Permutationer och grupper
Permutationer [-]
- En permutation av en mängd A är en bijektion A→A och när man talar om permutationer antar man vanligen att |A|<∞.
- Den identiska avbildningen IdA:x∈A↦x∈A är en permutation, den inversa funktionen α−1 till en permutation α är en permutation och den sammansatta funktionen α∘β av två permutationer är en permutation. Dessutom gäller (α∘β)∘γ=α∘(β∘γ).
- Om α är en permutation (av mängden A) så är α0=IdA, αm=α∘α∘…∘α⏟m och α−m=(α−1)m då m>0.
Permutationer, banor och cykelnotation [-]
Antag att A är en ändlig icke-tom mängd.
- Om α är en permutation av A så är α:s banor mängderna {αj(x):j∈Z} där x∈A dvs. ekvivalensklasserna när ekvivalensrelationen är x∼y om och endast om y=αj(x) för något j∈Z.
- Permutationen α av mängden A är en cykel om α(xj)=xj+1, j=1,2,…,k−1 och α(xk)=x1 där x1,x2,…,xk∈A (och xi≠xj när i≠j) och α(x)=x för alla x∈A∖{x1,…,xk}. Med cykelnotation skriver man α=(x1x2…xk). Längden av en sådan cykel α är k och man säger att α är en k-cykel. Cykelns α banor är {x1,x2,…,xk} och mängderna {x} för alla x∈A∖{x1,…,xk}.
- Om α är en permutation så motsvaras varje bana av en cykel och α kan skrivas som produkten dvs. sammansatta funktionen av dessa cykler. I detta fall har cyklernas ordning ingen betydelse och ∘-tecknet skrivs vanligen inte ut. (I detta fall finns det inget element som förekommer i flera cykler och om detta är fallet så då har det betydelse i vilken ordning cyklerna kommer.)
Exempel: [+]
Antag att α=(12345672413576), är en permutation av mängden A={1,2,3,4,5,6,7} där alltså den här beteckningen betydera att tex. α(1)=2 och α(2)=4 osv.
Nu ser vi att 1↦2↦4↦3↦1 (dvs. α(1)=2, α(2)=4 osv.) och av detta får vi cykeln (1243) som alltså är en permutation β1 för vilken gäller β1(1)=2, β1(2)=4, β1(4)=3, β1(3)=1 och β(x)=x för alla x∈{5,6,7}. Eftersom α(5)=5 får vi cykeln β2=(5) för vilken gäller β2(x)=x för alla x∈A. Dessutom ser vi att 6↦7↦6 så vi får också cykeln β3=(67).
Med cykelnotation kan vi skriva α=β1β3=(1243)(67), eftersom β2 är identitetsfunktionen. Men det finns också andra sätt att uttrycka α som en produkt av cykler, tex. α=(76)(4312) eller α=(13)(14)(12)(76).
Mängderna A1={1,2,4,3}, A2={5} och A3={6,7} är permutationens α banor.

Exempel: Sammansättning av permutationer [+]
När permutationen α skrivs i formen α=(4321)(24)(1234) så har ordningen betydelse eftersom cyklerna har gemensamma element. Vi kan beskriva permutationen (1234) också med följande graf:
När vi bildar den sammansatta funktionen α måste vi komma ihåg att det följer av definitionen (f∘g)(x)=f(g(x)) att vi skall starta från höger och vi får följande graf:
Av detta kan vi dra slutsatsen att α=(13) eftersom α()=.

Jämna och udda permutationer [+]
- Varje cykel, vars längd vars längd är k≥2 kan skrivas som en produkt av k−1 stycken 2-cykler eftersom (x1x2…xk)=(x1xk)(x1xk−1)…(x1x3)(x1x2).
- Varje permutation kan skrivas som en produkt av 2-cykler (ifall det i den underliggande mängden finns minst två element) .(
- Ifall permutationen α kan skrivas som en produkt av r stycken och av r′ stycken 2-cykler så gäller (−1)r=(−1)r′ och permutationens tecken är sign(α)=(−1)r.
- Ifall α är en cykel med längden k så är sign(α)=(−1)k+1.
- Ifall α är en permutation av en mängd med n element och α har m banor så är sign(α)=(−1)n−m.
- Permutationen α sägs vara jämn om sign(α)=1 och annars udda.
- Ifall α och β är permutationer av samma mängd så gäller
sign(αβ)=sign(α)sign(β).


