perusteita.html

Mat-1.192 Numeric and symbolic computing

Tammikuu 2004/Jan 2004

Maple-perusteita/basics, ...maple/perusteita.mws (.html)

Language will be sometimes English, sometimes Finnish for the time being. Stabilizes, when the course starts according to the participants' nationalities.

Course directory for Maple instructions and codes: www.math.hut.fi/teaching/numsym/04/maple/

Abbreviation: .../maple/

Varsinainen toiminta alkaa kohdasta 6 , lue kuitenkin ainakin 1 läpi huolella.

Maple 8/9

Luokissa versio 8, Maplesoft on julkistanut version 9, milloin saataneen. Tosin ei liene mitään dramaattista uutta.

1. Työskentelyohjeita, työarkin käsittelyn perusasiat

Muista tallettaa aika ajoin/save your work often (CTR-S) . Maple näyttää luokissa silloin tällöin kaatuvan (ainakin ennen, toivottavasti ei enää).

Talletus on joka tapauksessa syytä tehdä aina ennen jotain potentiaalisesti isoa laskentaa. Muista lyhyt: CTR-S

Tämä työarkki sisältää ohjeita ja ohjeisiin liittyviä tehtäviä, joita voi samantien

ryhtyä kokeilemaan. Voit tehdä muistiinpanoja työarkille ja tallettaa sen itsellesi.

Suositus: Selaa työarkkia jonkin matkaa, totuttele heti helpin käyttöön.

Harjoitustehtävädokumentti:

Kannattaa aloittaa INSERT-valikon SECTION-valinnalla ja napsauttaa muutama sektio heti kättelyssä arkille.

Huomaa, että työarkin voi tallettaa myös HTML-muotoon. Tosin harjoitusratkaisuja esiteltäessä Maple ws-muoto

on yleensä parempi, mutta myöhempää katselua varten taas htlm-doku on tosi hyvä juttu.

Elämänohje:

Maplen filosifiaa kannattaa opetella senverran, että työskentely käy nautittavaksi.

Goals for this exercise:

Työarkin käsittely/Handling of worksheet
Peruslaskutoimitukset ja sievennykset/Basic arithmetic and simplifications
Grafiikka/Graphics
Vapaat ja sidotut muuttujat/Free and bound variables
Lauseke vs. funktio / Expression vs. function
Matriisit ja vertailu Matlab-työskentelyyn/ Matrices and comparison to Matlab work
Perustietorakenteet, erit. jonot, joukot, listat. / Basic data types , especially sequences, sets, lists

Kannattaa harjoitella myös teknisiä asioita, kuten työarkin printtaamista ym.

Katsotaan ensin työarkkiin (worksheet) liittyviä asioita.

Uuden (laskenta)kehotteen saa hiirellä työkalunauhasta [ > ] tai CTR-J (jälkeen) tai CTR-K (ennen)
Laskentakehote->tekstitila: T ( left to the previous one )
Matemaattinen teksti ja tekstimuotojen muunnokset: Maalaa hiiren vasemmalla, klikkaa oikeaa, saat valikon.
Uusi luku: INSERT-valikko, ->SECTION
Leikkaa/liimaa: UNIX/X:ssä oikein kätevä, eli kuten aina X:ssä

- Maalataan hiiren vasemmalla
- viedään kursori haluttuun kohtaan
- liimataan keskimmäisellä
(Windows:ssa maalaus, CTR-C, vienti, CTR-V)
Ongelmia: Joskus cut/paste ei toimi Maplen ja komentoikkunan yms. välillä, joskus taas toimii.
(Eri Maple-ikkunoiden kesken toimii aina.)
Kursori voi joskus kadota kesken kaiken, ikkunan minimoiminen ja palautus voi auttaa, tai sitten ei.

Jos työarkin selaus käy hitaaksi ja usein muutenkin, kannattaa valita EDIT-valikosta remove output .
Se on kätevä myös työarkin pakkaamiseen, turha säilytellä isoja kuvia ym. kun ne on talletettuna koodiin.
Käänteinen toimenpide on EDIT-valikon edellinen valinta: execute worksheet.

Maple as a Math textprocessing system: Convenenient for student project type of work. Result is not of very high quality.

Recommendation: Use LaTeX for serious work. Maple is a convenient tool for generating LaTeX-formulas.

Also, the export->HTML makes an html-document, which is not too large, and is easy to further edit, if needed.

The formulas and figures are gif-images, Maple has also MathML-support (but I have no experience on it.)

