\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/numsym05}
\usepackage{ae,aecompl}    % pdf-fontteja varten!
%\usepackage{numsym05}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\huom {{\bf Huom!}}

% dvips -f  -Ppdf -sPAPERSIZE=a4  harj3 |  ps2pdf - harj3.pdf 

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{3-4}{7-9}{8.2.2004}

{\bf Versio 3} ke 16.2. \\ 
- Tehdään 1,2,3 to 17.2. mennessä. \\
- Tehtävät 4--9  muodostavat harj4:n, ne kaikki to 3.3.\\
- Ehdotan, että vanha teht. 6 (jota ei tässä ole näkyvillä) 
siirrettäisiin mahd. myöhempään ajankohtaan.
(Ei ole vaikea, mutta ehkä tällä kohdalla jää hiukan irralliseksi. Jos
joku on sen ehtinyt tehdä, niin katsotaan, miten hyvitetään.)

%\verb_ http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/05/maple/perusteita.mws _


Hiihtoloma pidetään viikolla 8. Ti 22.2. ei luentoa. \\ 
Neuvontaharjoitus to 24.2.

\verb_http://www.math.hut.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/ _\\
\texttt{http://www.math.hut.fi/teaching/k3/03/L/demo*.m}  --
Matlab skriptejä Fourier-sarjoihin \\
\texttt{http://www.math.hut.fi/teaching/p3/04/L/fourier.pdf} -- Fourier-sarjojen perusteita, mukana Matlab-esimerkkejä.  (Myös .ps) \\ 
{\tt http://www.math.hut.fi/teaching/p3/04/L/Fsarjat1.html} Fourier-sarjojen perustyöarkki html-muodossa. \\
{\tt http://www.math.hut.fi/teaching/p3/04/L/maple/Fsarjat.mws} Sama .mws-muodossa.\\
{\tt http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/05/maple/ns05.mpl} Sisältää hyödyllisiä apufunktioita, kuten {\tt JJ} (jaksollinen jatko).\\
{\tt http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/05/L/Fouriersarjat.pdf} (lisätty 12.2.)


% http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/fourier.html
% http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/fourier.mws
% http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/02/H/harj1ohje.mws
%\end{verbatim}

%Muista: uusi kehote: CTR-J tai CTR-K, missä J, niinkuin "jälkeen".

\begin{enumerate}

\item %1
Piirrä [T-W]-kirjan s. 70 tyyliset kuvat jatkuvan ja diskreetin ominaisarvotehtävän ominaisfunktioista. Kirjoita skriptiksi, jossa voi helposti muuttaa parametria $n.$ Piirrä siis joillakin isommillakin $n$:n arvoilla kaikki
ominaisfunktiot. Saat valita, teetkö \maple:lla vai \matl:lla. 
(Mielellään molemmilla, mutta ei "velvoiteta".)

\item %2
(a)
Tutki kokeellisesti Lemman 2.9 (s. 70) todenmukaisuutta laskemalla myös
"A-matriisin" ominaisarvot eri n:n arvoilla. (vrt. harj. 1 teht. 6 (c)).\\

(b) 
Osoita tehtävän {\sc Exe 2.27} s. 80 väitteet oikeiksi sekä matemaattisesti että kokeellisesti. (Edellisessä saat toki käyttää \maple:a esim. sarjakehitelmään
tai mihin vain. {\tt limit}-komentoon ei kannata luottaa sokeasti, mieluummin
vain testailuun.) 

Suorita "kokeelliset" osat sekä \maple:lla että \matl:lla. (Pidetään molemmat
aktiivisina, se maksimoi riemun!) 



\item %4
Olkoon  $f(x)=\begin{cases} 0,\ \ \textrm{kun}\ \ 0<x<1 \\
                            1,\ \ \textrm{kun}\ \ 1 < x < 2
               \end{cases}.$

(a) 
Piirrä \maple:lla $f:$n  pariton ja  parillinen $4-$jaksoinen laajennus 
välillä $\lbrack-4,4\rbrack$. Käytä funktiota {\tt ParinenJ} 
ja {\tt ParitonJ}) (tiedostossa {\tt ns05.mpl}).
Piirrä sitten jaksollinen laajennus ainakin kahden jakson pituisella välillä.
Käytä {\tt ns05.mpl-}tiedoston (erinomaista) funktiota 
{\tt JJ}. 

