Välikoe 1

• Alueseen kuuluu kaikki, mitä on käsitelty luennoilla to 14.2. klo 9.00 saakka. (ei siis luentoa 9.15-10), sekä harjoituksissa pe 15.2. saakka (siis Harj 1 -- 4), poislukien kuitenkin differentiaali/differentioituvuusasiat. (siis ei kolmio-maa-aluetta, eikä gradienttia)
• Maple-koodia ei kokeissa tarvitse kirjoittaa, sensijaan jokin Maplella suoritettu lasku tai kuva saattaa olla osana tehtävää, sitä saa käyttää hyväksi johtopäätösten tekoon. (Voi olla myös tulematta.)
• Normaali funktiolaskin saa olla mukana (yleinen laskinsääntö).

www-materiaalia

Kurssikirjat ja prujut

Kompleksiluvut

Lukujonot ja sarjat

• Yhteenvetopruju sarjat.pdf (yllä)
• [LP] 7.1 - 7.4
• KRE 14.1 (Ei Cauchyn ehtoa (s. 735)), 14.2 14.3, -> s. 748

Vektorimuuttujan funktioiden diff.laskentaa

• [LP] 8.1 ss. 59 - 68 , differentioituvuus rajataan pois.
• Lisäksi ketjusääntö ss. 90 - 92 (osattava soveltaa)

Välikoe 2

Alueeseen kuuluu

• Luennot: to 14.2. klo 9.15 - ti 19.3. klo 9.33 (PNS-aloitukseen saakka)
• Harjoitukset 5--8 ja harj 4:stä edellä (1. vk) poisjätetyt.
• Asianomaiset materiaalit hakemistoista L     H     H/ratk
  

Yksityiskohtaisemmin ja kirjaviittein

Kirjalyhenteet:
[LP] Lahtinen-Pehkonen
[KRE] Kreyszig
[AG] Kivelä: Algebra ja geometria
[VA] Kivelä: Vektorimuuttujan analyysi (moniste, saatavana kirjakaupasta)

1. Differentioituvuus [LP] s. 68 --
2. Suunnattu derivaatta [LP] s. 71 --
3. Käyrien ja pintojen tangentit/tangenttitasot, normaalit.
4. Symmetristen matriisien ominaisarvot ja -vektorit, diagonalisointi. Valikoituja osia [KRE] luvusta 7 (tai [AG]).
5. Neliömuodot (quadratic forms), pääakseliprobleema [KRE] CH 7 s. 388 -- tai [AG] 7.3 s. 119 --
6. Taylorin lause 2. asteen termiin saakka + jäännöstermi.
7. Kriittiset pisteet, ääriarvot. Huom! Osattava lukea 2. derivaattoja käyttävät ehdot ominaisarvoista.
   Myös globaalien ääriarvojen määrittämisestä hyödyntäen KRP-ehdon lisäksi jatkuvaa funktiota suljetussa ja rajoitetussa joukossa ja sitä kautta raja-arvokäytöstä. (Siihen tapaan kuin harjoituksissakin oli.)
8. Sidotut ääriarvot [LP] ss. 84 - 85. [VA]-monisteessa hyvä esitys. Osattava sekä laskea (yhden tai useamman rajoite-ehdon tehtäviä), kuten "max/min käyrällä g(x,y)=0 tai pinnalla g(x,y,z)=0", "max/min pintojen g(x,y,z)=0, h(x,y,z)=0 leikkauskäyrällä". Osattava myös perustella Lagrangen ehto geometrisesti joko korkeuskäyrien tai suunnatun derivaatan avulla.
9. Lineaarinen optimointi (ohjelmointi) [KRE]. Vain geometrinen perustelu tasossa, ei siis tarvitse opiskella simplex-algoritmia.
10. SD-menetelmä [KRE], eli "steepest descent" eli gradienttimenetelmä.

Oppikirjat

[LP] Lahtinen-Pehkonen osa 2
[KRE] Kreyszig painos 8 (Vanhemmatkin käyvät, sivu- ja kappalenumerot ovat 8:n mukaisia.)
[VA] Kivelä: Vektorimuuttujan analyysi, moniste, joka keskeneräisyydestään huolimatta on a) varsin hyödyllinen ja b) myytävänä TKK:n kirjakaupassa. Sitä ei voida kuitenkaan katsoa "pakolliseksi" ja se on hengeltään enemmän L-matikkaan suuntautuva.
[Ad] Adams tai jokin vastaava Calculus (several variables, vector calculus ..) sisältää runsaamman esimerkki- ja tehtävävalikoiman kuin edellä mainitut. (Ei voida myöskään pitää "pakollisena")

Luentolinkit

• Luentohakemisto
  • LSQ Pienimmän neliösumman sovitus
  • SD.html SD -- Steepest Descent
  • newtopt.html Newtonin menetelmä optimointiin
  • int23d.html
  • numint1.html
  • numint2.html
  • numint3.html
    
  • Numeerinen integrointi Gaussin menetelmällä yhdessä dimensiossa
    (Päivitysteksti Simo Kivelän kirjaan Reaalimuuttujan analyysi, haettu Harri Hakulan C1-sivulta)

Pienimmän neliösumman menetelmä, Newton optimointiin ja epälin syst.

PNS

LP: ss. 210 - 212 PNS-suora. Johtaminen kannattaa opetella, mutta samantien myös muillekin kuin 1. asteen polynomeille.

KRE-kirjassa on myös lyhyt esitys aiheesta.

