\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/numsym05}
%\usepackage{numsym05}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\usepackage{ae,aecompl}    % pdf-fontteja varten!
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\huom {{\bf Huom!}}

% dvips -f  -Ppdf -sPAPERSIZE=a4  harj1  |   ps2pdf - harj1.pdf 

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{1}{4}{25 -- 27.1.2004}

\verb_ http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/05/maple/perusteita.mws _

Yhdessä harjoittelua ohjatusti to $20.1.$ \\
Tiistainakin 25.1. voidaan jonkinverran aikaa varata kysymyksille.\\
Harjoitukset valmiiksi to 27.1. 


{\bf Viitteitä, linkkejä, aputiedostoja}
%Muokkaa/poista!


%\begin{verbatim}
% http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/fourier.html
% http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/L/fourier.mws
% http://www.math.hut.fi/teaching/numsym/02/H/harj1ohje.mws
%\end{verbatim}


Aloita käynnistämällä Maple ja tekemällä työarkille otsikko "title", joksi vaikka
Numsym, harjoitus 1, tms. sopivaa ja sen alle nimesi.\\
Tee kutakin tehtävää kohti insert-valikon "section".

Muista: uusi kehote: CTR-J tai CTR-K, missä J, niinkuin "jälkeen".

%\end{document}
\begin{enumerate}



 
\item  %1
Piirrä funktion $f(x)=2x\cos 2x -(x-2)^2$ kuvaaja välillä $[0,5]$ 
(tms. sopivaa) ja määritä
$f$:n nollakohdat (oletustarkkuudella) väleillä $[2,3]$ ja $[3,4]$ 

Päättele, onko funktiolla
muita nollakohtia vai ei. Käytä mielellään päättelysi tueksi 
piirroksia sopivilla alueilla.

Avuksi: {\tt ?plot, ?fsolve}. Tässä lienee hiukan yksinkertaisempaa
käsitellä f:ää lausekkeena, siis tyyliin {\tt > f:=2*x*cos(2*x) ... }


\item %2

(Tehtävä työarkilta "\texttt{perusteita.mws}" ) 
Tarkastellaan polynomia $p(x)=x^3-4 x^2 + 4 x -1.$ \\

(a)\quad
Muodosta derivaatta ja 
piirrä kuvaajat sopivilla väleillä. 
Käsittele polynomia ja sen derivaattaa lausekkeina.
Kokeile kuvien yhdistämistä
sekä tyyliin:
\begin{verbatim}
> p:=...;
> dp:=...;
> plot([p,dp],x=a..b,color=[red,blue]);
\end{verbatim}
että myös:
\begin{verbatim}
with(plots): 
pkuva:=plot(p,...,color=red): 
dpkuva:=plot(dp,...,color=blue): 
display(pkuva,dpkuva);
\end{verbatim}

 Määritä nollakohdat ja paikalliset minimit sekä maksimit. Piirrä funktio ja sen derivaatta.
Tarkista laskemalla funktion ja derivaatan arvot, että nollakohdat 
ovat nollakohtia/kriittisiä pisteitä (derivaatan nollakohtia).

(b) Tee sama tehtävä nyt käsittelemällä $f:$ää ja sen derivaattaa
lausekkeen sijasta funktiona. Siis tyylin
\begin{verbatim}
> f:=x->...; df:=D(f);
\end{verbatim}
Mitkä ovat eri käsittelytapojen edut ja haitat?

Avuksi:  
{\tt ?plot, ?solve,?fsolve ?diff, ?D, ?subs}\\
Derivaatta on 2. asteen polynomi, joten voit {\tt fsolve}:n sijasta
käyttää myös {\tt solve}-komentoa. 
\footnote{f-alkukirjain viittaa usein ``floating point'', eli 
liukulukulaskentaan.}

%Toisaalta {\tt solve} osaa kyllä 
%myös
%3. asteen yhtälön ratkaisukaavan, voithan sitäkin kokeilla, muista
%silloin {\tt allvalues}.