(b) Muodosta sekä sini- että kosinisarja ja piirrä osasummia samaan kuvaan
funktion kanssa.

Vastaus (a)-kohtaan kertoimien osalta: 
$-2\,{\frac {\cos \left( n\pi  \right) 
-\cos \left( 1/2\,n\pi  \right) }{n\pi }}
$

%{\tt Huomaa yllä olevat webbisivut.}

\item %4
 .[T-W] EXE 3.1 s. 108 (kohdat a,b,c).
%(Tähän kuuluvat myös 3.2 ja 3.3.)

Tee ainakin joku kohta \matl:lla (Kertoimet saat toki laskea \maple:lla.)
Aiemmin sanotun kohdan ([T-W]) 3.3 sijasta uusi tehtävä 5 (jota kannattaa tehdä
rinnan tämän tehtävän kanssa.)

\item %5
Kirjoita \matl-funktiot (m-tiedostot) 
{\tt sinisarja.m, kosinisarja.m, foursarja.m} vaikka tyyliin:
\begin{verbatim}
function summa=sinisarja(b,L,N,x)
% Lasketaan sinisarjan osasumma N vektorin x pisteissä.
% b -- kerroinvektori: annetaan vaikka inline-funktiona
% L -- Jakson puolikas
% N -- Trig. polynomin asteluku
% x -- Vektori, pisteet, joissa lasketaan.
..
summa=sum(...);
\end{verbatim}

Toinen mahdollisuus olisi antaa $b$ vektorina, jolloin voitaisiin sopia, että
nollat ovat mukana. Silloin ei tarvittaisi argumenttia $N$. (Näin on tehty
lopussa olevassa {\tt lamposin}-funktiossa.)\\
Funktio-tapa voisi olla selkeämpi ja helppokäyttöisempi.\\
Kts. {\tt help feval} ja ohje alla (sekä Higham--Higham Ch 10 ss. 125 -- 127)

Testaa funktioitasi ainakin joihinkin tehtävien 3 ja 4 esimerkkeihin.


\item %5
Havainnollista {\it Gibbs'n} ilmiötä sopivalla omavalintaisella funktiolla.
Muodosta kertoimet \maple:lla ja piirrä kuvat \matl:lla. (Toki on luonnollista
piirtää myös \maple:lla. \matl:lla piirtäminen on paitsi hyödyllistä \matl-
harjoittelua, myös selvästi tehokkaampaa. Gibbsin ilmiön demossa on mukava
ottaa paljon pisteitä, mikä \maple:ssa alkaisi kuluttaa enemmän aikaa.)
Ota mallia em. {\tt demo*.m}-skripteistä.
Tässä on hyvä tilaisuus kokeilla \maple:lla generoidun kerroinkaavan
siirtämistä \matl:iin.\\
\textbf{Lisäys 15.2:} Tee Fourier-sarjaprujun (alun linkkilistassa) s. 23 
kohdan 4. tietokonetehtävän evästystä noudatellen.


%\item %6
%. [T-W] {\sc Exe 2.29} s. 80--81
%(Tässä on aika monta kohtaa: (a) -- (e). Kohdan (d) "write a program" 
%kuullostaa juhlalliselta, mutta on esim. \maple:lla suunnilleen 
%"yhden rivin juttu".
%Tarpeen mukaan tarkennetaan ja annetaan lisäohjeita.)

\item %6
Tutustu luentotyöarkkiin {\tt heat\_separ.mws} (sekä {\tt www../L/:ssä}
että {\tt /p/edu/mat-1.192/}:ssa).
Ratkaise lämmönjohtumistehtävät [T-W] s. 108 Exe 3.4.

\item %7 
Kirjoita edellistä modifioiden työarkki {\tt lampoNeumann.mws} (edellinen olisikin
voinut olla {\tt lampoDirichlet}.)
Ratkaise tehtävät Exe 3.5.

\item %8
Tutustu tähän, peruskurssia K3 varten kirjoittamaani \matl-koodiin 
huolellisesti. \\
{\tt http://www.math.hut.fi/teaching/p3/04/L/matlab/lamposin.m}
(Koodi mukana myös tehtäväpaperin lopussa.)

Voit halutessasi tehdä siihen pikku muutoksiakin, kuten
b-kertoimien antamisen funktiona vektorin sijasta, kuten Fourier:ssa 
ehdotettiin.