Grupper [+]
En grupp är ett par [G,∙] där G är en mängd och ∙ är en binär operation i G dvs. en funktion G×G→G så att följande villkor är uppfyllda:
- Slutenhet: a∙b∈G om a och b∈G. (In följd av anatagandet att ∙:G×G→G är en funktion.)
- Associativitet: (a∙b)∙c=a∙(b∙c) om a, b och c∈G.
- Identitet: Det finns ett element e∈G så att e∙a=a∙e=a för varje a∈G.
- Invers: För varje a∈G finns det ett element a−1∈G (som visar sig vara entydigt) så att a∙a−1=a−1∙a=e.
Obs! [-]
- Om mängden G består av alla permutationer av någon mängd A och ∙ är sammansättning av funktioner ∘ så är [G,∙] en grupp.
- Ofta säger man "G är en grupp" om det gruppoperationen ∙ är.
- Istället för beteckningen a∙b (eller ∙(a,b) om man vill betona att ∙ är en funktion) skriver man ofta ab. Som symbol för identiteten används också 1, I eller Id. Dessutom är a0=e, am=a∙a∙…∙a⏟m och a−m=(a−1)m då m>0.
- I definitionen av en grupp kan villkoren (c) och (d) ersättas
med (de skenbart mindre krävande villkoren) att det finns ett
element e∈G så att e∙a=a när a∈G och att om
a∈G så finns det ett element a−1∈G så att
a−1∙a=e. Varför? [+]
Med stöd av de nya villkoren och associativitetsantagandet får vi (a−1)−1∙a−1∙a∙a−1=((a−1)−1∙a−1)∙(a∙a−1)=e∙(a∙a−1)=a∙a−1, och (a−1)−1∙a−1∙a∙a−1=(a−1)−1∙((a−1)∙a)∙a−1)=(a−1)−1∙(e∙a−1)=(a−1)−1∙a−1=e, så att a∙a−1=e och det ursprungliga antagandet (d) gäller..
Med hjälp av detta får vi a∙a−1∙a=(a∙a−1)∙a=e∙a=a, och a∙a−1∙a=a∙(a−1)∙a)=a∙e, så att a∙e=a och det ursprungliga villkoret (c) gäller.
Observera att vi lika bra kunde ha tagit som nya villkor a∙e=a och a∙a−1=e). Å andra sidan kan man inte ersätta villkoren (c) och (d) med e∙a=a och a∙a−1=e eftersom ifall G är en mängd till vilken hör minst två element och vi definierar x∙y=y då x och y∈G så gäller (a) och (b) och vi kan som identitetselement e välja vilket element som helst i G och sedan som a−1 välja detta element e för varje a∈G$ och då gäller nog de nya villkoren men inte de ursprungliga (c) och (d).
Kommutativa eller abelska grupper [+]

Exempel på grupper [+]
- G=Z och ∙=+ så att identitetselementet är 0 och inversen av n är −n.
- G=]0,∞[ och ∙=⋅ dvs. normal multiplikation så att identitetselementet är 1 och inversen av x är x−1 dvs. 1x.
- G=Z/7Z∖{[0]7} och ∙ är multiplikation av restklasser.
- G är mängden av alla n×n-matriser vars determinant
inte är noll och ∙ är multiplikation av matriser.
Identitetselementet är då enhets- eller identitetsmatrisen och
inversen är den inversa matrisen. Denna grupp är inte kommutativ när
n≥2.
Delgrupper [-]
Om G (dvs. [G,∙]) är en grupp och H är en icke-tom delmängd av G så är H en delgrupp till G om följande villkor är uppfyllda och då är också H (dvs. [H,∙|H×H]) en grupp:
- Ifall a och b∈H så gäller a∙b∈H.
- Ifall a∈H så galler a−1∈H.


Cykliska grupper [+]
- Gruppen G är cyklisk om det finns ett element a∈G så att G={aj:j∈Z}. Då säger man att G är den cykliska gruppen genererad av a och man skriver G=⟨a⟩.
- Ifall G är en grupp och a∈G så är ⟨a⟩={aj:j∈Z} den cykliska delgruppen till G genererad av a.
Exempel [+]


Homomorfismer och isomorfismer [+]
Antag att [G1,∙1] och [G2,∙2] är två grupper och låt ψ vara en funktion: G1→G2.
- ψ är en homomorfism om ψ(a∙1b)=ψ(a)∙2ψ(b) för alla a och b∈G1.
- ψ är en isomorfism om den är en homomorfism och en bijektion (och då är också ψ−1 en homomorfism och således en isomorfism: G2→G1).
- Två grupper [G1,∙1] och [G2,∙2] är isomorfa om det finns en isomorfism: G1→G2.
Grupperna är oväsentliga här, det viktiga är att en homomorfism "bevarar strukturen"!
Exempel på isomorfismer [+]
- Om ψ(x)=log(x) så är ψ:]0,∞[→R en isomorfism när räkneoperationen i mängden G1=]0,∞[ är multiplikation och räkneoperationen i mängden G2=R är addition, dvs. [G1,∙1]=[]0,∞[,⋅] och [G2,∙2]=[R,+].
- Ifall [G1,∘] är en grupp som består av av alla permutationer av mängden A1 och [G2,∘] är en grupp som består av alla permutationer av mängden A2 och |A1|=|A2|=m så är G1 och G2 isomorfa. Sådana grupper betecknas med Sm.
- Varje grupp [G,∙] är isomorf med en delgrupp till gruppen av alla permutationer av någon mängd för man kan som mängd välj G och som isomorfism välja ψ(a)(b)=a∙b men av detta följer inte alltid att det skulle vara nyttigt att behandla en grupp som en sådan permutationsgrupp.
- Ifall [G1,∙1] och [G2,∙2] är två cykliska
grupper och |G1|=|G2| så är G1 och G2
isomorfa och och sådana grupper betecknas med m.