\item
Muodosta välin $\lbrack 0,2\pi\rbrack$ tasavälinen jako $n$:ään 
osaväliin jakopisteillä $x_0,x_1,\ldots,x_{n}.$ 

Muodosta jakopisteiden lista tyyliin:
\begin{verbatim}
> n:=10;               # Tätä voit vaihdella.
> h:=evalf(2*Pi/n);    # Siirrytään liukulukulaskentaan.
> X:=[seq(j*h,j=1..n)]; # Jono ympäröidään [ ]:lla -> lista  
>                      # vaihtoehtoisesti: X:=[j*h $ j=1..n]
\end{verbatim}

Määrittele funktio $f(x)=\cos(x)-1/2\cos(3 x)+1/4\sin(5 x)$. Piirrä
samaan kuvaan $f$ ja pisteet $(x_j,f(x_j)),j=0,\ldots,n.$


\item
Määrittele funktio 
f(x)=$\begin{cases} 
x^2, 0\leq x < 1 \\
e^{1-x},  x \geq 1. 
\end{cases}$

Määrittele $f$ lausekkeeksi (tai funktioksi jos haluat), piirrä
kuvaaja ja laske $\int_0^5 f(x)\,dx.$ 
Tarkista integroimalla paloittain, että \texttt{int} osaa käsitellä
{\tt piecewise}-määrittelyä oikein.

Laske liukulukulikiarvo tulokselle (ja yritä sanoa tuo sana oikein
nopeasti ! :-) ). 


Avustus: {\tt ?piecewise} 

\item
Määritellään yksikköneliössä 
$\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ funktio

$$G(x,y)=
\begin{cases}x \left( 1-y \right) , x\leq y\\ 
 y \left( 1-x \right) , y<x \end{cases} 
$$

Määrittele $G$ Maple-funktioksi. Piirrä pintakuva \texttt{plot3d}:llä.
Huvittele pyörittämällä kuvaa hiirellä.
Piirrä myös käyräparvia, joissa toinen muuttuja saa eri vakioarvoja.
Piirrä vaikka käyrät:

$G(x,1/2), G(x,1/4),G(x,3/4).$ Piirrä myös parvi, jossa tällä
kertaa $y$ saa vakioarvot $0$:sta $0.1$:n välein $1$:een.

Muodosta $x$:n funktio $x\to \int_0^1 G(x,y)\, dy.$
(Ei ole pakko tehdä Maple-funktiota, kunhan saat lausekkeen.)

Huomaat, että Maple tarjoaa suht. mutkikkaan tuloksen Heavisiden 
funktioiden avulla lausuttuna. 
Tämä aiheutuu siitä, että Maplelle ei ole kerrottu, että oletamme:
$0 \leq x \leq 1.$
Kts. alla (\texttt{assume}).


\item %6
(a)
Muodosta matriisi 
$\left[ \begin {array}{cccc} 2&-1&0&0\\\noalign{\medskip}-1&2&-1&0\\\noalign{\medskip}0&-1&2&-1\\\noalign{\medskip}0&0&-1&2\end {array}
 \right] 
$
ensin kulmasulkutyyliin ja sitten {\tt BandMatrix}:n avulla

(b)
Yleistä $n \times n$-tapaukseen. 
Kirjoita ensin työarkille "skripti" tyyliin:

\verb_n:=5: paalavistaja:=[...]; sivulavistaja:=[...];A:=BandMatrix([...]);_

Vaihtele $n:$ää. Huomaa, että voit kirjoittaa samaan soluun paljon komentoja
lopettamalla rivin SHIFT-ENTER:llä (tai jatkamalla ilman ENTER:iä).

Kun skripti toimii, kirjoita se funktioksi, eli {\tt proc}:ksi, kts. alla
olevaa ohjetta ja tarkemmin: [HAM] Luku 5 s. 113 $\to$


(c)
Laske em. matriisin ominaisarvoja eri $n:n$ arvoilla. Totea kokeellisesti
eri $n:$n arvoilla, että matriisi on positiivisesti definiitti ja sen 
spektraalisäde (suurin ominaisarvo) on korkeintaan $4$.

Avuksi: Siirry numeeriseen laskentaan komennolla {\tt evalf(A)} tai
{\tt convert(A,float)}.  (Huomaa, että nimestään huolimatta {\tt convert} 
ei muuta
$A$:ta, se palauttaa muunnetun muodon, on siis tehtävä tyyliin 
{\tt A:=convert(A,float);} jos halutaan muuttaa $A:$ta.)




%Tutustu \texttt{maple/LA.mws}-työarkkiin ja matriisien 
%perusoperaatioihin.

%Ehkä vektori-lista-konversioita, map-juttuja, Eigenvectors,...

%Ehkä BandMatrix:n avulla proc, joka palauttaa 1-ulott. Poissonin
%diskretointimatriisin. Ehkä lasketaan sen ominaisarvot ja vektorit.







\end{enumerate}



\subsection*{Maple-ohjeita}


Datapisteiden piirto:\\ \texttt{plot}$([[x_1,y_1],\ldots,[x_n,y_n]]$\texttt{,style=point,symbol=circle,symbolsize=20);}

Yllä olevan piirtodatan muodostaminen: 
\verb_[seq([x[j],y[j]],j=1..n)];_, 
missä $x$ ja $y$ ovat listoja, jonoja, vektoreita, yms; mitä tahansa,
jota indeksoidaan hakasuluilla.