Nätti esimerkki Maplella generoidusta ja jälkeenpäin editoimalla parannellusta html-dokusta on Virrankosken

Maple-opas.

For more details with illustrations see ... maple / gsg.pdf

Työarkin painikkeita ja käsittelyä on selostettu havainnollisin kuvin . ../maple/gsg.pdf: ssä.

Esim. paletit (insert-valikosta), smartplotit, ym. "modernit" käyttömukavuudet selitetään gsg:ssä tarkasti.

2. Viitteitä, työarkkeja, koodeja

Samat linki ovat luentosivulla.

[HAM] Apiola: Symb ja num. lask Maple-ohjelmalla, Otatieto 588

Tämä teos ilmeisine puutteineenkin lienee hyödyllinen. Perustuu versioon 5.

Täydennystä vaatii erityisesti matriisilaskentaosuus, sillä uusi LinearAlgebra-tyyli tuli vasta versioon 6.

Kirjastossa useita, jos haluat omaksi, saat minulta alennushintaan (10 e).

Kurssin Maple-hakemisto : www.math.hut.fi/teaching/numsym/04/maple/

gsg.pdf, lrnguide.pdf, prguide.pdf (Getting Started, Learning, Programming, Maple 7)

Näitä on myös laitoskirjastossa manuaalihyllyssä ainakin kahdet kappaleet.

[VIR] Virrankoski: http://www.matta... <----- Simon Matta-referenssi
[PIKA] Apiola-Peltola: Maple-pikaopas http://www.math.hut.fi/teaching/k3/maple-pikaopas.html
[SOL] Solmun Maple-kirjoitus http://www.math.helsinki.fi/Solmu/solmu12/apiola
[HECK] Heck: An Introductio to Maple (Springer), täydellisin ja kattavin Maple-kirja
[ISR] Israel: Calculus with Maple (pari ylim. kappaletta kirjastossa)
Israel: Maple advisor database (kts. linkki luentosivulla)
[Coomb] Coombes-Hunt-Lipsman-Osborn-Stuck: Diff. Equations with Maple (ainakin 1 kirjastossa)
Kurssia varten kirjoitettuja/tettavia Maple-työarkkeja, kuten LA, ominaisarvot, lindys, fourier, numint, ... maple/numsym04.mpl

3. Opiskelusuositus

Käy samalla läpi [HAM]-kirjan ss. 13 - 51 (Alkutoimenpiteet)

4. Työarkin (worksheet) lataaminen

Kun lataat työarkin FILE-valikon OPEN-valinnalla, saat käyttöösi visuaalisen esityksen Maple-työstä.
Työarkilla olevat komennot suorittuvat vasta, kun siirryt punaiseen INPUT-soluun ja painat ENTER: iä.

Koko työarkin kaikki komennot saat suoritetuksi Edit valikon valinnalla " execute worksheet ", kuten edellä todettiin.

Jos haluat jatkaa kokeiluja tällä kohdalla, tee lisää kehotteita joko klikkaamalla kohtaa >

tai CTR-J (jos jälkeen) (CTR-K (ennen))

> 247*3756;

5. Laskentoa numeroilla

> restart:

Laskuoperaatiot ovat "normaalit" +-*/^ , kertomerkkiä ei saa jättää pois (kuten Mathematicassa)

Kokeile jotain, voit myös sijoittaa muuttujiin tyyliin:

> oso:=123; nimi:=-456; luku:=oso/nimi;

Maple vaatii loppumerkin, joko ; tai : Kokeile, jos et jo tiedä.

Lue lisää:

[PIKA] s 1.3 s. 6
[SOL] s. 8
[HAM] s. 21

6. Laskentoa symboleilla ja numeroilla

Pohdiskelua

Lue

[SOL] s 15-16 Symbolien hallintaa ja periaatteita
[HAM] s. 70 - 71 (korjaus: http://www.math.hut.fi/~apiola/maple/opas/eval.html )

(see Heck Ch 3 Variables and names p. 65 -..

The secret behind success of CA : free (unbound) variables . )

On hyvä totutella laittamaan restart työarkin alkuun (ja muihinkin hengähdyspaikkoihin)

Painele nyt ENTER:iä ja palaa ohjeen mukaan takaisin.

> restart:

> lauseke:=(a+b)^2; # Muuttujat a ja b ovat "vapaat"

> lauseke:=expand(%);

> a:=x^2 :b:=exp(c*z):

> lauseke;

> x:=1:

> lauseke;

Tämä on ensimmäinen merkittävä havainto: Kun x muuttuu, niin lauseke muuttuu, koska yllä olevassa sijoituslauseessa muuttujat a ja b olivat vapaat.