Kirjoita vastaava {\tt lampocos.m}

Ratkaise ja visualisoi näiden avulla yksi edellä oleva (tai jokin muu) 
Dirichlet-tyyppinen ja yksi Neumann-tyyppinen lämmönjohtumistehtävä.


\end{enumerate}


\subsection*{Ohjeita}

\subsubsection*{Teht. 1}
\matl:ssa voit jakaa grafiikkaruudun osiin {\tt subplot}:lla.
Toisaalta voit myös piirtää eri ikkunoihin komentamalla {\tt figure} 
(seuraava)
tai {\tt figure(n)}.
Piirrettävän datan voit kerätä matriisiin {\tt for}-silmukan avulla
sarake tai rivi kerrallaan.
(Silmukkaa ei tehdä pitkin vektorin komponentteja --- sellainen saa
opettajat hyppimään seinille!)

Toisaalta voidaan myös tehdä ilman yhtään for-silmukkaa:

\textbf{Ulkotulo, sarake {\tt *} rivi, meshgrid}
Monissa yhteyksissä tarvitaan vektorien $x$ ja $y$ ulkotuloa, joka on
matriisi $M,$ missä $m_{i\,j}=x_i y_j.$
Jos $x$ ja  $y$ ovat vaakavektoreita, saadaan $M$ matriisitulona
{\tt M=x'*y}. Toinen tapa (esim)
\begin{verbatim}
 >> x=linspace(0,1,8);
 >> y=linspace(-1,1,5);
 >> [X,Y]=meshgrid(x,y);
 >> M=X.*Y;   % Katso:  X, Y, M
 >> mesh(x,y,M); surf(x,y,M)  % Kokeile!
\end{verbatim}
Huomaa: edellisessä matriisikertolasku {\tt(*)}, jälkimmäisessä {\tt (.*)}

Tällä voidaan korvata for-silmukka niin jatkuvassa kuin diskreetissäkin.
(Jatkuva on Matlabin kannalta oikeasti myös diskreetti, pisteitä on vain
enemmän.)
Lue meshgridin käytöstä vaikka "pikku-oppaasta" tms. ja \\
{\tt help meshgrid, help mesh, help surf, help contour}.


\subsubsection*{Teht. 2}
\matl:ssa komento {\tt eig} laskee ominaisarvot (ja pyydettäessä myös vektorit). \verb_ >> [V,D]=eig(A)_ muodostaa "diagonalisoinnin", kts. {\tt help eig}.

Jos haluat verrata kaavasta laskettuja ja eig:n antamia, niin ominaisarvojen 
muodostaman vektorin saat edellä olevasta D:stä: {\tt diag(D)}.\\
Ominaisvektorit ovat matriisin $V$ sarakkeet. Tässä kaikki ominaisavaruudet
ovat $1-$ulotteisia (miksi?). Jos käytössäsi on kaksi matriisia ($V, W$), 
joiden
sarakkeet koostuvat ominaisvektorikandidaateista samassa järjestyksessä, 
voit selvittää vertailun suorittamalla {\tt V./W} (miksi). Ja vielä yksi
"miksi": Niin siis miksi on tärkeää tämän toimivuudelle, että ominaisarvot 
ovat yksinkertaisia?

\subsubsection*{Teht. 3}

\matl-ratkaisussa voitaisiin vaikka \maple:n avulla muodostaa:

\verb_ b=inline('..','n')  _ n on skalaari tai indeksivektori, käytä piste-operaatoita
tai funktiota {\tt vectorize}.

Osasummia laskettaessa kannattaa muodostaa sarjan termien matriisi siten,
että termi $n$ muodostaa rivin n (eri x:n arvoilla).
Funktio {\tt sum} laskee matriisin sarakesummien vektorin, joka antaa nyt 
osasumman $s_N$ laskettuna pisteissä $x_1,...x_{100}$. ({\tt sum} on esimerkki ns. vektorifunktiosta,
muita ovat mm. {\tt min, max, ...}. 
(Kts. laajempaa opasta (kunhan korjaan linkit).)
Esim: 
\begin{verbatim}
x=linspace(-2,2);
N=10;
termit=zeros(N,length(x));
for n=1:N
   termit(n,:)=b(n)*sin(...);
end;
summa=sum(termit);
\end{verbatim}

Huom! Tässäkin for-silmukka voidaan korvata ulkotulolla, kuten yllä.
Tehokkuuden kannalta voi olla merkitystä, tässähän voidaan haluta laskea
isoillakin N:n arvoilla (ainakin Gibbsissä).

