Grundbegrepp och -beteckningar [-]
En mängd är ''en samling element'' och beteckningen \[x\in A\]
(eller $A\ni x$) säger att \(x\) hör till mängden
\(A\) dvs. \(x\) är ett element
i mängden \(A\). På motsvarande sätt skriver vi \(x\notin A\)
då \(x\) inte hör till mängden \(A\) dvs. då \(x\) inte är ett element
i mängden \(A\).
Tex. $\{2,0,1,6\}$ är mängden till vilken hör talen $2$,
$0$, $1$ och $6$ men ordningen har ingen betydelse eftersom
mängderna $A$ och $B$ är desamma om de innehåller exakt samma
element dvs. om för alla $x$ gäller $x\in A$ om och endast om
$x\in B$. Det här betyder att $\{2,0,1,6\}=\{0,1,2,6\}$ men också
att $\{2,0,1,6\}=\{0,0,1,1,1,2,6,6\}$ eftersom ett element
antingen hör till en mängd eller inte hör till den men det kan
inte höra två gånger till mängden.
Om många element hör till mängden kan vi skriva tex.
\(A=\{1,2,3,\ldots, 2017\}\) eller
\(B=\{2,4,6,\ldots\}\) om vi tror att det är klart vad
''\(\ldots\)'' betyder. Ett bättre sätt är ändå att skriva
mängderna i formen \[ A=\{x\in B\mid P(x)\}\] där \(B\) är någon
känd mängd och \(P(x)\) är något uttryck som antingen är sant
eller falskt då \(x\in B\) så att mängden \(A\) alltså består av
de element $x$ i \(B\) för vilka villkoret \(P(x)\) är uppfyllt.
Tex. [+]
mängden $\set{x\in \R \mid x^2 <9}$ är samma mängd som
$\set{x\in \R\mid -3< x< 3}$ dvs. det öppna intervallet $]-3,3[$.
Definitioner [-]
- Tomma mängden: $\emptyset=\{\}$ är mängden till vilken det
inte hör ett enda element, dvs. $x\in
\emptyset$ är alltid falskt.
- Union: $x\in A\cup B$ om och endast om
$x\in A$ eller $x\in B$.
[+]
Exempel:
$\{a,b,c\}\cup \{d,e,a\}= \{a,b,c,d,e\}$
|
Mängden $A$
Mängden $B$
Mängden $A\cup B$
|
- Union mera allmänt:
$x\in \cup_{j=1}^n A_j$ om och endast om $x\in A_j$
för något $j=1,2,\ldots, n$.
[+]
Ännu mera allmänt: $x\in \cup_{j\in J} A_j$ om och
endast om $x\in A_j$ för något $j\in J$ och
$x\in \cup_{j=1}^\infty A_j$
om och endast om $x\in A_j$ för något $j=1,2,3,\ldots$,
men någon mängd $A_\infty$ förekommer inte i detta fall.
- Snitt: $x\in A\cap B$ om och endast om
$x\in A$ och $x\in B$.
[+]
Exempel: $\{a,b,c\}\cap \{d,e,a\}= \{a\}$
|
Mängden $A$
Mängden $B$
Mängden $A\cap B$
|
- Snitt mera allmänt: $x\in \cap_{j=1}^n A_j$ om och endast
om $x\in A_j$ för alla $j=1,2,\ldots,n$.
[+]
Ännu mera allmänt: $x\in \cap_{j\in J} A_j$ om och endast
om $x\in A_j$ för alla $j\in J$ och $x\in \cap_{j=1}^\infty A_j$
om och endast om $x\in A_j$ för alla $j=1,2,3,\ldots$,
men någon mängd $A_\infty$ förekommer inte i detta fall.
- Differens: $x\in A\setminus B$ om och endast om
$x\in A$ och $x\notin B$
[+]
Exempel: $\{a,b,c\}\setminus \{d,e,a\}= \{b,c\}$
|
Mängden $A$
Mängden $B$
Mängden $A\setminus B$
|
- Delmängd: $A \subseteq B$ om och endast om varje element i
$A$ också är ett element i $B$.
[+]
Exempel: $\{b,c\}\subseteq \{a,b,c,d\}$
|
Mängden $A$
Mängden $B$
I det här fallet gäller $A\subseteq B$
|
- $A=B$ om och endast om $A\subseteq B$ och $B\subseteq A$,
dvs. samma element hör till båda mängderna.