>

Warning, premature end of input

Jos haluat vapauttaa vain joitakin valittuja muuttujia, niin:

Muuttujien vapauttaminen arvostaan:

Joko a:='a'; tai unassign('a'):

> a:='a': # Vapautetaan a

> lauseke;

> b:='b': lauseke;

Tässä on ensimmäinen ja tärkeä syy symbolilaskennan onnistumiselle.

Vakiot Pi ja I

> Pi,I;

> evalf(Pi);

> evalf(Pi,30);

> 2/3+4/5;evalf(%);

> evalf(pi);

Huomaa tämä : Maple osaa vain "tekstinkäsitellä" pi :tä, laskentaan tarvitaan Pi

Tässä tulee usein virheitä alkavalle Maple-urheilijalle.

Virhetilanteista yleensä:
[HAM] Liite A s. 191 -198, -problematiikka s. 192
[PIKA] Lopussa lyhyt lista (jossa myös samainen )

Kompleksilukuja, imag. yksikkö I

Kompleksisievennys , erityisesti

>

Warning, premature end of input

> (1+2*I)/(2-3*I); # Numeerinen kompleksiluku muuntuu automaattisesti muotoon x+I*y .

Jos kompleksiluku annetaan symbolisessa muodossa, Maple olettaa a :n ja b :n reaalisiksi esityksessä a+I*b .

Error, missing operator or `;`

> z1:=a1+I*a2;z2:=a2+I*b2;

> z1/z2;

Komento evalc on varsin tehokas, kannattaa muistaa kompleksisievennyksissä.

>

Warning, premature end of input

> evalc(%);

> abs ja argument:

Error, missing operator or `;`

> z:=((1+2*I)/(3-4*I));

> r:=abs(z);

> phi:=argument(z);

> r*exp(I*phi);evalc(%);

evalc did a good job again.

Example: complex roots

> restart:

> w:=exp(I*2*k*Pi/n);

> with(plots): # load the plots-package

Warning, the name changecoords has been redefined

> setoptions(scaling=constrained,axes=framed): # Sama skaala akseleilla

> n:=5: ykkosen5juuret:=seq(w,k=0..n-1);

> rinkulat:=complexplot([ykkosen5juuret],style=point,symbol=circle,symbolsize=15):

> yksikkoymp:=complexplot(exp(I*Pi*t),t=0..2*Pi,color=blue):

Grafiikat saadaan samaan kuvaan funktiolla display (joka asustaa plots -pakkauksessa), kts alempana.

> display(rinkulat,yksikkoymp);

Huom: complexplot tuli vasta versiossa 7, siksi [HAM]:ssa esitettävät pikku konversiotemput eivät ole enää tarpeen kompleksipiirron yhteydessä.

>

Warning, premature end of input

Vrt: Matlab:

>> n=5;

>> K=0:n-1;
>> w=exp(2*K*i*pi/n);
>> plot(w,'or')
>> hold on
>> t=linspace(0,2*pi); plot(exp(i*t),'b')
>> axis equal

7. Komentojen "hidastusmuodot" alkavat isolla kirjaimella.

(Itse luettavaksi.)

Usein on hyvä estää lopullinen evaluointi ainakin aluksi. Joillakin funktioilla on iso-kirjainalkuinen "inert form".

Yleensä etuhipsukoita ' ' voi myös käyttää evaluoinnin estoon.

> Int(x*sin(x),x); # hidastusmuoto (inert form), alkaa isolla I:llä

> int(x*sin(x),x);

> Int(x*sin(x),x);

> value(%);

Aika kätevä tyyli (ala Heck): (Näet heti, ymmärsikö Maple sinut oikein.)

> Int(x*sin(x),x); value(%);

Hidastusmuoto estää evaluoinnin , se tarjoaa kätevän tavan kirjoittaa matemaattisia kaavoja käyttämällä Maplen yhtälörakennetta.

> Int(x*sin(x),x)=int(x*sin(x),x);

> Int(x*sin(x),x): %=value(%); # Kirjoitustyötä säästävä (Heck-)tyyli.

Evaluointi voidaan estää myös 'hipsukoilla' , vrt [SOL] s. 9 rivi 1 ja s. 15. Tähänpä tuo edellä ollut muuttujan vapauttaminen arvostaankin perustuu.