Jos haluat osasummaparven, saat senkin samasta termimatriisista funktion
{\tt cumsum} avulla. Voit poimia jälkimmäisestä sopivasti osia.

\subsubsection*{Teht. 5}
Funktion välittäminen argumenttina \matl-funktiolle: \\
Esim ({\tt [Hig-Hig]} Ch 10): 
Funktio {\tt eros} palauttakoon parametrina annetun funktion $f$ 
erotusosamäärän: $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ Voitaisiin kirjoittaa 
(tiedostoon {\tt eros.m}) näin:
\begin{verbatim}
function y=eros(f,x,h)
y=(feval(f,x+h)-feval(f,x))/h;
\end{verbatim}
Siis se, mikä kirjoitettaisiin istunnossa {\tt f(x)}, kirjoitetaan funktion
rungossa {\tt feval(f,x)}. {\em {\bf Huom:} Tämä koskee vain tapausta, jossa {\tt f} 
esiintyy argumenttilistassa.}\\
Kutsuesim:
\verb_ eros(@sqrt,1,0.1)_  Kutsussa voi esiintyä $sqrt:$n paikalla 
yhtä hyvin oma m-tiedosto. 
(Myös \verb_ 'sqrt'_ toimii, mutta se alkaa näyttää "vanhanaikaiselta", muoto \verb_@fun_ on ns. "function handle", olisko vaikka 
"kahva", ja se on suositeltava.)

Korjaus harj.3 versioon 2: 
{\bf inline-määrittelyn}
tapauksessa ei kirjoiteta\\ \verb_@_-merkkiä.
Esim:
\begin{verbatim}
b=inline('-2/pi*(cos(n*pi)-cos(n*pi/2))./n','n') 
s=sinisarja(b,2,10,x);
\end{verbatim}

Jos taas kirjoitetaan alla oleva m-tiedosto {\tt bm.m}, on kutsuttava  \verb_ s=sinisarja(@bm,2,10,x);_  (Myös ``vanhanaikainen''
\verb_s=sinisarja('bm',2,10,x);_ toimii, mutta pelkkä {\tt bm} ei.)
\begin{verbatim}
function kerroin=bm(n)
kerroin=-2/pi*(cos(n*pi)-cos(n*pi/2))./n;
\end{verbatim}

 


(Vanhat versiot ($\leq 5$) ovat tässä suhteessa johdonmukaisempia,
mutta uudet tehokkaampia.)

{\bf Huomaa}, että yleisen F-sarjan osasumma on syytä kirjoittaa
muodossa 
$a_0+\sum_{n=1}^N (a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
 b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}),$
eikä niin, että summataan ensin cos-termit ja sitten sin-termit.
Periaatteessahan cos- ja sin-osuudet voisivat vaikka hajaantua, vaika koko sarja suppenisi. Mutta tässähän lasketaan äärellisiä summia,..., kyllä, mutta myös äärellisellä tarkkuudella. 



\subsubsection*{Fourier-sarjat} 

Kts. yllä olevia referenssejä \maple- ja \matl-tekniikoihin.

$2 L$-jaksoisen funktion $f$ Fourier-sarja:

$$a_0+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
 b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}),$$

$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx,\ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx,\ \ 
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx .$


