Harj. 12 AV

20.4.02 HA

1.

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

> F:=t->Int(f(t,x),x=a(t)..b(t));

F := proc (t) options operator, arrow; Int(f(t,x),x...

> dF:=diff(F(t),t);

dF := Int(diff(f(t,x),t),x = a(t) .. b(t))+diff(b(t...

Maple osaa kyllä soveltaa ketjusääntöä ja muita yleisiä lauseita.

Määritellään nyt f tehtävän funktioksi.

> f:=(t,x)->sin(x/t)/x;

f := proc (t, x) options operator, arrow; sin(x/t)/...

> a:=t->t: b:=t->t^2;

b := proc (t) options operator, arrow; t^2 end proc...

> F(t);

Int(sin(x/t)/x,x = t .. t^2)

> diff(F(t),t);

Int(-cos(x/t)/(t^2),x = t .. t^2)+2*sin(t)/t-sin(1)...

> simplify(value(%));

sin(t)/t

Kannattaa laskea pitemmälle käsin. Tässä on helppo tehdä laskuvirheitä, jos tarkkaavaisuus hetkeksi herpaantuu.

Seuraava ei kuulu enää osattaviin asioihin, mutta kun Maple helposti tarjoilee Si-funktiota, niin katsotaan:

Maple siis tuntee erikoisfunktion Si:

> Int(sin(x)/x, x=0..t): value(%)=%; # Tässä tapauksessa saadaan looginen järjestys näinpäin.

Si(t) = Int(sin(x)/x,x = 0 .. t)

> F(t)=value(F(t));

Int(sin(x/t)/x,x = t .. t^2) = Si(t)-Si(1)

> Diff(lhs(%),t)=diff(rhs(%),t);

Diff(Int(sin(x/t)/x,x = t .. t^2),t) = sin(t)/t

Maple osasi palauttaa kysytyn tehtävän suoraan Si-funktion derivaataksi, joka tietysti on yllä oleva sin(t)/t .

2.

> f:=1/(x+y);

f := 1/(x+y)

> c:=15: plot(1/x,x=1..c,color=yellow,filled=true);

[Maple Plot]

> c:='c':II:=Int(Int(f,y=0..1/x),x=1..c);

II := Int(Int(1/(x+y),y = 0 .. 1/x),x = 1 .. c)

> II:=Int(int(f,y=0..1/x),x=1..c);

II := Int(ln((x^2+1)/x)-ln(x),x = 1 .. c)

> II:=int(int(f,y=0..1/x),x=1..c);

II := c*ln((c^2+1)/c)+2*arctan(c)-c*ln(c)-ln(2)-1/2...

> Int(ln(1+1/x^2),x): %=value(%);

Int(ln(1+1/(x^2)),x) = x*ln(1+1/(x^2))+2*arctan(x)

> int(ln(1+1/x^2),x=1..c);

c*ln((c^2+1)/(c^2))+2*arctan(c)-ln(2)-1/2*Pi

> limit(%,c=infinity);

-ln(2)+1/2*Pi

Raja-arvo on olemassa, joten integraali suppenee, ja sen arvo on tässä. Tätä nyt ei ihan voitane pitää todistuksena.

Käsin laskien nähdään, että arctan(c) -> Pi/2

Siis tarvitsemme raja-arvon (c -> infinity ) lausekkeelle

> c*ln(1+1/(c^2));

c*ln(1+1/(c^2))

Helpointa on ottaa pari termiä Taylorin kehitelmästä:

> c*subs(x=1/c^2,taylor(ln(1+x),x=0,2));expand(%);

c*(1/(c^2)+O(1/(c^4)))

1/c+c*O(1/(c^4))

Tämä siis lähenee 0:aa, kun c-> infinity , joten saamme tosiaankin yllä olevan tuloksen.

3.

> with(plots): with(plottools):

> f:=1/(x*y);

f := 1/(x*y)

> c:=.1: display(plot([x^2,x],x=0..1),line([c,c^2],[c,c]));

[Maple Plot]

Tässä rajataan paha piste O pois ottamalla c>0, ja lasketaan ao. integraalien raja-arvo, kun c -> infinity .