> 'int(x*sin(x),x)'=int(x*sin(x),x);
'diff(x*sin(x),x)'=diff(x*sin(x),x);

Otetaan vielä sin:n ja cos:n yhteenlaskukaavat (vaikkeivät liitykään hidastusmuotoon, mutta kylläkin tuohon yo. tyyliin. )

> sin(alpha+beta): %=expand(%);
cos(alpha+beta): %=expand(%);

8. Defining Variables and Functions

Tämä on tärkeä asia ymmärtää kunnolla.
[SOLmu] s. 17 Ohjelmointi
[HAM] 2.4 Matemaattiset funktiot s. 60 - 63

Israel: Advisor database ..maple/advisor/fundef.mws

Pohdiskelua

Matemaattisen funktion käsittely Maple-lausekkeena

> f := x^2;

Määrittelemme muuttujan f, jota käytämme matemaattisen funktion tavoin. Maplen kannalta f on muuttuja , jonka arvoksi olemme sijoittaneet lausekkeen x^2 .

Jos haluamme laskea lausekkeen arvon eri x:n arvoilla, joudumme käyttämään subs-komentoa.

>

Warning, premature end of input

> subs(x=5,f);

> eval(f,x=5); # Näinkin voidaan, tätä tapaa käytetty gsg:ssä.

Jos haluat seurata lauseke/funktio-juonta, hyppää tässä kohdassa seq -kometojen yli.

>

Warning, premature end of input

> seq(subs(x=k, f),k=0..10);

> a:=-4: b:=4: N:=10: h:=(b-a)/N: arvojono:=seq(subs(x=a+k*h, f),k=0..N);

> evalf(arvojono);

VAROITUS: Kun matemaattista funktiota käsitellään lausekkeena, on oltava johdonmukainen. Siitä ei saa välillä käyttää merkintää f(x), tietenkään!

Kokeile vaikka:

> f(x); f(5);

Matemaattisen funktion käsittely Maple-funktiona:

> f := x -> x^2;

> f(x),f(y),f(5);

unapply on toinen funktion määrittelytapa.

> g := x^3;

> g(5); # Tämä on tuhoon tuomittu.

Huomaamme nyt, että olis ollut mukavampi käsitellä funktiona. No sehän käy:

> g := unapply(g, x);

> g(5);

What is the difference unapply vs -> ?

Nuolimäärittely evaluoi (vasta) suoritusaikana.
unapply evaluoi (jo) määrittelyaikana.

> a:=x^2: f:=x->a;g:=unapply(a,x);

> f(3);

> g(3);

> a:=Pi;

> f(3);

> g(3);

Tässä tilanteessa siis nuolimääritys -> toimi "omituisesti", kun taas unapply toimi "odotetusti".

Siniset määritysrivit yllä kertovat kyllä asian hyvin, niitä kannattaa seurailla.

Error, `->` unexpected

Jatketaan tästä (harj0):

Varoitus: Hengenvaarallista: Älä koskaan määrittele funktiota tyyliin F(x):=lauseke;

Tällöin tulee määritellyksi funktion F arvo yhdessä pisteessä x, muilla symboleilla funktio f on määrittelemätön.

Poikkeus : Funktion määrittelyä täydentävien poikkeusarvojen määrittelyssä tämä on hyödyllistä, esimerkki otetaan kohta.)

Palataan nyt vielä tuohon hengenvaaraan:

> restart:

> F(x):=x^3; # kokeillaan kiellettyä leikkiä.

Tuo on syntaksiltaan oikein, mutta hyvin hämäävää.

Mitä on F(x)

> F(x);

Näyttää, kuin toimisi oikein. Vaan eipas toimi muilla kuin x:llä.

> F(x),F(3),F(a),F(sin(z));

Toisin sanoen funktio on määritelty vain, kun argumenttina on symboli x .

>

Warning, premature end of input

Esimerkki: Funktion määrittelyn täydentäminen poikkeusarvoilla .

Haluamme määritellä funktion, jota joskus kutsutaan nimellä sinc, olkoon tässä vain F

> F:=x->sin(x)/x;

> F(0);

Error, (in F) numeric exception: division by zero

Yleinen sääntö ei määrittele F-funktiota 0:ssa, koska siinä tulee 0:lla jako.

Annamme siksi funktiolle 0:ssa sopivan arvon suoralla asetuksella:

> F(0):=1;

> F(a),F(1/2),F(0),F(sin(x));

> seq(F(x),x=-2..2);evalf(%);

Remember: evalf means: eval uate f loating point.

