Harjoituskierros 3

Alkuviikko:

2. f(z) = 1/3! - (z+1)^2 / 5! + (z+1)^4 / 7! + ...,
R = Infinity

6. a) Sum[(-1)^n z^(2n-1), n = 0,1,...], R = 1
b) Sum[(-1)^n z^(1-2n) / (2n)!, n = 0,1,...]

Loppuviikko:

1. a) f(z) = 1/z - Sum[(1+1/2^(n+1) z^n, n = 0,1,...]
b) f(z) = 1/z + Sum[1/z^(n+1), n = 0,1,...]
- Sum[z^n/2^(n+1), n = 0,1,...]

2. a) abs(c_k) <= (e*tau)^k / k^k

3. a) 0: 2. kertaluvun napa, äärettömyyspiste: oleellinen singulariteetti

b) 1: oleellinen singulariteetti, äärettömyyspiste: . kl. napa

4. a) 0: 3. kl. nolla, +-n: 2. kl. nollia
b) +-n 2 pi i: 1. kl. nollia

6. a) 2 pi i
b) 2 pi i tanh(1)

Harjoituskierros 4

1. 4/5 Pi i

2. a) 14 Pi i, b) 0

3. 2/35 Pi

4. Pi/2

Loppuviikko:

1. a) +-i, b) 2+-Sqrt[6]

2. a) w=(z+1)/(-3z+1), b) w=(-2iz+1)/(z-i)

4. Phi_max = 4, Phi_min = -4.

Harjoituskierros 5

1.

S1: on aliav.
S2: ei ole aliav.
S3: on aliav. reaalikertoimisena
S4: on aliav. reaalikertoimisena
S5: on aliav.

2. V on aliav, dim V = 2

5. n parillinen: {v^i} on lin rva, n pariton: {v^i} on lin rtton

Loppuviikko:

2. Kaikki ovat lineaarikuvauksia, joille
i) dim(R(T))=dim(N(T))=2
ii) dim(R(T))=1, dim(N(T))=n^2-1
iii) dim(R(T))=2, dim(N(T))=1

3. f ei ole lineaarinen

4. Etsi syntyvän lineearikuvauksen esitysmatriisi ja totea tämän avulla kysytyt seikat.

5. T on lineaarikuvaus, N(T)={a(4-x) | a reaalinen}

6. N(D)={p(x) | p(x)=vakio}
N(J)={0}

Harjoituskierros 5

2. a) l_1=1, l_2=i, l_3=-i, m_a(l_i)=m_g(l_i)=1
v_1=(1 0 0), v_2=(1+i, 1+i, 1), v_3=(1-i, 1-i, 1)

b) l_1=3, l_2=3, m_a(3)=2, m_a(2)=3, m_g(3)=1, m_g(2)=2
v_1=(1 0 0 0 0), v_2=(0 0 1 0 0) + (0 0 0 1 0)
Huomaa, että matriisi on valmiiksi Jordan-muotoinen.

3. A^k Ominaisarvot (l_i)^k
A+dI Ominaisarvot l_i+d
Loppuosan voi ratkaista esimerkiksi tutkimalla matriisin karakteristista polynomia.

6. Käytä Jordan-muotoa.

Loppuviikko:

1. i) Ominaisarvot: Kaikki reaaliluvut
ii) Ei ominaisarvoja

3. Ei ole sisätulo

4. b_1=1/3 (1 2 2), b_2=1/(3 Sqrt[5]) (2 4 -5)
b_3=1/Sqrt[5] (2 -1 0)

5. Ortogonaaliprojektio on 1/80 (-1 phi_1 + 5 phi_2 + 71 phi_3) ja minimietäisyys 51/44800. Tässä kannattaa käyttää esimerkiksi Mathematicaa tarvittavien integraalien laskemiseen ja yhtälöryhmien ratkaisemiseen.

6. |A_1|=6, |A_infty|=8, |A_2|=Sqrt[15+Sqrt[159]]