TKK / Matematiikan laitos / opetus /

Mat-1.150 Reaalianalyysi (4 ov), syksy 2004

Kurssi on tarkoitettu matematiikan pää- ja sivuaineopiskelijoille, sekä muille tekniikan opiskelijoille, jotka haluavat täsmälliset pohjatiedot mittateoriasta ja sen käytöstä modernissa analyysissä. Kurssin tiedot ovat välttämättömiä mm. osittaisdifferentiaaliyhtälöiden modernin teorian tai täsmällisen todennäköisyyslaskennan opiskelemiseksi. Kurssi on matemaatikoille erittäin suositeltava.

Esitiedot: Mat-1.015 Modernin analyysin perusteet (ModA). Mat-1.140 Funktionaalianalyysin perusteiden (FAP) hallitseminen on avuksi, mutta ilmankin selviää hyvin.

Sisäältö: Analyysin yleissivistystä, mittateoriaa ja Lebesguen integrointiteoria, derivointiteoria, Lp-avaruudet, Fouriermuunnokset.

Luennot: ke 12--14 ja pe 12--14, U345 (alkaen 10.9.2004.), professori Matti Lassas, e-mail: Matti.Lassashut.fi, Y319, p. 451 3069 .

Välikokeet: Lauantaina 16.10 kello 10--13 ja maanantaina 13.12 kello 9--12.

Tentti: Kurssin tentti järjestetään maanantaina 10.1.2005, kello 9-13. Ilmottautuminen sähköpostitse Matti Lassakselle.

Harjoitukset: ke 14--16 U345 Assistentti Niko Marola, e-mail: nmarolamath.hut.fi, U341, p. 451 3039.

Harjoitustehtävät ovat saatavissa myös assistentin ovenpielessä olevasta kuoresta. Opiskelijat ratkaisevat tehtävät itsenäisesti kotona, ja ratkaisuja tarkastellaan harjoitustunnilla. Tehdyistä harjoitustehtävistä annetaan pisteitä, jotka huomioidaan arvostelussa, kun kurssi suoritetaan välikokein. Matematiikan laitoksen kirjastossa sijaitsevaan kurssimappiin toimitetaan viikoittain harjoitusten ratkaisut. Harjoituksia on 11 kierrosta.

Harjoitukset:

• Harjoitus 1: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Harjoitus 2: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Harjoitus 3: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Harjoitus 4: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Harjoitus 5: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Harjoitus 6: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Harjoitus 7: PS,PDF. Ratkaisut: PDF. Lisäys: PDF.
• Harjoitus 8: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Harjoitus 9: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Harjoitus 10: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Harjoitus 11: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.

Välikokeet:

• Välikoe 1: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.
• Välikoe 2: PS,PDF. Ratkaisut: PDF.

Oppikirja: Walter Rudin: Real And Complex Analysis. Käymme läpi myös osia kirjasta R. Gariepy and W. Ziemer: Modern real analysis.

Luentojen eteneminen: Luentomuistiinpanot ovat matematiikan laitoksen kirjastossa. Itsenäistä opiskelua varten alla on oppikirjan alueet, joita luennot pääosin käsittelevät.

• Viikolla 37: Rudin 1.1--1.10
• Viikolla 38: Rudin 1.11--1.14, 1.18--1.26
• Viikolla 39: Rudin 1.26--1.35.
• Viikolla 40: Rudin 1.36 ja [GZ] Luvut 4.1-4.2 (Kertausta MODA:sta sekä ulkomittojen säännöllisyystuloksia)
• Viikolla 41: [GZ] Luvut 4.3, 4.5, 4.9 (Lebesguen mitta, ulkomitan konstruointi mitan avulla, mittojen säännöllisyystuloksia) ja Rudin 2.1-2.12, 2.24, 3.1-3.4, 3.6
• Viikolla 42 : Rudin 3.5-3.17
• Viikolla 43 : Rudin 3.17, 6.1-6.6. FAP:n materiaalia vastaavat Rudin 4.1-4.7, 4.12, 5.16-5.18 suositellaan luettavaksi (Jos et ole vielä suorittanut FAPin, tutustu ainakin Rudinin luvun 4 materiaaliin).
• Viikolla 44: Rudin 6.7-6.11
• Viikolla 45: Rudin 6.12, 6.13, 6.15-6.19, harjoitus 6.6 (kts. luentomoniste)
• Viikolla 46: Rudin 7.1-7.8
• Viikolla 47: Rudin 7.9-7.12,7.16-7.20.
• Viikolla 48: Rudin 8.1-8.14.
• Viikolla 49: Rudin 9.1-9.13. Perjantaina ei ole luentoja.

1. Välikokeen alue. Ensimmäiseen välikokeeseen sisältyvä alue on luennoilla viikoilla 37-41 käsitellyt asiat sekä viikolta 42 Rudinin kohta 3.5 (ilman todistusta). Välikoetta varten on hyvä valmistautua esittämään myös luennoilla läpikäytyjen lauseiden todistuksia, ja erikseen nimettyjen lauseiden formulointeja (Esimerkiksi voidaan kysyä: Esitä ja todista Jensenin epäyhtälö). Osa koetehtävistä on laskuharjoituksissa esitettyjen tehtävien tyyppisiä (eivät kuitenkaan samoja tehtäviä).

2. Välikokeen alue. Luennoilla viikoilla 42-49 käsitellyt asiat alkaen Lp-avaruuksista. Kuten 1. välikokeeseen, välikoetta varten on hyvä valmistautua esittämään myös luennoilla läpikäytyjen lauseiden todistuksia, ja erikseen nimettyjen lauseiden formulointeja. Osa koetehtävistä on laskuharjoituksissa esitettyjen tehtävien tyyppisiä. Menestystä kaikille kokeeseen valmistautumiseen!

Suorittaminen: Kurssin voi suorittaa joko kahdella välikokeella tai yhdellä tentillä. Ensimmäinen välikoe on lauantaina 16.10.2004 klo 10-13 ja toinen välikoe maanantaina 13.12.2004 klo 9-12. Seuraavan tentti järjestetään maanantaina 10.1.2005, kello 9-13. Ilmottautuminen sähköpostitse Matti Lassakselle.

Tervetuloa kurssille!

Matti Lassas
Niko Marola