>

Warning, premature end of input

Lue lisää:
[HAM] ss. 62-63

Jatketaan aihetta: Newtonin menetelmän valossa .

(Voi olla hyvä lukea ensin derivaatoista, vaikka Virrankosken oppaasta tai HAM:sta, ehkä kannattaa tehdä ensin alla oleva pikku tehtävä.)

Olkoonpa ratkaistavana yhtälö .

Määritellään funktio:

>

Warning, premature end of input

> restart:

> f:=x->1+sin(2*x)-x;

> N1:=x->x-f(x)/diff(f(x),x);

> N1(x);

Ihan hyvä, mutta tässä tyylissä tehdään paljon työtä, jokaisella kutsulla muodostetaan ensin f-funktion symbolinen

derivaatta. Huomattavasti ekonomisempaa on tehdä symboliset operaatiot vain kerran, määrittelyaikana:

> N:=evalf@unapply(x-f(x)/diff(f(x),x),x);

> N(t);

> x[0]:=2:

> for j from 1 to 5 do
x[j]:=N(x[j-1]):
end do:

> seq(eval(x[j]),j=0..5);

Jos haluaisimme määritellä yleisen "kirjastofunktion" Newt , voisimme tehdä funktion, joka ottaa syötteeksi funktion f ja palauttaa tulokseksi iterointifunktion Newt:

> restart:

> Newt:=f->evalf@unapply(x-f(x)/diff(f(x),x),x);

> Newt(f);

Esim . , eli funktion nollakohta.

> f:=x->x^2-2;

> F:=Newt(f);

Voimme iteroida ilman for-do-rakennetta @@-operaattorilla:

> (F@@5)(10);

Iterointioperaattori @@ (kts. [HAM] s. 64)

> (F@F@F@F@F)(10.); # Sama asia pitemmin.

Lue iterointia koskevia varoituksen sanoja s. 66 [HAM].

Harjoitustehtävä

Määrittele polynomifunktio .

Määritä nollakohdat ja paikalliset minimit sekä maksimit. Piirrä funktio ja sen derivaatta.

Tarkista laskemalla funktion arvot, että nollakohdat ovat nollakohtia.

Käsittele polynomia ensin lausekkeena ja sitten funktiona. Mitkä ovat kunkin tavan hyvät/huonot puolet.

Derivaattalauseke -- diff

Derivaattafunktio -- D (Käyttele helppiä )

?plot, ?solve,?fsolve ?diff, ?D

Tämäntyyppisten tehtävien, niin yksinkertaisia matemaattisesti kuin ovatkin, sujuva hallinta tekee Maple-työskentelystä nautittavaa puuhaa ja auttaa pitkälle.

9. Sievennystä ja yhtälön ratkaisua

Pohdiskelua
simplify - yleissieventäjä, ensimmäiseksi tarjoiltava.

expand - kertoo auki

collect - kokoaa

? collect ja kokeile joitakin esimerkkejä. Varsin hyvä komento monessa paikassa.

factor - Jakaa tekijöihin.
convert - ... Monenmoisiin konversioihin sievennyksessä esim convert(lauseke,parfrac,muuttuja);

Huomaa, että lauseke ei muutu, uusi tulos palautetaan. Jos halutaan päivittää lauseke, on komennetava

lauseke:=convert(lauseke,parfrac,muuttuja);

solve - ratkaisee yhtäön tai systeemin

fsolve - ratkaisee numeerisesti

> (x^3+1)/(x^2-x+1);simplify(%);

> expand((x^2-4)*(x+1)*(x-2)*(x^2+x+1));

> factor(%);

Yhtälöistä

[SOL] s. 11-12
[HAM] s. Luku 6 s. 133 - 142

> yhtalot:={2*x-5*y=12, 12*x+4*y=17}; # Kyseessä on joukko

> ratk:= solve(yhtalot, {x,y});

Maple ei sijoita ratkaisuja muuttujille arvoiksi, vaan palauttaa sijoitussäännöt. Ne voidaan antaa suoraan

> subs -komennolle. Mieti seuraavan komentojonon logiikkaa!