Kuvien yhdistäminen:
\begin{verbatim}
> with(plots):
> kuva1:=plot(...):  kuva2:=plot(...):   # Huomaa loppumerkki:
> display(kuva1,kuva2);
\end{verbatim}

\textbf{assume}. Tällä voidaan antaa tiettyjä tyyppioletuksia:
Esim:
\begin{verbatim}
> interface(showassumed=2)  # Miellyttävämpi ulkoasu
> assume(x >=0); additionally(x<=1)   # 0 <= x <= 1
\end{verbatim}

Huom! Joskus assume-komento voi aiheuttaa outoja sivuvaikutuksia, mutta
versio versiolta tilanne on kehittynyt.

\textbf{{\tt LinearAlgebra} ja {\tt linalg}}

{\tt LinearAlgebra}
on uudempi ja syntaksiltaan mukavampi. Käytämme
yksinomaan sitä, paitsi kun tarvitsemme
 jotain {\tt linalg-}funktiota, jota ei uudessa ole. 
Useissa \maple-kirjoissa (myös [HAM]:ssa) esiintyy 
(sattuneesta syystä) vanhantyylistä matriisien käsittelyä. 
Uusi:\\ 
\verb_www.math.hut.fi/~apiola/maple/opas/LA.pdf_\\
%Yksittäistä {\tt linalg}-funktiota
%voimme kutsua tyyliin {\tt linalg[exponential]}.
Vakiolatauskomennot: {\tt with(LinearAlgebra):} 
{\tt with(plots)}): 


\textbf{Ohjelmointi ([HAM] Luku 5)}

Tehtävän 6 ohjelma voisi olla asultaan tällainen:\\
%\begin{verbatim} 
\verb_Poisson1matr:=proc(n)_\\
\verb_local paalavistaja,sivulavistaja,...;_\\
\verb_..._\\
\verb_end:_\\
%\end{verbatim}
Muista tässä SHIFT-ENTER rivien vaihdoissa.


\end{document}

\begin{enumerate}

\item
Suorita jokunen Fourier-sarjaksi kehittäminen. Alla pari esimerkkifunktiota,
voit valita yhtä hyvin jotain muuta.

Piirrä $f$:n kuvaaja muutaman jakson alueella. Muodosta $f$:n Fourier-sarja.
Selvitä, missä pisteissä sarja suppenee ja missä se ei suppene kohti kyseistä
funktion arvoa. Mitä arvoa kohti sarja näissä ``ei-pisteissä'' suppenee?
Piirrä jaksollinen laajennus ja osasummafunktioiden kuvaajia.

Tutki kokeellisesti {\em Gibbsin ilmiötä} 
(n. 9\%:n "yli/ali-ampuminen" epäjatkuvuuskohdan ympäristössä).

(Luultavasti ei kannata piirtää hirveää määrää osasummia, vaan valittuja
muutamia harvakseen, isoilla n:n arvoilla.)

Esim:

(a)
$f(t)=t, \ \ t\in (-\pi,\pi],\ \ f(t+2\pi)=f(t) .$

(b)
$f(x)=\begin{cases}
         100, \ \ -4 < x < -2 \\
         0, \ \ -2 \le x \le 4 \end{cases}$,
$f(x+8)=f(x)$.

\item
Tarkastellaan vaimennettua värähtelyä kuvaavaa yhtälöä

$my''+cy'+ky=r(t)$.

Olkoon $m=1, c=0.02, k=25$ ja $$r(t)=
\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
             -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi  \end{cases},\ \ 
r(t+2\pi)=r(t)$$ .

Määritä ``pitkän aikavälin'' (``steady state'') ratkaisu $y(t)$.
(T\"ast\"a on homogeeniosan (ja siten alkuehtojen) vaikutus vaimentunut
pois.)

Periaate: Kehitet\"a\"an $r(t)$ Fourier-sarjaksi. Etsit\"a\"an kutakin sarjan
termi\"a vastaten erityisratkaisua $y_n$ muodossa $y_n=A_n\cos nt+
B_n\sin nt$. Lineaarisuuden perusteella (jos sarjan termeitt\"ain 
derivoiminen
on sallittua) p\"a\"atell\"a\"an, ett\"a $\sum y_n$ on koko yht\"al\"on ratkaisu.

