T3:n luennoilla käsitellyt asiat

vko 37

Kompleksiluvut, kompleksimuuttujan funktiot, funktion analyyttisyys, Cauchy-Riemannin yhtälöt, harmoniset funktiot. Kompleksifunktioita: eksponenttifunktio, trigonometriset funktiot, logaritmifunktio, yleinen potenssifunktio. Riemannin pinta.

vko 38

Yleinen potenssi, kompleksiset integraalit: Viivaintegraali parametrisoimalla, Greenin lause, Cauchyn kaava. Analyytisen funktion derivaatat: Cauchy-estimaatit, Liouvillen lause. Potenssisarjat: Jonot, sarjat ja suppeneminen, määritelty suppenemisympyrä.

vko 39

Potenssisarjat: Abelin lause, suppenemissäde, Hadamarin kaava. Potenssisarjan derivaatat, Taylorin ja Laurentin sarjat. Nollakohdat, singulariteetit: poistuva singulariteetti, napa ja olennainen singulariteetti. Potenssisarjojen analyyttinen jatkaminen. Residyt: residylause.

vko 40

Residy-integrointia, argumentin periaate, algebran peruslause. Konformikuvaukset: Konformisuus, Riemannin kuvauslause, maksimiperiaate, keskipistesääntö.

Tähän päättyy ensimmäisen välikokeen alue

Lineaarialgebraa: Vektoriavaruus, aliavaruus.

vko 41

Vektoriavaruudet: Viritelmä ja lineaarinen riippuvuus, kanta, dimensio, kannanvaihto.

Lineaarikuvaukset: Ominaisuudet, matriisiesitys, kuva-avaruus ja nolla-avaruus. Ominaisarvoteorian alkeita.

vko 42

Matriisiren similaarisuus ja diagonalisointi, Jordanin muoto, lineaarikuvauksen ominaisarvot, positiividefiniitit matriisit.

Sisätulo ja normi, ortogonaalisuus, ortogonaaliprojektio.

vko 43

LU-hajotelma, matriisinormi, häiriöalttius, Gerschgorinin ympyrät.

vko 44

QR-hajotelma, matriisin eksponenttifunktio, Fourier-muunnos. Samalla ilmoitetaan, että kokeessa tarvittavat Fourier-muunnokset jaetaan taulukkomuodossa.

Tähän päättyy toisen välikokeen alue

vko 45

Esimerkkeja differentiaaliyhtälöistä. Lineaariset systeemit: perusasiat, vakiokertoiminen yhtälö, kaksidimensioiset tapaukset, yleinen lineaarinen yhtälö, Laplace-muunnoksen käyttö, Lipschitz-ehto

vko 46

Picard-Lindelöf -iteraatio, 1-parametriset ryhmät ja virtaus, jatkuva riippuvuus alkuehdosta, differentioituvuus, tasapainopisteet, Ljapunovin funktiot, gradienttisysteemit.

vko 47

Differentiaaliyhtälösysteemien jaksolliset ratkaisut, attraktorit. Nummerisia menetelmiä: Runge-Kutta, moniaskelmenetelmät.

vko 48

Numeerisia menetelmiä: Implisiittiset menetelmät, Runge-Kutta ja moniaskelmenetelmät.

This page created by <Ville.Havu@hut.fi>