Osattava siis johtaa osittaisderivoimalla minimehto.
Huom! LP:ssä ja KRE:ssä esiintyviä PNS-suoran laskemisen summakaavoja ei saa opetella ulkoaa. (Jos joku uhmaa tätä kieltoa ja jos kokeissa sattumoisin kysytään PNS- suoran laskemista, eikä johtamista ja jos kaavat on oikein muistettu, niin saahan siitä pisteet, mutta en suosittele.)

On syytä osata kirjoittaa ratkaistava systeemi muotoon

      CT C xd = CT yd

missä xd on xdatavektori ja yd on ydatavektori ja C on asianmukainen Vandermonden matriisi.

Newton ja Newton

Newtonin menetelmästä yhtälösysteemille on KRE-kirjassa (sivunumerot tulevat), minimointiNewton on ainakin harj9 tehtäväpaperissa. Näitä ei tarvitse muistaa ulkoa.

Vektori-integraalilaskenta

Alla on "lukuohjeet" sekä KRE- että LP-kirjaan.

Huom! Emme käsittele lainkaan käyräintegraaleja, siten esim. "Greenin lausekin" jää nyt pois. Perustelu: Koska koulutusohjelman taholta on alunperin ehdotettu Gaussin ja Stokesin lauseen pois jättämistä vedoten erit. fysiikasta lähtevän tarpeen puuttumiseen, kokeilen nyt myös potentiaaleihin ym. liittyvien käsitteiden pois jättämistä. Tässä on toki omat riskinsä, mutta käyräintegraalit ovat toisaalta kaikista opettelemistamme uusista integraalikäsitteistä helpoimpia. Siten niihin on helpoin tarvittaessa tutustua kirjallisuuden avulla. (Mm. Kaikki kurssikirjamme käsittelevät niitä.)

[KRE]

• 9.3 Double integrals ss. 478 - 484
  • Perusominais. ja laskeminen peräkk. int.
  • Tilavuus, momentit (myös hitaus), massakeskipiste
  • Muuttujan vaihto, erit. napakoord.
• 9.5 Surfaces for surface integrals ss. 491 - 496
• 9.6 Surface integrals ss. 496 - 593
  • Massat ja momentit tässäkin.
• Triple integrals. Tämä on aika niukka esitys, suosittelen täydentämistä esim. LP-kirjasta.
  Samat vaiheet kuin "double"ssa:
  • Perusominais. ja laskeminen peräkk. int.
  • Tilavuus, momentit (myös hitaus), massakeskipiste
  • Muuttujan vaihto, erit. pallo- ja sylinterikoord.
• Gauss integration formulas ss. 877-878 (KRE ei sisällä usean muuttujan funktioita, aiheesta on lisämateriaalissa (kts. yllä/alla))

[LP]

• 9.2 Tasointegraali ss. 137 - 151 (Greenin lauseeseen saakka).
• 9.2 (jatkuu) Muuttujan vaihto tasointegraalissa ss. 156 - 158
  • Lauseen todistusta ei vaadita, LP:n esitystyylin mukainen ei tule meillä kyseeseenkään, kun se käyttää Greenin lausetta. Muuttujanvaihtokaava pitää muistaa, samoin napakoordinaattimuunnoksen r (tietysti helppo johtaa yleisestä).
• 9.4 Avaruusintegraali ss. 169 - 174 (Gaussin lauseeseen saakka)
• 9.4 Muuttujan vaihto avaruusintegraalissa. ss. 178 - 180.
  • Erityisesti osattava sylinteri(=lieriö)- ja pallokoordinaatistot. Kaavat on syytä osata johtaa sujuvasti, alä opettele ulkoa! Kaavoja ei siis anneta tehtäväpaperissa. Pinta-alkioiden muuntosuhde osataan tietysti johtaa yleisen muunnoskaavan avulla (joka tietysti kuuluu osattaviin). Laskutehtävän kuluessa voi olla työlästä ryhtyä johtamaan pallokoordinaattimuuuntosuhdetta (ellei se ole osa itse tehtävää). Se siten joko annetaan tai pyydetään johtamaan.
• 9.3 Pintaintegraali ss. 162 - 165 (Stokesin lauseeseen saakka.)
  • Erityyppiset pintaintegraalit on selkeämmin esitetty KRE-kirjassa. Vuointegraali näyttää esiintyvän vasta s. 166, väliin jättämämme Stokesin lauseen käsittelyn johdannossa. Kaikissa pintaintegraalikaavoissa on yksi yhteinen avainpiirre: pinta-alkioiden muuntosuhde

    dS = ||ru x rv||du dv
    Tämä tulee osata.

Numeerista integrointia, epäoleelliset integraalit

Epäoleellisista integraaleista on hiukan LP:ssä. VA:ssa on parempi esitys ja enemmän esimerkkejä. Lisäksi VA:ssa käsitellään hyvin integrointia parametrin suhteen.

Numeerisesta integroinnista on KRE-kirjassa Gaussin kvadratuuri yhden muuttujan funktioille ss. 877 - 878. Aihetta käsitellään myös yllä olevissa luentolinkeissä ja harjoitustehtävissä (ratkaisuineen). Tässä yhteydessä relevanttia on myös usean muuttujan funktioiden integrointi, jota KRE-kirjan esityksessä ei ole.

Vaadittavina menetelminä on siis Gaussin menetelmä yhdessä dimensiossa sekä taso- ja avaruusintegraaleihin sovellettuna sekä lisäksi Monte-Carlo (josta voi tosin olla vaikeaa tehdä koetehtävää).

---

Sivusta vastaa: Heikki Apiola  Heikin koti