Mat-1.312 Matematiikan peruskurssi T2 / kevat 1996
Input :=
Pallon kahdeksanneksen massakeskipiste ja
hitausmomentti
Varmuuden vuoksi: Poistetaan mahdolliset aiemmat muuttujat:
Input :=
Remove["Global`*"]
Pisteen (x,y,z) ja akselin x=y=z yhdysvektori:
Input :=
dvekt= {x,y,z}-t {1,1,1}
Output =
{-t + x, -t + y, -t + z}
Ratkaistaan t siten, etta tama vektori on kohtisuorassa akselia vastaan (piste on
skalaaritulon merkki):
Input :=
tsol= Solve[dvekt.{1,1,1}==0,t]
Output =
x + y + z
{{t -> ---------}}
3
Kohtisuora etaisyys eli eo. vektorin pituus (komennon loppuun voidaan panna
lisamaare //Simplify; tama on sama asia kuin antaa seuraavana komentona
Simplify[%]):
Input :=
d= Sqrt[dvekt.dvekt/.First[tsol]]//Simplify
Output =
2 2 2 2
Sqrt[-] Sqrt[x - x y + y - x z - y z + z ]
3
Momenttien laskemiseksi on integroitava seuraavan listan alkiot kappaleen yli:
Input :=
lista= {1,x,y,z,d^2}
Output =
2 2 2
2 (x - x y + y - x z - y z + z )
{1, x, y, z, ----------------------------------}
3
Tilavuusalkio pallokoordinaateissa:
Input :=
dv= r^2 Sin[th]
Output =
2
r Sin[th]
Integroidaan pallokoordinaateissa, jolloin koordinaattien x, y ,z paikalle on
sijoitettava niiden lausekkeet pallokoordinaateissa:
Input :=
int= Integrate[lista dv /.{x-> r Sin[th] Cos[phi],
y-> r Sin[th] Sin[phi], z-> r Cos[th]},
{r,0,R},{th,0,Pi/2},{phi,0,Pi/2}]
Output =
3 4 4 4 5
Pi R Pi R Pi R Pi R (-2 + Pi) R
{-----, -----, -----, -----, ------------}
6 16 16 16 15
Massakeskipisteen suorakulmaiset koordinaatit (listan indeksit on sijoitettava kaksinkertaisten hakasulkujen sisalle):
Input :=
mkp= int[[{2,3,4}]]/int[[1]]
Output =
3 R 3 R 3 R
{---, ---, ---}
8 8 8
Hitausmomentti lausuttuna kokonaismassan m (= tilavuus) avulla (toinen momentti
int[[5]] on siis itse asiassa kerrottu ykkosella, koska m = Pi R^3 / 6):
Input :=
j= int[[5]] m / int[[1]]
Output =
2
2 m (-2 + Pi) R
----------------
5 Pi
Hitaussade, ts. se etaisyys, jolle samamassainen piste on sijoitettava, jotta
saataisiin sama hitausmomentti:
Input :=
r0= Sqrt[j/m]//PowerExpand//N
Output =
0.381251 R
Tutki viela, voitaisiinko massakeskipisteen etaisyys origosta laskea integroimalla
pallokoordinaattien muuttuja r kappaleen yli ja jakamalla kokonaismassalla.
Jos voitaisiin, niin miksi; jos ei, niin miksi ei?
Input :=
Integrate[r dv,{r,0,R},{th,0,Pi/2},{phi,0,Pi/2}]/int[[1]]
Output =
3 R
---
4