Harjoituskierros 1

1. a) Phi = ln y + 1/x, b) Phi = 1/2 ( x^2 + y ^2 )

2. Hyperbolinen, 4 u_{xy} + u_x + u + x = 0

3. Parabolinen, u_{yy} - 1/3 u_x - u_y = 0

4. Elliptinen, u_{xx} + u_{yy} - u_x + 8 u_y - 13 u + 13 ( x + 5 y ) = 0

5. i) x>0 => parabolinen, u_{yy} = 0
ii) x<0 => hyperbolinen, u_{xy} = 0

6. Kaksi tapausta, i) elliptinen ja ii) hyperbolinen.
Tapauksessa i) u_{xx} + u_{yy} - 1/2 ( u_x x^(-1/2) + u_y y^(-1/2) ) = 0 ja tapauksessa ii) u_{xy} - 1/8 ( u_x ( x^(-1/2) + (-y)^(-1/2) ) + u_y ( x^(-1/2) - (-y)^(-1/2) )) = 0

Loppuviikko:

1. u = F( 1/3 x + y ) + G( x - y )

2. u = C(y) e^(-bx) + D(x)

3. u = F( 2 x^(1/2) + 2 y^(1/2) ) + G ( 2 x^(1/2) - 2 y^(1/2))

4. u = 2 e^(-y) + x + 3 y - 2

5. u = x + cos( y - x - sin x )

6. a) Elliptinen
b) Hyperbolinen

Harjoituskierros 2

1. Vastaus kirjan takana. f parillinen.

2. Greenit toimii. a:n ja b:n merkit kiinnostuksen kohteena.

3. Ominaisarvotehtävä. Ominaisarvot k(n)=(1/2+n)^2+1. Jos u=Sum c(n) * u(n) missä u(n) ominaisfunktiot. niin c(n)= 2*(-1)^n / (Pi*((1/2+n)^2+1)(1/2+n)^2))

4. x1 pitää tehdä sarjaksi jossa ominaisfunktiot ovat kantoina.

5. Mukana konvoluutio. vastaus kirjan sivulla 244 alhaalla. Kreyszig hyvänä apuna. Muunnos ei saa räjähtää ääretömyydessä.

6. Deltafunktio ytimen rajana. Deltan ominaisuudet?

Harjoituskierros 3

1. u ja v saavat mielivaltaisessa 0:n ympäristössä minkä tahansa arvon.

2. Kirjoita annettu tilavuusintegraali keskiarvo- periaatteen avulla.

3. Mikä on välttämätön ehto min- ja max-kohdille ?

4. Ratkaise u ja selvitä u:n derivaattoja sisältävien termien käytös min- ja max-kohdissa.

5. "olk. u1 ja u2 reuna-arvotehtävän ratkaisuja..." ja Greenin kaava.

6. ks. tehtäväpaperi.

Loppuviikko:

Kaikissa tehtävissä "diskretoi..." tarkoittaa sitä, että ao. yhtälö kirjoitetaan jossain (tasavälisessä) pistejoukossa ja derivaatat korvataan differenssi- kaavan mukaisilla (ratkaistavana olevan) funktion arvoilla. Jos ei ole toisin mainittu, niin 2. deri- vaatta on (uskoakseni...) tarkoitus diskretoida kaavalla (1/h^2)*(u_j-1 -2*u_j +u_j+1)=u'' +O(h^2).

1. Tarkka ratkaisu: u(x)=c1*exp(x) +c2*exp(-x) +x^3 +6*x, missä c1 = -(7*e)/(e^2-1) ja c2 = -c1. Diskreetin tehtävän matriisi on tridiagonaalinen. (eli a_ij != 0 joss abs(i-j) <= 1.)

2. 1. kl kaavalla saadaan symmetrinen matriisi, mutta 2. kl kaavalla ei.

3. c_1 = c_5 = -1/12, c_2 = c_4 = 4/3, c_3 = -5/2. Saatavan matriisin kaikki ominaisarvot eivät välttämättä ole positiivisia.

5. Matriisissa A on 2 erilaista osaa, toinen sisäpisteistä ja toinen reunalta x_2 = 1. Positiividefiniitisyyden todistamisessa skaalaa ongelmalliset rivit sopivalla similariteettimuunnoksella ja sovella Gershgorinin lausetta. Älä hyydy. (Yleinen huomio: Gershgorin-kiekkojen säteet voi laskea joko rivien tai sarakkeiden mukaan, koska matriisilla ja sen transpoosilla on samat om.arvot.)