> c:='c':Int(1/x*int(1/y,y=x^2..x),x=c..1);

Int((ln(x)-ln(x^2))/x,x = c .. 1)

> value(%);simplify(%,symbolic);

-1/2*ln(c)^2+1/4*ln(c^2)^2

1/2*ln(c)^2

Luonnollisempaa on käsin laskettaess sieventää integroitavan logaritmit:

> 1/x*int(1/y,y=x^2..x);simplify(%,symbolic);int(%,x=c..1);

(ln(x)-ln(x^2))/x

-ln(x)/x

1/2*ln(c)^2

Raja-arvo on , infinity joten integraali hajaantuu.

4.

> restart:

Warning, the name changecoords has been redefined

Määrättävä solmut x1,x2 ja painot w1,w2 siten, että integrointikaava

> Int(f(x),x=-1..1)=w[1]*f(x[1])+w[2]*f(x[2]);

Int(f(x),x = -1 .. 1) = w[1]*f(x[1])+w[2]*f(x[2])

on tarkka kaikille astetta 3 oleville polynomeille. Välttämätöntä ja riittävää: tarkka kaikille monomeille

> 1,x,x^2,x^3;

1, x, x^2, x^3

> Gauss2yht:={seq(Int(x^k,x=-1..1)=w1*x1^k+w2*x2^k,k=0..3)};

Gauss2yht := {Int(1,x = -1 .. 1) = w1+w2, Int(x,x =...

Muutetaan Int -> int, jolloin integraalit lasketaan:

> gauss2yht:={seq(int(x^k,x=-1..1)=w1*x1^k+w2*x2^k,k=0..3)};

gauss2yht := {2 = w1+w2, 0 = w1*x1+w2*x2, 2/3 = w1*...

> solve(gauss2yht,{x1,x2,w1,w2});map(allvalues,%);

{w2 = 1, w1 = 1, x2 = -RootOf(-1+3*_Z^2), x1 = Root...

{w2 = 1, w1 = 1, x1 = 1/3*sqrt(3), x1 = -1/3*sqrt(3...

> assign(%);

> x1;x2;

-1/3*sqrt(3)

1/3*sqrt(3)

> s[1]:=min(x1,x2); s[2]:=max(x1,x2); w[1]:=w1; w[2]:=w2;

s[1] := -1/3*sqrt(3)

s[2] := 1/3*sqrt(3)

w[1] := 1

w[2] := 1

Pantiin talteen seuraavaa tehtävää varten. (Muista: älä tee restarttia ennen tehtävää 5.)

5.

> with(plots): with(plottools):

Kun suoritat tehtävän 4, niin Gaussin 2. asteen säännön solmut ovat muuttujissa s[1] ja s[2] ja painot muuttujissa

w[1] ja w[2]. Tarkistetaan:

> s[1],s[2],w[1],w[2];

-1/3*sqrt(3), 1/3*sqrt(3), 1, 1

> Sum(Sum(w[i]*w[j]*f(s[i],s[j]),j=1..2),i=1..2);

Sum(Sum(w[i]*w[j]*f(s[i],s[j]),j = 1 .. 2),i = 1 .....

> gauss2:=value(%);

gauss2 := f(-1/3*sqrt(3),-1/3*sqrt(3))+f(-1/3*sqrt(...

> f:=(x,y)->ln(x+2*y);

f := proc (x, y) options operator, arrow; ln(x+2*y)...

> x:=0.3*u+1.7; y:=0.25*v+1.25;

x := .3*u+1.7

y := .25*v+1.25

> dxdy_per_dudv:=.3*.25;

dxdy_per_dudv := .75e-1

> F:=unapply(f(x,y),u,v);

F := proc (u, v) options operator, arrow; ln(.3*u+4...

> Sum(Sum(w[i]*w[j]*F(s[i],s[j])*dxdy_per_dudv,j=1..2),i=1..2);

Sum(Sum(.75e-1*w[i]*w[j]*ln(.3*s[i]+4.20+.50*s[j]),...

> value(%);

.4295560880

> x:='x': y:='y':

> int(int(f(x,y),x=1.4..2),y=1..1.5);

.4295545274

>

Hämmästyttävää, laskettiin funktion arvo 4:ssä pisteessä ja saatiin 4 oikeaa numeroa integraaliin!

6. Säästetään LV:oon