>

Warning, premature end of input

> subs(ratk,x),subs(ratk,y);

> X:=subs(ratk,x); Y:=subs(ratk,y);

Tarkistaminen käy vaivattomasti:

> subs(ratk,yhtalot);

>

Voidaan myös käyttää lhs (left hand side) ja rhs (right hand side)-tapaa, mutta se on hiukan vähemmän elegantti ja myös altis Maplen harrastamalle järjestyksen vaihtumiselle ratkaisujoukossa. Niinpä tätä tyyliä ei voida ajaa automaattisesti, vaan tuloksiin on puututtava interaktiivisesti, mikä voi olla kiusallista, jos on "vakavahenkisestä" dokumentista kyse. Joka tapauksessa tämäkin tyyli kannattaa omaksua.

Error, missing operator or `;`

> rhs(ratk[1]);lhs(ratk[1]);

> lhs(ratk[2])=rhs(ratk[2]);

Ratkaisun sijoittaminen muuttujan arvoksi

Tässä nyt on toisin sanoin selitetty samaa, pyyhi omasta dokustasi pois tai järjestä paremmin.

Tietysti näin:

> X:=rhs(ratk[1]);Y:=rhs(ratk[2]);

Turvallisempi ja elegantimpi tapa (jota edellä mainostettiin):

Suorita ratk-yhtälöiden ilmaisemat korvaamiset lausekkeessa (pelkkä) x ja
suorita ratk-yhtälöiden ilmaisemat korvaamiset lausekkeessa (pelkkä) y .

Edellisessä y-yhtälö jää vaille käyttöä (kun pelkkä x ei sisällä y:tä) ja jälkimmäisella vastaavasta syystä x-yhtälö. ratk -joukon järjestys ei näyttele mitään osaa.

>

Warning, premature end of input

> X:=subs(ratk,x);Y:=subs(ratk,y);

Tehokkain, mutta turvattomin tapa, joskus kylläkin tosi kätevä: assign(ratk);

> assign(ratk);

> x;y;yhtalot;

> solve(yhtalot,{x,y}); # assign-komennon jälkeen x ja y eivät ole #vapaita muuttujia, josta syystä solve menee virheeseen.

assign(ratk); toimii ikäänkuin ratk-yhtälöissä yhtälömerkki (=) vaihdettaisiin sijoitusmerkkin (:=)

Yhtälöiden toteutuminen saadaan hyvin kätevästi tarkistetuksi kirjoittamalla vain yhtalot;

Sensijaan yhtälöiden ratkaisua ei voida toistaa, ennekuin muuttujat x ja y on vapautettu arvoistaan.

> x:='x':y:='y':solve(yhtalot,{x,y});

Joukot { }, jonot, listat [ ]

Tässä vähän University of North Carolinan sivulta poimittua tekstiä:

Observe that we have now employed three different kinds of grouping symbols: "()","{}", and "[]". They are used for different purposes, and Maple requires that they be used correctly. The standard parentheses "()" are used with functions as in factor(x^2-1) and sin(Pi) . The braces " {} " are used to group a set as in {x,y} . The square brackets " [] " are used to pick a coordinate from a group as in sol[2] . We will see other uses for these symbols.
Hakasulut ovat myös listasulut. Tärkeimmät tietorakenteet:

Jono , esim:
> jono:=a,b,c;
Lista, esim: > lista:=[a,b,c];
> op(lista); # Listan operandi on sisältönä oleva jono
Joukko , esim: > joukko:={a,b,c};

> op(joukko); # Vastaavasti joukon operandi

Huom : Listan järjestys on käyttäjän hallinnassa, joukon ei.
Joukon hyöty on ainakin se, että Maple osaa poistaa toistot ja joukko-operaatiot toimivat.

map - funktion soveltaminen listan (tai muun rakenteen) jokaiseen alkioon (osaan)

Error, missing operator or `;`

> lista:=[a,b,c];map(f,lista);

> jono:=a,b,c;lista:=[a,b,c];op(lista);joukko:={a,b,c}; op(joukko);

> map(f,jono);f(jono);

Huomaa, että jono ei ole samanlainen "paketti" kuin lista tai joukko. map-esimerkki osoittaa, että voidaksemme soveltaa tällaista operaatiota jonoon, se on ensin ympäröitävä listasuluilla [] ja lopuksi riisuttava sulut pois tuloksesta op -komennolla:

> op(map(f,[jono]));

10. Piirtoa

[SOL] ss. 10 - 11

[HAM] Luku 3 ss. 89 - 100

Tavallinen käyrien piirto

Käyräparven voi sulkea joko joukkosulkuihin { } tai listasulkuihin [ ] .
Jälkimmäinen lienee suositeltavaa, koska järjestys on silloin käyttäjän hallinnassa (esim jos halutaan värit hallitusti, tms).

