Diagonalisointi

pe 1.3.2002 HA

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> #?Inverse

> with(LinearAlgebra):

> #?LinearAlgebra

> alias(Inv=MatrixInverse,IdM=IdentityMatrix,Diag=DiagonalMatrix):

> A:=<<5,1>|<4,2>>;

> omsys:=Eigenvectors(A);

Matriisi A ei ole symmetrinen, mutta sillä on silti reaaliset ja eriiliset ominaisarvot. (Symmetrisyys on riittävä, mutta ei toki välttämätön ehto sille, että ominaisarvot ovat reaaliset. ) Ominaisarvot tiedetään siten heti LRT:ksi. Ortogonaalisia ne sensijaan eivät ole, kuten symmetrisellä olisivat.

> X:=omsys[2]; DD:=Diag(omsys[1]); # Diag on oma alias, muodostaa diagonaalimatriisin. Huomaa, että D on varattu derivaatalle, siksi DD.

> XI:=Inv(X);

Tässä on diagonalisointi:

> X,DD,XI;

Tarkistetaan:

> A=X.DD.XI;

Symmetrinen matriisi:

> A:=<<-5,2>|<2,-2>>;

> x1:=2*<1,2>;x2:=<-2,1>; # Tehdään vielä erilainen normeeraus, jotta asiat mensisivät mahd. huonosti.

> DD:=Diag([-1,6]);

> X:=<x1|x2>;

> Inv(X); # Muista: Inv on oma alias.

> Transpose(X);

Eivät edes muistuta toisiaan. Toki X.(X^T) = diagonaalimatriisi.

> Norm(x1,2);

> Norm(x2,2);

> u1:=x1/Norm(x1,2);

> u2:=x2/Norm(x2,2);

> X:=<u1|u2>;

> Inv(X); #Käänteismatriisi

> Transpose(X);

>

Samoja ovat. Tämän ajon tarkoituksena oli demota sitä, että ominaisvektorit eivät automaattisesti ole yksikkövektoreita (ellei ole siten ohjelmoitu, Matlabissa näin on tehty). Symmetrisen matriisin diagonalisointilaskussa vaanii tämä virhevaara. Ilman normeerausta ei transpoosi olekaan sama kuin käänteismatriisi ja homma menee väärin.