)):

>	display(kuva1,trajenuoli(A,<0,1>,10),trajenuoli(A,<-4,0>,10),traje(A,<-3.6,-1.46>,40),trajenuoli(A,<-3.7,-0.85>,10),arrow([4*v1,4*v2],color=yellow),view=[-5..5,-5..5]);

4.

>	read("/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/302/L/v302.mpl");

>	A:=<<0.8,-4>|<0.3,1.5>>;

>	(oa,ov):=Eigenvectors(A);

>	w:=ov[1..-1,1]; lambda:=oa[1]:

>	u:=map(Re,w); v:=map(Im,w);

>	a:=Re(lambda): b:=Im(lambda):

>	uv:=<u|v>;

>	C:=<<a,-b>|<b,a>>;

>	A,uv.C.uv^(-1);

>	r:=abs(lambda);

>	Ckierto:=<<a/r,-b/r>|<b/r,a/r>>;

>	arrow([3*u,3*v]);

>	display(trajenuoli(A,0.1*u,10),traje(A,0.1*u,12));

>	display(trajenuoli(C,0.1*u,10),traje(C,0.1*u,12));

>	display(trajenuoli(Ckierto,u,10),traje(Ckierto,0.3*u,50));

>

5.

>	A:=<<0,.18,0>|<0,0,.71>|<.33,0,.94>>;A,<"juveniles","subadults","adults">;

>	x[k]=<'j[k]','s[k]','a[k]'>;

>	(oa,ov):=Eigenvectors(A);

>	lambda[1]:=oa[1]; lambda[3]:=oa[3];

>

Im(%);

>	lambda[3]:=Re(lambda[3]);

>	abs(lambda[1]);

>	op(trajenuoli);

>	iterjono:=proc (A, x0, n) local x, k; x[0] := x0; for k to n do x[k] := A.x[k-1] end do; [seq(x[k],k=0..n)]; end proc:

>

A;

>	display(trajenuoli(A,<0,15,10>,10),axes=boxed);

>

ov;

>	w:=ov[1..-1,1]; rv:=map(Re,ov[1..-1,3]);

>	u:=map(Re,w); v:=map(Im,w);

>	display(arrow([10*u,10*v,10*rv]),trajenuoli(A,<0,15,10>,40),axes=boxed);

Pöllöjen määrä tulee hiljalleen alas reaalista ominaisarvoa vastaavan ominaisvektorin suunnassa. Katsotaan numeroina:

>	iterjono(A,<0,15,10>,40);

Otetaan vielä 40 iteraatiota siitä, mihin viimeksi tultiin (suunnnilleen).

>	iterjono(A,<3.3,0.6,9.8>,40);

Huonostihan tässä pöllöille käy.

6.

Tässä olisi se vastaava hyvä tarina, mutta antaapa sen olla. Itse suoritus on aivan vastaavanlainen.