> plot([sin(x),cos(x)],x=0..4*Pi);

Ota hiiren vasemmalla kiinni kuvasta, saat kehyksen ja uudet valikot.

Valitse sama mittakaava akseleilla (1:1)

Jos grafiikka alkaa hidastaa työarkin selausta, kannattaa valita EDIT-valikon alimmasta,
Remove output. Sitä kannattaa käyttää muutenkin silloin tällöin. Työarkki tiivistyy (ja nopeutuu) kummasti. Outputit saa takaisin saman EDIT-valikon toiseksi alimmaisesta execute worksheet
Huomaa: Pi on Iso P, pieni i . (pi kirjoittuu oikean näköisesti, mutta Maple ei tunnista sitä
muuksi kuin kreikkalaiseksi kirjaimeksi. ) [No johan tuosta huomauteltiin.]

Parametrimuotoinen piirto

Syntaksi poikkeaa aika vähän, tämä täytyy vain oppia (tai katsoa aina uudelleen helpistä).

Aina ei ole hauskaa joutua valitsemaan hirellä, samaskaalaiisuus (ja monia muita) voidaan antaa plot-komennon tarkentimena.

> plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained);

Pisteet voidaan yhtä hyvin ajatella kompleksitason pisteinä. complexplot osaa käsitellä suoraan reaalimuuttujan kompleksiarvoista funktiota. Tässä on sekin mukava piirre, että syntaksi on luonnollisempi ja siten helpompi muistaa kuin tuossa parametrimuotoisessa R^2-piirrossa.

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> complexplot(cos(t)+I*sin(t),t=0..2*Pi,scaling=constrained,color=blue);

Edellinen voidaan ilmaista lyhyemmin eksponenttifunktion (Eulerin kaavan) avulla. Piirretään vaihteeksi pelkät pisteet.

> complexplot(exp(I*t),t=0..2*Pi,scaling=constrained,color=cyan,style=point);

Taulukoidun datan piirto ("listaplotti")

Sometimes we will be interested in functions defined in terms of a discrete
table of values rather than a formula. For example, consider the following table of
temperatures recorded at various times on a spring day in Raleigh.

   Time: | 6:00 a.m. | 10:00 a.m. | 12:00 p.m. | 4:00 p.m. | 5:00 p.m.
  ----------------------------------------------
   Temp: |   45 deg. |    57 deg.       |   65 deg.      |   67 deg.    |   66 deg.

                       Table of Temperatures on a Spring Day in Degrees Fahrenheit

To plot this data you must first define the points as a list. Since the time is recorded in a cyclic fashion, we will plot the times in the so-called "military style", i.e. 6:00 a.m. is 0600 and 6:00 p.m. is 1800.

> ListOfPoints := [[600,45], [1000,57], [1200,65], [1600,67], [1700,66]];

The plot command allows you to plot a list of points and to connect them with straight lines (unless you choose another option). This is illustrated in the next command. Notice also the option which produces a title on the plot.

> plot(ListOfPoints, title="Temperatures at Various Times");

While the data can be plotted in this way, because the data is given for a discrete set of points you may prefer the style=POINT option as illustrated in the next command. Note also the effect of the symbol=CIRCLE option.

> plot(ListOfPoints, style=POINT, symbol=CIRCLE,symbolsize=15, title=`Temperatures at Various Times`);

>

Exercise

1. Plot the graph of over the interval [ ] .

2. Make a plot of the points in the following table:

      X: |    -1     |     0     |     1         |     2          |     3
     -------------------------------------------
      Y: |   2.72    |     1     |   0.368   |   0.135   |   0.0498

Make two plots, one with the points connected and the other with only the data points.

Miten saadaan kätevästi koordinaattiparien lista [[x1,y1],[x2,t2],...] ?

Olkoon annettu numeeriset listat (Matlabissa sanoisimme vektorit) X ja Y. Matlabin plot toimii tyyliin plot(x,y);

Maplessa täytyy muodostaa parien lista vaikkapa tähän tapaan:

> a:=-Pi:b:=Pi:N:=20:h:=(b-a)/N:x:=seq(evalf(a+i*h),i=0..N);

Olkoot y-arvot vaikkapa sin-funktion arvoja x-pisteissä. Parijono saataisiin nyt näin:

> xy:=[seq([x[i],sin(x[i])],i=1..N+1)];

> plot(xy);plot(xy,style=point,symbol=circle);

Huom: plots -pakkauksessa on listplot ja pointplot . Maplelle luonteenomaista on, että siinä on joukko redundantteja funktioita. Mielestäni on parempi oppia käyttämään harvempaa ydinfunktiojoukkoa kuin omaksua monenlaisia synonyymejä. Niissä voi toki olla joitakin uusia mahdollisuuksia, mutta esim. näissä ei välttämättä ole (kuka noita kaikkia tuhansia ehtii penkoa).