6. A ei ole symmetrinen, mutta ratkaisun olemassaolon voi päätellä Gershgorinin lauseella.

Harjoituskierros 4

3) Niille, joilla kirjaa ei ole: kaavassa (8.27) L on kielen pituus, roo massa pituusyksikköä kohden ja T jännitys. 8.5:n ratkaisu Fourier-menetelmällä.

4) Kyseessä on vaimennettu aaltoyhtälö, termi a*du/dt edustaa vaimennusta. Ratkaisun muoto riippuu vaimennuksen suuruudesta (miten?). Jos oletat pienen vaimennuksen (kuinka pienen?), saat siistin sarjaratkaisun.

5) Ohjeet tehtäväpaperissa.

6) Kuten Z&T lauseen 7.1 todistus. Lue myös kappale 3. Vaihtoehto: Osoita, että annettu kahden integraalin summa on vakio ts. aikaderivaatta=0. Yksikäsitteisyys osoitetaan kuten aikaisemminkin tarkastelemalla kahden ratkaisun erotusta.

Harjoituskierros 5

T1: Merkitse b-kohdan vasenta puolta F(T):lla, ja tutki F:n derivaattaa.
c-kohta: katso kirjan vastaavaa lausetta aaltoyhtalolle (s.303)
"Paattele lisaksi"-kohta: Lahde siita, etta F on monot. vaheneva ja f>=0, eli silla on raja-arvo, kun t -> Infinity. Mita taman perusteella tiedetaan (dF/dt):sta? Paattele edelleen, etta u lahestyy jotain "raja- funktiota". Mita yhtaloita tama "rajafunktio" toteuttaa? Ehkapa samoja kuin u kaikilla t:n arvoilla?

T2: Katso 4/alkuviikko/6.tehtava, ja kirja s.301-303! Jos olet kaynyt lapi em.tehtavan, ei pitaisi olla vaikea!

T3: Kirchhoff'n kaavat; toteuttaako alkudata kaavojen sileysoletukset?? Katso kuitenkin kirja/s.295, niin pystyt perustelemaan laskusi! Vastauksia kirjan takana.

T4: Kirchhoff (2-dim);integraalien arviointi ylospain. f ja g ovat siis nollasta poikkeavia vain rajoitetussa tason joukossa, ja jatkuvia kaikkialla. Mika tarkea ominaisuus tasta saadaan niille?

T5: Ota yritteeksi exp(i(wt-kx)) ,niin lasku helpottuu teknisesti. Aallon nopeus ei muutu rajakohdassa; nain et saa liikaa muuttujia! Nopeus ja aallonpituus sen sijaan muuttuvat. Energian sailymisen takia patee: R^2 + T^2 =1; jos tama patee, niin lasku lienee oikein!

T6: Katso esimerkkia prujusta (kohta 5.2).

LOPPUVIIKKO:

T1: Muutetaan 2.kertaluvun DY-systeemi aivan normaalisti 1.kl. systeemiksi. On siis naytettava, etta B:n ominaisarvojen reaaliosat ovat aina nollia.

T2: Huomaa, etta tehtavapaperin merkinnoin tehtavassa on n osavalia. Edell. tehtavassa u_n oli nolla, nyt siita tulee muuttuja yhtalo- ryhmaamme, siis yksi muuttuja lisaa; vastaavasti tarvitaan uusi yhtalo, joka on annettu tehtavassa. Tarvitset kaytannossa tietokonetta ominaisarvojen laskemiseen (5x5-matriisi).

T3: Miten todetaan ajasta riippuva suure vakioksi?? Tarvitset sita, etta A on symmetrinen ja pos.definiitti(perusteltava). (Extra-kysymyksesta: osittaisintegroi energian lausekkeen jalkimmaista termia ja sovella reunaehtoa. Riemannin summa?? )

T4: Ehdottomasti tietokonetehtava; prujuista loytyy TAYSIN valmis kaava sivulta 13! (Ei siis 13:n kertoma, ei se pruju nyt NIIN pitka ole!) Tehtavaa ei oikein voi muuten tehda kuin siten, etta laskee koneella ja printtaa kuvan/kuvia. Vastaus: alkuhetkella keskella aluetta oleva aalto jakautuu kahtia ja puoliskot lahtevat eri suuntiin nopeudella 1.