- Potensmängd: $\mathcal P(A)$ är mängden som består av alla
delmängder av mängden $A$.
- $\N_0=\{0,1,2,3,\ldots \}$ är mängden av naturliga tal
(inklusive $0$).
- Med beteckningen $\N$ avses antingen mängden $\N_0$
eller mängden $\N_+=\{1,2,3,\ldots\} = \N_0\setminus \{0\}$.
- $\Z=\{ \ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ är mängden av alla
heltal.
- $\Q= \set{\frac pq\mid p,q\in \Z,\, q\neq 0}$ är mängden
av alla rationella tal.
- $\R$ är mängden av alla reella tal.
Obs! [+]
- I en union eller ett snitt har mängdernas ordning (naturligtvis)
ingen betydelse men observera att tex.
$A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)$ och
$A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap (A\cup C)$.
- $\{\emptyset\}$ är inte samma mängd som $\emptyset$ eftersom
$\emptyset\in \{\emptyset\}$ men $\emptyset\notin \emptyset$ (och
båda dessa påståenden följer direkt av definitionerna).
- Begreppet "delmängd" ($\subseteq$) är inte detsamma som
begreppet "element" ($\in$) men det hindrar inte att tex. både
$\emptyset \subseteq \{\emptyset\}$ och $\emptyset \in
\{\emptyset\}$ gäller, (och det förra för att $\emptyset \subseteq
A$ alltid gäller).
- Ofta används symbolen $\subset$ i stället för symbolen $\subseteq$:n
och då kan man skriva $A\subsetneq B$ när $A\subseteq B$
men $A\neq B$ så analogin med symbolerna $\leq$ och $<$
är inte fullständig.
- Ofta skrivs mängden $\set {x\in B\mid P(x)}$ som
beteckningen $\set{x\in B\,|\, P(x)}$ men den här beteckningen
kan leda till förvirring då man i sannolikhetslära behandlar
betingade sannolikheter.
- Definitionerna ovan är (förhoppningsvis) ganska klara och
rediga men de säger ingenting om varför det kan vara värt att ta
dem i bruk. Svaret på den här frågan får man först då man råkar
ut för besvärliga frågor och problem även om det inte skadar att
använda sig av de här beteckningarna också i enklare fall.
Russells paradox [+]
En mängd är en samling element men
varje "samling" är inte nödvändigtvis en mängd. Ett klassiskt exempel
är den sk. Russells paradox:
\begin{equation*} A= \set{x \mid x\notin x}. \end{equation*}
Ifall $A\in A$ så gäller inte $x\notin x$ då $x$ är $A$ och enligt
definitionen av $A$ betyder detta att $A\notin A$ och vi har en
motsägelse. Om å andra sidan $A\notin A$ så gäller villkoret $x\notin
x$ då $x$ är $A$ så att $A\in A$ och resultatet är igen en motsägelse.
Motsvarande problem uppstår om vi säger "den här satsen är
inte sann" eller om vi talar om "barberaren som klipper håret på
alla som inte själva klipper sitt hår".
Russells paradox visar att den sk. naiva mängdläran som
presenterats ovan inte kan ge svar på frågan vilka samlingar som
verkligen är mängder och för detta behovs sk. axiomatisk
mängdlära.
Det finns också situationer då man med formeln
$A=\set {x\in B \mid \text{något villkor}}$ inte får en mängd,
tex. om $A=\set{x\in \R\mid x\in A}$, men här är problemet inte
egentligen mängdläran utan cirkelresonemanget.
Exempel: De icke-negativa heltalen som
mängder [+]
Ifall $\emptyset$ "är" talet $0$ så "är"
$\{\emptyset\}$ talet $1$,
$\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ talet $2$,
$\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$ talet
$3$ osv.
Med andra ord, $0=\emptyset$ och $n=\{0,1,2,\ldots, n-1\}$ då $n>0$.
Vi kan också fortsätta genom att definiera $\omega =\N_0$ så att
$\omega +1 =\omega \cup \{\omega\}$, $\omega +2 = \omega
\cup\{\omega, \omega+1\}$ osv. så att varje "tal" är en mängd,
som betsår av alla mindre tal. Men då man definierar
räkneoperationer för dessa sk. ordinaltal går det så att tex.
$2+\omega =\omega$ medan $\omega+2\neq \omega$.
Senast modifierad: G. Gripenberg,