Harjoituskierros 7

1. Ulkotulo siis muodostaa kahdesta vektorista matriisin. Asia voidaan myös kirjoittaa muodossa x y^(t). Käytä hyväksesi lineaariavaruuden lineaariominaisuuksia.

2. Voit yrittää seuraavia menetelmiä:
Kirjoita polynomi termeittäin ja hyödynnä integraalin lineaarisuutta.
Muistele, mikä Gamma-funktio oli ja hyödynnä tietoa, että Gamma(1/2)=Sqrt[Pi], eritoten parilisten potenssie tapauksessa.

Vast: { 1/(4 Sqrt[Pi]), Sqrt[2]/(4 Sqrt[Pi]) x, Sqrt[2]/(4Sqrt[Pi]) (x^2-1/2) }

3. Huomaa, että k(x,y) on jatkuva ja siis rajoitettu yksikköneliössä, näin saat ylärjalle arvioita.

4. Voit hyödyntää toisen kohdan osoituksessa ensimmäisen kohdan tulosta.

6. Voit käyttää sopivaksi kokemaasi normia, mieti, mikä olisi sopiva valinta d:lle. (Tutki, mitä matriisi D tekee matriisille A.)

Loppuviikko:

1. Huomaa, että H on symmetrinen. Muista myös normiekvivalenssi. (Tietty H:n normi on helppo määrittää, mikä?)

3. Gershgorinin teoreema löytyy esimerkiksi Kreyszigin tai Kivelän kirjoista.

5. x_2=-20/(Sqrt[5670] Sqrt[25,2]), x_1=5/15 + 4/15 x_2

6. Jacobin menetelmästä on asiaa myös Kivelän kirjassa. Huomaa, että tehtävässä oli painovirhe. Matriisin N tulee olla N=D-A.

Harjoituskierros 8

2. Huomaa, että harjoituspaperin avulla voit määritellä uudet komennot qr ja qralg, jotka laskevat QR-algoritmin läpi. Näin saadaan suoraan reaaliset ominaisarvot. Kompleksiset ominaisarvot piiloutuvat hiukan, mutta ovat kyllä löydettävissä pienellä lisälaskulla diagonaalilta tai sen ympäristöstä. Vertaa tehtävän viisi reaaliseen Jordan-muotoon.

3. Eksponenttifunktio siis määritellään matriiseille sarjan avulla. b)-kohdassa ei kannata etsiä A:n Jordan-muotoa tehtävän ratkaisemiseksi.

5. Tehtävässä ei ole tarpeen laskea e^A:ta vaan riittää määrittää e^J. Kyyhkyslakasta löytyy paperi, jossa kerrotaan, mitä A:n reaalisella Jordan-muodolla tarkoitetaan.

6. Tehtävässä ei ole enää tarpeen tarkastaa, että e^B=I + 1/2 A. Muutoin kyseessä on puhdasoppinen sarjaharjoitus. Aloita tarkastelemalla, mitä on A^2 ?. Näin saat joka toisen termin helpompaan muotoon. Tähtää sitten sumeilematta haluttuun lopputulokseen.

Loppuviikko:

1. a) 1/Sqrt[2 Pi] 1/(1+I w)
b) 1/Sqrt[2 Pi] 1/(1+I w)^2

2. Tässä tulee laskea pyydetty tulos, ei katsoa taulukoista.

3. Tarkastele erikseen tapaukset w>0 ja w<0:
Sqrt[Pi/2] Exp[-aw], w>0,
Sqrt[Pi/2] Exp[-a Abs[w]], w<0

4. Sinh[1] Exp[x], jos x<-1
Sinh[1] Exp[-x], jos x>1
1-1/e Cosh[x], muulloin 6. Keksi tällaiset funktiot. Ajattele asiaa ensin muunnospuolella.

Harjoituskierros 9

1. Virhe on sattunut sekä lähtö- että muunnospuolella.

2. x(t) = (ca)/((a-cb) e^(at) + cb)

3. Ylätyylin suoritukseen: Lataa Mathematicassa tarvittava paketti: < 4. a) on, b) ei, c) on. Piirtämisestä, katso tehtävä 3.

6. x(t) = (4e^t - 3e^(2t), -2e^t + 3e^(2t), 2e^t - 3 e^(2t))

Loppuviikko:

2. n on vähintäinkin 6, jolloin a_5 = -5, a_4 = 10, a_3 = -16, a_2 = 16, a_1 = 16, a_0 = -32.

3. a) nielu, b) lähde, c) ei mikään näistä

4. a) 1/2 (1/s - s/(s^2+4a^2)), b) a/s (1-e^(-cs)) c) -a/s e^(-cs) - a/(cs^2) e^(-cs) + a/(cs)

5. x(t) = (5/2 e^t + 1/2 e^(-t) -t -2, 1-e^(-t))

6. phi(t,s) = 1/(1+s^2) (( e^(t-s)+ts, te^s-se^t),(se^(-t)-te^(-s), ts+e^(-(t-s)) )), alkuehdosta x(0)=(2,1) seuraa x(t)=(2 e^t +t, e^(-t) - 2t). Tehtävä kannattaa aloittaa toteamalla, että annetut y(t) ja x(t) ovat ratkaisuja ja tämän jälkeen määrittämällä phi(t,0).

Harjoituskierros 10