T5: Tassakin Mathematica voi olla ihan kateva, kun pitaa derivoida ja laskea sarjakehitelma (ks. komento Series)

T6: ks. pruju ss.14-15 ja matki sielta...vastaus tehtavapaperissa.

Harjoituskierros 6

1. Diskretoi aluksi pisteissä 1,...,m-1 ja kirjoita erikseen yhtälö pisteessä m. Lisää tämä sitten systeemiin. Alkuehtoina voit käyttää monisteen alkuehtoja.

2. Z&T ss. 340 auttaa. Terhakkaimmat voivat separoida yhtälön itse. Fourier-kertoimien laskeminen kuten tavallista, jolloin a_{2k} = 2U / (k Pi) (-1)^k sin((k Pi a) / L), a_{2k+1} = 0. Raja-arvo on fysikaalisesti ilmeinen.

3. Tässä ominaisarvoja ei voida ratkaista tarkasti, mutta tarvittavat seikat voidaan päätellä esimerkiksi harjoituksen kaksi alkuviikon tehtävät viisi avulla.

4. N on nyt kappaleen ulkonormaali.

5. Tee sopiva laajennus ja käytä yleistä konvoluutiokaavaa ratkaisulle.

6. Onko tehtävän u jatkuva?

Loppuviikko:

1. u(x,t) = Exp[-Sqrt[w/(2a)] x] Exp[I (wt - Sqrt[w/(2a)] x].

2. Päättele edellisen kohdan ratkaisusta tarpeelliset tiedot. Maakellarille olisi toivottavaa, että siellä olisi lämpimintä, kun ulkona on kylmintä ja viileintä, kun ulkona on lämpimintä. Tämä siis vuositasolla.

3. Ajattele, mitä ehtoja u:n tulee toteuttaa ääriarvokohdassaan.

4. Separoi yhtälö ja tee R:lle sopiva yrite, jolloin pääset helppoon yhtälöön.

5. Lähde liikkeelle u:n konvoluutiokaavasta, integroi yli R^n:n ja...

6. Oleta kaksi ratkaisua u1 ja u2 sekä tutki näide erotusta.

Harjoituskierros 7

a1. Osoita ensin että v on ei negatiivinen. w=v-u. Sovella maksimi-minimi periaatetta w:lle.

a2. jos kerrot sisäintegraalia h:lla voit muuttaa integraalin koko reunan yli. miksi? Green II. mitä u:lle tapahtuu kun t -> oo.

a3. Suoraviivainen sijoitus. Jos käytät Euleria saat kaavan seuraavasta tehtävästä, silloin beetan pitää olla tarpeeksi pieni.

a4. helppo ja suora sijoitus. pitää laskea kaksi matriisia yhteen.

a5. Jos tehtävää tarkastellan geometrisesti, on ongelmana löytää lyhin reitti kahden pisteen välillä kulkemalla annetun suoran kautta.
Jokaista tason pistettä x kohti (ei sijaitse suoralla) on olemassa x' siten että etäisyys kaikista suoran pisteistä on sama molempiin pistisiin. d (a,x) = d (a,x') kun a on suoralla. Miten tätä voi käyttää hyväksi?

a6. Tee vastaoletus. Jos jatkuva funktio on >0 pitessä a on olemassa a:n ympäristö jossa se on myös >0.

Loppuviikko:

l1. f olkoon funktio epsilonista. Kun f minimissä -> f'=0. Nyt epsilon = 0 on minimipiste.

l2. Green I. Voit tietysti olettaa että u on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva. Vastaoletus vastaavasti kuin a6:ssa, nyt vain ollaan eri avaruudessa mutta jatkuvan funkion ominaisuudet pysyvät.

l3. raaka sijoitus. c1=36/56 c2=-25/56. u'(1)=-1/4.

l4. kuten edellä vaaditaan vain että v saa olla mielivaltainen V:ssä.

l5. prujuista paljon apua. viimeinen kantafunktio on 1 kun x=1. kannat kolmioita: kanta 2h (paitsi viimeisessä) korkeus 1.
Jos omistat Beetan, siis kaavakirjan, siitä voi olla apua tarkastamisessa. Ilmankin pärjäät erinomaisesti.
n=3; c1= 0.237 c2= -0.095 c3= -0.358 (pyöristys ei oikein)

l6. nyt viimeinen kanta =0 kun x=1. M kääntyy. saat normaalin ominaisarvo tehtävän. kannattaa laskea tietokoneella.

n=3:
10.3866
48.0000
126.7562

Harjoituskierros 9

Tehtäviin 1 ja 2 on vihjeet annettu, kakkosessa voit tosin hakea yhtä hyvin ratkaisua muodossa v=v[Abs[x]].