Laske ainakin 5 termi\"a ratkaisusarjasta ja piirr\"a niiden summa sek\"a 
termit erikseen. Jokin niist\"a on dominoiva, identifioi se. Piirr\"a
samaan kuvaan her\"ate $r(t)$ ja "steady state" ratkaisu v\"alill\"a 
$[0,4\pi]$.

Tutki, mitä tapahtuu, jos jousivakiolle annetaan arvo $k=9$ sekä toisaalta
jäykän jousen, vaikkapa $k=49$ tapauksessa. Entä, jos vaimennusta lisätään?


\item 
Ratkaise AA-teht\"av\"a $x''+2x=r,\ \ x(0)=x'(0)=0$,miss\"a $r(t)$ on $2\pi$-
jaksoinen neli\"oaalto: $$r(t)=\begin{cases}-1,  0 < t < \pi \\
                                   1, \pi < t < 2\pi \end{cases}.$$
Suorita ratkaisu seuraavilla kahdella eri tavalla:
\kohta{a}{Muodosta herätefunktio vaikkapa 3:n jakson alueella ja
ratkaise yhtälö Laplace-muunnoksella. Saat käyttää \maple-funktiota
{\tt dsolve(...,method=laplace);}.

      }

\kohta{b}{
Kehitä $r(t)$ Fourier-sinisarjaksi ja käytä osasummaa $S_7$ 
(eli mukana ovat termit $\sin 7t$-termiin saakka.) oikean herätteen
approksimointiin.
   }

\kohta{c}{
Vertaa molemmilla menetelmillä saamiasi tuloksia, esitä graafisesti
ja katso, miten tarkkuus paranee, kun otat korkeamman asteisia Fourier-
osasummia.
     }
\huom\/ Hyödynnä tietysti ennen mainittua {\tt PeriodicExtender} (alias
 JJ) -funktiota.



\end{enumerate}


Referenssejä:

[Kof] Ch 25 pp. 351 -- 363  \\
[HAM] s. 177 ... (kts. HAM-sivun fourier-työarkki) Ota käyttöön
jaksollinen laajennus.\\
[KRE] `` Forced oscillations ``


\end{document}






\subsection*{Fourier-kaavoja}

\subsubsection*{T-jaksoisen funktion Fourier-sarja}

\paragraph*{Reaalimuoto}

Olkoon $f$ T-jaksoinen reaalifunktio, missä $T=\frac{2\pi}{\omega}$. $f$:n
Fourier-sarjaesitys: \\
$f(t)=\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n\omega t+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin n\omega t$,
missä

$$a_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\cos n\omega t dt, \ \ n= 0, 1, 2, \ldots $$
$$b_n=\frac{2}{T}\int_d^{d+T}f(t)\sin n\omega t dt , \ \ n= 1, 2, \ldots$$

\paragraph*{Kompleksimuoto}
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega t}$, missä

$$c_n=\frac{1}{T}\int_d^{d+T}f(t)e^{-i n \omega t}dt,\  \ 
n=0,\pm 1,\pm 2 \ldots$$


\end{document}
\subsection*{Fourier-kaavoja}

\subsubsection*{Yleinen tapaus, $f$ määritelty välillä $(-L,L)$}
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}$ \rv
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\ \
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx$

\subsubsection*{Puolen jakson laajennukset,$f$ määritelty välillä $(0,L)$}

\paragraph*{Sinisarja}

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
b_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HS_1, HS_2) $$

\paragraph*{Kosinisarja}

$$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}, \ \
a_0={\frac{1}{L}}\int_0^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{2}{L}}\int_0^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx 
\qquad (HC_1 - HC_3) $$


%\end{enumerate}


\end{document}





\item
Ratkaise edellinen tehtävä Laplace-muunnoksella katkaisemalla heräte
vaikkapa 3:n jakson alueelle (tai jätä jaksojen lukumäärä muuteltavaksi
parametriksi).

Vertaa ratkaisua edelliseen.





\item
Määritä tasapainotilaratkaisu ("steady state") värähtelysysteemille
 $m x'' + c x' + kx = r(t)$, missä $m=1, c=0.02, k=25$,
 ja $r(t)=\begin{cases}t+\pi/2, \ \ -\pi<t<0,\\
                                      -t+\pi/2, \ \ 0<t <-\pi 
\end{cases},\ \ r(t+2\pi)=r(t)$ .

Tutki lisäksi, miten vasteen amplitudit käyttäytyvät, jos jousivakio pienenee
aina arvoon $k=9$ ja toisaalta, jos jousta jäykistetään arvoon $k=49$ saakka.
(Vrt. Kreyszig-ote).