\subsubsection*{Lämpöyhtälön Fourier-sarjaratkaisu \matl:lla}

(Valtaosa seuraavan funktion riveistä on kommentteja.)
\begin{verbatim}
function [Z,x,T]=lamposin(L,c,b,T,M)
% HA 25.11.03 
% Lasketaan lämpöyhtälön u_t = c^2 u_xx sinisarjaratkaisu korkeusmatriisina
%
% Input: L:   jakso/2
%        c:   c (Lämpöyhtälön c)  
%        b:   sinisarjan kerroinvektori (nollat mukana)
%        T:   aikapisteet
%        M:   x-diskrertointi (oletus 50)
%        
% Output: [Z,x,t] -  lämpötilamatriisi, x-vektori, t-vektori
%
% Esim:
% clear; close all
% L=10;c=sqrt(1.14);nb=10;
% b=1./(1:nb);b=rem((1:nb),2).*b;
% kerroin=400/pi; b=kerroin*b;
% T=linspace(0,10,10);
% [U,x,t]=lamposin(L,c,b,T);
% surfc(x,t,U);  % Pintapiirros
% figure
% plot(x,U)      % Lämpötilaprofiilit t-vektorin 
%                %  ilmaisemilla ajanhetkillä.
%
N=length(T);
if nargin==4, M=50; end 
nb=length(b);
x=linspace(0,L,M);
Z=zeros(M,N);
for n=1:nb;
   Z=Z+(b(n)*sin(n*pi*x./L))'*exp(-((n*pi*c/L)^2)*T);
   % Vanha tuttavamme ulkotulo on tässä korvaamaton.
end;
Z=Z';
\end{verbatim}

\end{document}




\begin{enumerate}

\item
Suorita jokunen Fourier-sarjaksi kehittäminen. Alla pari esimerkkifunktiota,
voit valita yhtä hyvin jotain muuta.

Piirrä $f$:n kuvaaja muutaman jakson alueella. Muodosta $f$:n Fourier-sarja.
Selvitä, missä pisteissä sarja suppenee ja missä se ei suppene kohti kyseistä
funktion arvoa. Mitä arvoa kohti sarja näissä ``ei-pisteissä'' suppenee?
Piirrä jaksollinen laajennus ja osasummafunktioiden kuvaajia.

Tutki kokeellisesti {\em Gibbsin ilmiötä} 
(n. 9\%:n "yli/ali-ampuminen" epäjatkuvuuskohdan ympäristössä).

(Luultavasti ei kannata piirtää hirveää määrää osasummia, vaan valittuja
muutamia harvakseen, isoilla n:n arvoilla.)

Esim:

(a)
$f(t)=t, \ \ t\in (-\pi,\pi],\ \ f(t+2\pi)=f(t) .$

(b)
$f(x)=\begin{cases}
         100, \ \ -4 < x < -2 \\
         0, \ \ -2 \le x \le 4 \end{cases}$,
$f(x+8)=f(x)$.

\item
Tarkastellaan vaimennettua värähtelyä kuvaavaa yhtälöä

$my''+cy'+ky=r(t)$.

Olkoon $m=1, c=0.02, k=25$ ja $$r(t)=
\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
             -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi  \end{cases},\ \ 
r(t+2\pi)=r(t)$$ .

Määritä ``pitkän aikavälin'' (``steady state'') ratkaisu $y(t)$.
(T\"ast\"a on homogeeniosan (ja siten alkuehtojen) vaikutus vaimentunut
pois.)

Periaate: Kehitet\"a\"an $r(t)$ Fourier-sarjaksi. Etsit\"a\"an kutakin sarjan
termi\"a vastaten erityisratkaisua $y_n$ muodossa $y_n=A_n\cos nt+
B_n\sin nt$. Lineaarisuuden perusteella (jos sarjan termeitt\"ain 
derivoiminen
on sallittua) p\"a\"atell\"a\"an, ett\"a $\sum y_n$ on koko yht\"al\"on ratkaisu.

Laske ainakin 5 termi\"a ratkaisusarjasta ja piirr\"a niiden summa sek\"a 
termit erikseen. Jokin niist\"a on dominoiva, identifioi se. Piirr\"a
samaan kuvaan her\"ate $r(t)$ ja "steady state" ratkaisu v\"alill\"a 
$[0,4\pi]$.

Tutki, mitä tapahtuu, jos jousivakiolle annetaan arvo $k=9$ sekä toisaalta
jäykän jousen, vaikkapa $k=49$ tapauksessa. Entä, jos vaimennusta lisätään?


\item 
Ratkaise AA-teht\"av\"a $x''+2x=r,\ \ x(0)=x'(0)=0$,miss\"a $r(t)$ on $2\pi$-
jaksoinen neli\"oaalto: $$r(t)=\begin{cases}-1,  0 < t < \pi \\
                                   1, \pi < t < 2\pi \end{cases}.$$
Suorita ratkaisu seuraavilla kahdella eri tavalla:
\kohta{a}{Muodosta herätefunktio vaikkapa 3:n jakson alueella ja
ratkaise yhtälö Laplace-muunnoksella. Saat käyttää \maple-funktiota
{\tt dsolve(...,method=laplace);}.