3) Homma palautuu alkuviikon tehtävään 6 kun parametrisoit sopivasti. Kannattaa piirtää pisteeseen x tangenttisuora (n=2) tai -taso (n=3) Projisoi käyrän piste tangenttitasolle ja integroi tasossa. Huomaa, että tasoon projisoitu pintaelementti on pienempi kuin pinnalla.

4) Jaa integraali kahteen osaan, joista toisessa on integrandin singulariteetti. Tähän osaan sovella tehtävän 3 tulosta.

5) Lause 1.1 ja lauseen 1.2 todistus

6) Palautuu tehtävään 5. Prujussa siis tulisi lukea Exercise 1.5

Harjoituskierros 10

Tehtava 1: Muista, etta V on kaikkialla jatkuva ja lisaksi harmoninen seka sisa- etta ulkoalueessa. Yrita palauttaa tehtava Dirichlet'n ongelmaan. Varsin helppo, jos ymmartaa nama vihjeet. Vastaus on sellainen, etta kun sen on saanut, niin huomaa, etta sen olisi voinut melkein suoraan lukea tehtavasta.

Tehtavat 2&3: Potentiaalin laskeminen suoraan maaritelmasta (integroimalla) voi olla aika toivoton tehtava. Paattele sen sijaan tulos "epasuorasti" kayttaen seuraavia tosiasioita:
- V on harmoninen seka sisa- etta ulkoalueessa.
- V on jatkuva _kaikkialla_.
- V on pallosymmetrinen, eli V = V(r), koska tiheysfunktio u on.
- miten menikaan Laplace-operaattori, kun V riippuu vain r:sta?
- Yhdessa pisteessa V on helppo laskea suoraan maaritelmasta!
- Ajattelussa _voi_ auttaa myos fysikaalinen mielikuva; laskussahan on kyse ikaankuin sahkokentan potentiaalista, kun varaus on tasaisesti pallon pinnalla.

Tehtava 4: Laskettu kurssissa jo aikaisemmin. Tarkea perustehtava.

Tehtava 5: Tehtavanannon vihjeiden lisaksi: kayta prujusta s. 10 loytyvia estimaatteja, jotka kertovat harmonisen funktion kayttaytymisesta aarettomyydessa. Ethan unohda, etta alkuperaisiin ongelmiin kuuluu "normaalin" reunaehdon lisaksi myos reunaehto "aarettomyydessa". (ks. prujusta ulkoisten probleemien maarittely!)

Tehtava 6: Sama Greenin kaava ja sama alue Omega kuin edell. tehtavassa. Sijoita sopiva funktio w:n paikalle kaavaan.

Loppuviikko:

Tehtavat 1->3: Ei vaikeita. Lue prujusta kohdan 2.3. alusta noin yksi sivu. Siina selostetaan ratkaisualgoritmi, joka on taysin mekaaninen. Vastaukset:
1:) u(x) = a*exp(-x) + x, jossa a=2e(e-2)/(e^2+1)
2:) u(x) = sin(2*pi*x) - (12x+3)/(61*pi)
3:) u(x) = x + Sum[a_k * sin(kx), {k,1,n}], jossa a_k = (-1)^(k+1) pi / (k^3-pi/2*k)

Tehtava 4: Normille on annettu valmis kaava prujussa (kaava (2.2) ). Kaikki 4 kohtaa ovat helppoja laskea. Jos sup-merkinta pelottaa, muista etta kun kyseessa on suljettu vali ja jatkuva funktio (kuten tassa on), sup on sama kuin max. Vihje c)-kohtaan: ei kannata laskea integraalia auki; sen sijaan arvioi sita!

Tehtava 5: 4 edellista tehtavaa ovat kohtuullisen helpohkoja, mutta kahta viimeista ei voi sanoa helpoiksi... Ei toisaalta mitenkaan kauhean vaikeiksikaan (mitattuna vaikkapa t4-normilla!). No niin... Kayta derivaatan ketjusaantoa; w(x)=v(x'(x)), jossa x'(x) on peilauskuvaus (r,phi)->(1/r,phi). Kayta siis napakoordinaatteja (mika on Laplace napakoordinaateissa?). Periaatteessa mekaaninen lasku, kunhan vain osaa pitaa ajatuksissaan erillaan pisteen x ja sen peilauspisteen x' . Huomaa, etta kyseessa on peilaus yksikkoympyran suhteen, eika a-sateisen ympyran suhteen. Huomaathan myos, etta n=2. Tapaus n=3 olisi tyolaampi.