Taulukointi

Tässä teimme itse asiassa taulukon, joka on havainnollisempi usein matriisina.

> txy:matrix(xy):linalg[transpose](xy):

Tilan säästämiseksi otetaan vähemmän dataa esimerkkiimme. Jätetäänpä myös evalf pois.

> a:=-Pi:b:=Pi:N:=8:h:=(b-a)/N:x:=seq(a+i*h,i=0..N);
xy:=[seq([x[i],sin(x[i])],i=1..N+1)];
matrix(xy);

> linalg[transpose](xy);

> array(xy); # Taas synonyymi, mutta tiettyjä erojakin yleisyydessa / matriisilaskukyvyissä.

Grafiikoiden yhdistäminen, plots[display] ja textplot

Tässä tarvitaan lisägrafiikkapakkaus plots

> restart:with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

Selvitä itsellesi, mitä seuraavassa tehdään. Mieti tarkkaan, miksi jossain pitää antaa plot:lle argumentiksi

f(x) ja miksi taas jossain esim. tang. Voit sitten huvitella vaihtelemalla funktion määritelmää

ja / tai pistettä x0. Kirjoitetaan pieni malliskripti, jonkalaisia voit tehdä moninaisissa yhteyksissä.

> x0:=1: f:=x->x^3: # Vaihtuva syöte

> df:=diff(f(x),x): kk:=subs(x=1,df);

> x0:=1: tang:=f(x0)+kk*(x-x0);

> fkuva:=plot(f(x),x=0..2,color=red): tangkuva:=plot(tang,x=0..2,color=blue): p0kuva:=plot([[x0,f(x0)]],style=point,symbol=circle,symbolsize=15,color=black):

> display([fkuva,tangkuva,p0kuva]);

>

Kokeile (mutta vain kerran elämässäsi, silloinkin syvästi katuen, että olit yllytyshullu),

mitä tapahtuu, kun vaihdat (:) -> (;) vaikkapa fkuva:=; . .. yllä. PLOT-tietorakenne paljastuu.

- No, mene edit-valikkoon ja -> remove output, kyllä se siitä.

Sometimes it will be desirable to print text on a plot. The plots procedure textplot will allow this. The following commands will serve as examples of the textplo t and display routines. Make sure you notice where colons and semicolons are used in these commands.

In the next commands it is important to use colons to punctuate the first two statements. Otherwise Maple will ouput an entire page of text describing the plot structure rather than the graph. The textplot in the second command causes the text x=0.6356,y=0.5000 to be printed at the point (.6356,.5000). The statement align=RIGHT aligns this text to the right of the point.

> f := x -> exp(-x)*sin(3*x);
plot1 := plot(f, 0..3):# tai plot1:=plot(f(x),x=0..3):
plot2 := plots[textplot]([0.6356, 0.5000, "x=.6356, y=.5000"], align=RIGHT):
plots[display]({plot1, plot2});

Huom:

plots-pakkauksen (kuten muidenkin pakkausten) funktioita voidaan käyttää myös lataamatta

koko pakkausta, tällöin pakkauksen nimeä ikäänkuin indeksoidaan ao. funktion nimellä

tyyliin plots[display]

>

3d-grafiikkaa, animaatiot

Otetaan lämmönjohtumisesimerkki, jossa valaistaan

3d-pinnan piirtoa
Animaatiota
3d-kuvan projektiokäyräparven piirtoa

Tarkastellaan sivuiltaan lämpöeristettyä sauvaa, jonka päät upotetaan hetkellä t=0 jäävesisäiliöihin (0 astetta) ja jonka
alkulämpötilajakauma on

> f:=x->100*sin(Pi*x/80);

Huomaa funktiomääritys .

Olkoon sauvan pituus L=80.

Tässä tapauksessa lämpöyhtälön ratkaisuna olevasta Fourier-sarjasta tulee vain yksi termi. Ratkaisu on (sopivalla lämmönjohtumiskertoimella)

> u:=(x,t)->100*sin((Pi*x)/80)*exp(-0.001785*t);