      }

\kohta{b}{
Kehitä $r(t)$ Fourier-sinisarjaksi ja käytä osasummaa $S_7$ 
(eli mukana ovat termit $\sin 7t$-termiin saakka.) oikean herätteen
approksimointiin.
   }

\kohta{c}{
Vertaa molemmilla menetelmillä saamiasi tuloksia, esitä graafisesti
ja katso, miten tarkkuus paranee, kun otat korkeamman asteisia Fourier-
osasummia.
     }
\huom\/ Hyödynnä tietysti ennen mainittua {\tt PeriodicExtender} (alias
 JJ) -funktiota.



\end{enumerate}


Referenssejä:

[Kof] Ch 25 pp. 351 -- 363  \\
[HAM] s. 177 ... (kts. HAM-sivun fourier-työarkki) Ota käyttöön
jaksollinen laajennus.\\
[KRE] `` Forced oscillations ``


\end{document}


\item %5
Tarkastellaan $2:$n pituusyksikön mittaista sauvaa, jonka materiaali on
sellainen, että lämmönjohtumisyhtälön vakio $c=1$. 
 
Katkaistaan sauva keskeltä kahtia ja sijoitetaan toinen puolisko
kiehuvaan vesisäiliöön ($100^\circ C$). 
Toinen  puolisko laitetaan jääveteen ($0^\circ C$). Kun sauvan 
puolikkaat ovat saavuttaneet kauttaaltaan ympäristönsä lämpötilan,
ne
sijoitetaan 
lämpöeristeeseen, liitetään takaisin 
yhteen, ja sijoitetaan vapaaksi jäävät päät jäävesisäiliöön ($0^\circ C$).

 
Suorita vaiheittain muuttujanerotteluprosessi sauvan lämpötilafunktion
määrittämiseksi.

 
Laske sauvan lämpötila hetkellä $t=0.1$ kummankin sauvan puolikkaan
keskipisteessä käyttäen sarjan kahta ensimmäistä termiä.




\subsection*{Fourier-kaavoja}

\subsubsection*{T-jaksoisen funktion Fourier-sarja}

\paragraph*{Reaalimuoto}

Olkoon $f$ T-jaksoinen reaalifunktio, missä $T=\frac{2\pi}{\omega}$. $f$:n
Fourier-sarjaesitys: \\
$f(t)=\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n\omega t+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin n\omega t$,
missä

$$a_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\cos n\omega t dt, \ \ n= 0, 1, 2, \ldots $$
$$b_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\sin n\omega t dt , \ \ n= 1, 2, \ldots$$

\paragraph*{Kompleksimuoto}
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$, missä

$$c_n=\frac{1}{T}\int_d^{d+T}f(t)e^{-i n \omega t}dt,\  \ 
n=0,\pm 1,\pm 2 \ldots$$


\end{document}
\subsection*{Fourier-kaavoja}

\subsubsection*{Yleinen tapaus, $f$ määritelty välillä $(-L,L)$}
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}$ \rv
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\ \
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx$

\subsubsection*{Puolen jakson laajennukset,$f$ määritelty välillä $(0,L)$}

\paragraph*{Sinisarja}

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
b_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HS_1, HS_2) $$

\paragraph*{Kosinisarja}

$$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
a_0={\frac{1}{L}}\int_0^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HC_1 - HC_3) $$


%\end{enumerate}


\end{document}





\item
Ratkaise edellinen tehtävä Laplace-muunnoksella katkaisemalla heräte
vaikkapa 3:n jakson alueelle (tai jätä jaksojen lukumäärä muuteltavaksi
parametriksi).

Vertaa ratkaisua edelliseen.





\item
Määritä tasapainotilaratkaisu ("steady state") värähtelysysteemille
 $m x'' + c x' + kx = r(t)$, missä $m=1, c=0.02, k=25$,
 ja $r(t)=\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
                                      -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi 
\end{cases},\ \ r(t+2\pi)=r(t)$ .

Tutki lisäksi, miten vasteen amplitudit käyttäytyvät, jos jousivakio pienenee
aina arvoon $k=9$ ja toisaalta, jos jousta jäykistetään arvoon $k=49$ saakka.
(Vrt. Kreyszig-ote).