Tehtava 6: Melko vaikea tehtava, jonka vaikeudesta nama vihjeet kuitenkin toivottavasti poistavat suurimman osan! Ensinnakin: huomaa, etta koska w on harmoninen, se on C^1-funktio (jatkuvasti derivoituva). Taman jalkeen unohda harmonisuus, se ei liity tahan muuten, kuin etta se takaa C^1:n. Toisin sanoen kaikki tehtavan lauseet patevat C^1-funktioille (tai siis niiden inversio- muunnoksille), ja harmonisuuden ajattelu vain sotkee (jos seuraat naita vihjeita).
1.kohta on helppo; tassa tarvitaan vain w:n jatkuvuutta origossa.
2.kohta: lahde suoraan kehittelemaan tehtavapaperin lauseketta ja kayta seuraavia: (vielapa tassa jarjestyksessa)
-siirry ulkoalueesta sisaalueeseen (eli v:sta w:hen)
-valiarvolause (n-dim.); loytyy esim. Beta/s.199
-Cauchy/Schwartz-epayhtalo
-paattele, etta grad(w):ta sisaltava lauseke on rajoitettu
3.kohta:lausu grad(v) ketjusaannon avulla matriisitulona. kayta tahan tuloon aputulosta, jonka mukaan patee: abs(Ax) <= lambda*abs(x) , jossa lambda = max{l1,l2}, jossa l1 ja l2 ovat A:n ominaisarvojen itseisarvot. Tama tulos patee ainakin silloin, jos A on symmetrinen ja ominaisarvot erisuuria, kuten tassa tapauksessa on. paattele, etta grad(w):ta sisaltava lauseke on rajoitettu (tehty jo 2.kohdassa). Nain olet jo valmis!
Olisi hyva itse todistaa em. pieni aputulos, koska se ei ole kovin tunnettu. : kirjoita x=v1+v2, jossa v1 ja v2 ovat ominaisvektoreita (onnistuu,koska ... ?). Taman jalkeen tulos tulee kuin itsestaan.
Vihjeita:
- koska A on symmetrinen ja ominaisarvot erisuuria, niin v1 ja v2 ovat ... ?
- Pythagoraan lause

Harjoituskierros 11

1. ;*)
2. Aluksi lasketaan yksikerrospotentiaali alueessa Abs[x]<1. Siirrytään napakoordinaatteihin. Tehtävä paperissa oleva vinkki. u määrätty pelkästään yksikköympyrällä.
vast: u= 2*x1 + 8*x1*x2
3. a) u= 2*x1*x2 + 2*x2 +c
b) u= x2/(x1^2 + x2^2) +c
c) u= 2*acrtan(x2/x1) +c
(arctan(y) = - arctan(1/y) + vakio)
4. Prujuissa hyvä vihje.
5. Todistus lähtee aivan kuin prujussa s. 5 oleva todistus. n=2,3 riittää. kiinnitetään x. valitaan r sopivasti. green II. funktioina: v ja fundamentaaliratkaisu (epsilon) Pitäsi saada: integroimalla jotakin aluperäisen reunan yli on sama kuin -integraali sisällä olevan pallopinnan yli. eli ollaan suunillen samassa kohdassa kuin s. 5. n. 5 cm sivun alareunasta paitsi koska v ei ole vakio on termeissä enemmän tavaraa. Tutkitaan integraalia r-säteisen pinnan yli: integraali termistä, jossa on epsilon ja v:n normaali derivaatta pitäsi saada nollaksi. Loppuosaan käytetään keskiarvo lausetta(mean value theorem).
6. lähdetään exercise 1.11 hajotelmasta. Dirichle: tiedetään mitä v on reunalla. käytetää propositiota 1.3 kun lähestytään reunaa sisältä. lopputuloksena saadaan 1. lajin integraaliyhtälö. Neumann: tiedetään normaali derivaatta reunalla. propositio 1.3 loputuloksena saadaan 2. lajin integraaliyhtälö.
Loppuviikko:

1. Tehtävän alkuosa esitetty luennolla, loppu tismalleen samalla tavalla. Jos et ollut luenolla niin, lähdetään prujun sivun 26 N+ yhtälöstä. Nyt ydin on separoitunut(degeroitunut) -> ratkaistaan standarti menetelmällä.

2. helppo. Kootaan vain kappaleessa 2.5 esitettyjä tuloksi ja ed. tehtävän vastaus yhteen. Kannattaa ratkaista niin päin, että lopuksi saadaan kysytty ratkaisu.

3. piste (10,0) v=460,5 Kannattaa tehdä trapetsilla. Riittää tutkia esim. 8 ja 4 osavälillä.
piste (0,1) v=-1,73*10^-11 menee tietokonella laskettavaksi.
4. tutki derivaattaa numeerisesti tietokoneen avulla. Ota pisteitä (x1,0) x1-akselilta x1 -> 1 alhaalta. Laske v:n arvo piteessä x1 Poissonin kaavalla. v(1,0)=1, miksi? v' likimäärin (v(1,0)-v(x1,0))/(1-x1).
vast: derivatta näyttää lähestyvän arvoa 2.
5. Tosi, tosi helppo. Formaalisti vaikka induktiolla.
6. Hmm... ei paha. Alussa K=aj*bj. Nyt valitaan vaikka funktiot aj joissa on s kpl lin. riippumattomia. kannattaa muuttaa numerointi niin että riippumattomat funktiot ovat alussa 1-> s . Esitetään muut a:t ( s+1->N) näiden avulla (aj: j: 1 -> s). nyt voidaan esittää K=Sum(a'j*b'j) j:1->s (pienellä mietimisellä tai suoralla sijoituksella alkuperäiseen yhtälöön). nyt a'j:t ovat alkuperäisten aj funktioiden lin. riippumattomat funktiot ja b'j:t ovat alkuperäisten bj funktioiden lineaarikombinaatioita eli b'j= k1*bi+k2*b2+..+kN*bN , k:t vakioita. eli K=Sum (a'j*b'j) j: 1->s. nyt vastaava funktioille b'j, joissa olkoot M kpl lin. riippumattomia funktioita jne... älä sotkeudu indekseissä. tehtävän vastaus on siis esittä tapa millä K:n esitys saadaan haluttuun muotoon.

Harjoituskierros 12

1. ks. Teht{v{paperi.

2. Aproksimaatioksi saadaan (tai min{ ainakin sain) 1.36 +1.89x.

3. olk. P ko. projektio. Miksi riitt{{ n{ytt{{ ett{ Pg = g kaikilla g jotka kuuluvat avaruuteen V_{n} ?

4. (i) ks. 8. harjoitus.
(ii) max abs(Pf) <= max abs(f): Mit{ voit sanoa Pf:n v{lill{ [i*h , (i+1)*h] saamista arvoista ?
lim max(abs(f-P_nf)) = 0: olk. e > 0. f tasaisesti jva (koska jva kompaktissa joukossa), eli on olemassa d(e) > 0 s.e. abs(f(x)-f(y)) < e kun abs(x-y) < d. Valitse N s.e. h < d. T{ll|in abs(f(x)-f(y)) < e kun x,y ovat v{lilt{ [i*h,(i+1)*h], ja vastaavasti abs(Pf(x)-Pf(y)) < e (Miksi ?) t{ten (edelleen em. v{lill{ pysyen) max abs(f-Pf) < 2e ( Muista Pf:n m{{ritelm{ !) ja edelleen ed. rivin kaltainen tulos koko [0,1]:ss{ (Miksi ?).

5. Teht{v{n sis{tulo = er{{n funktion 2-normin neli|. (Muista sis{tulon lineaarisuus.)

6. ks. harjoitus 8.

Loppuviikko:

1. vastauksena 0,87 + 1,69x.

2. teht{v{ss{ on syyt{ antaa vastaus karteesisissa koordinaateissa (koska integraaliyht{l|iden ytimet on kirjoitettu em. koordinaateissa.)

6. Alkuosa suoraan laskemalla. Geometrisessa tulkinnassa kuva luonnollisestikin auttaa huomattavasti, ja lis{ksi on syyt{ mietti{ kulman merkin valintaa. (arctan(...) -lauseke esitt{{ (er{st{) kulmaa, senh{n toki kaikki havaitsivat hetimiten...)