Sidoklasser [+]
Antag att G är en grupp, H en delgrupp till G och a∈G (och ab används istället för a∙b).
- Mängden aH={ab:b∈H} är den vänstra sidoklassen till H som innehåller a.
- Mängden Ha={ba:b∈H} är den högra sidoklassen till H som innehåller a.
Sidoklasserna har följande egenskaper (här endast de vänstra sidoklasserna):
- |aH|=|H| för alla a∈G.
- Om a och b∈G så antingen gäller aH=bH eller aH∩bH=∅.
- ∪a∈GaH=G.
- Om a och b∈G och aH=bH så gäller b−1a∈H.
- |G|=|H|⋅|{aH:a∈G}| och därför delar talet |H| talet |G| (när båda talen är ändliga).
Exempel [+]
Om G=R2={(x,y):x,y∈R} och räkneoperationen är addition (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) så är H={(t,2⋅t):t∈R} en delgrupp till gruppen [G,+] och dess sidoklasser är mängderna {(u+t,v+2⋅t):t∈R} där (u,v)∈G dvs. mängderna av punkter på linjer parallella med linjen.

Sidoklasserna som ekvivalensklasser [+]
- Relationen a∼b om och endast om b−1a∈H är en ekvivalensrelation i mängden G och ekvivalensklasserna är de vänstra sidoklasserna.
- Relationen a∼b om och endast om ab−1∈H är en
ekvivalensrelation i mängden G och ekvivalensklasserna är de
högra sidoklasserna.

Homomorfismer, normala delgrupper och kvotgrupper [+]
Antag att G är en grupp.
- Om G′ är en grupp med identitetselement e′ och ψ:G→G′ är en homomorfism så är H={a∈G:ψ(a)=e′} (ψ:s kärna) en delgrupp till G.
- Delgruppen H till G är av typen {a∈G:ψ(a)=e′} för någon homomorfism G→G′ om och endast om aH=Ha för alla a∈G (eller, ekvivalent, aba−1∈H för alla a∈G och b∈H). I det här fallet säger man att H är en normal delgrupp till G.
- Om H är en normal delgrupp till G så bildar sidoklasserna (med de vänstar samma som de högra) en grupp kallad kvotgrupp som betecknas med G/H och vars gruppoperation är (aH)(bH)=(ab)H, identitet H och invers (aH)−1=a−1H. Funktion ψ:G→G/H som definieras med ψ(a)=aH är en homomorfism med kärnan H.
Restklasser som kvotgrupper [+]
när n>1 så är nZ={n⋅j:j∈Z}
en delgrupp till gruppen [Z,+]
och eftersom addition är en
kommutativ räkneoperation så är nZ en normal
delgrupp. Delgruppens nZ sidoklasser är restklasserna
modulo n och de bildar kvotgruppen Z/nZ där räkneoperationen är
addition.


Cykelindex och Pólyas sats om antalet "färgningar" [-]
Definition [-]
- Om a är en permutation av mängden X så är a:s cykelindex funktionen ζa,X(t1,…,tn)=tj11⋅tj22⋅…⋅tjnn där jk är antalet av a:s banor med längden k och n=|X|.
- Om G är en grupp som består av permutationer av X så är
G:s cykelindex
ζG,X(t1,…,tn)=1|G|∑a∈Gζa,X(t1,…,tn).
Exempel: Cykelindex [+]
Antag att G är gruppen som består av alla permutationer f av noderna i grafen nedan så att om det finns en båge mellan noderna x och y så finns det också en båge mellan noderna f(x) och f(y).
Eftersom endast noderna 3 och 4 har 3 grannar så är antingen f(3)=3 och f(4)=4 eller sedan f(3)=4 och f(4)=3 (eftersom det följer av villkoret att "grannar förblir grannar" att x och f(x) har lika många grannar). Noderna 1 och 2 avbildas på nodens f(3) grannar och på samma sätt avbildas noderna 5 och 6 på nodens f(4) grannar.
Därför blir de de permutationer som hör till gruppen G: (1), (12), (56), (12)(56), (34)(15)(26), (34)(16)(25), (34)(1526) ja (34)(1625).
Visa permutationen:
Nästa steg är att bestämma längderna på permutationernas banor: (1): 6 banor med 1 element.(12) och (56): 4 banor med 1 element, 1 bana med 2 element.(12)(56): 2 banor med 1 element, 2 banor med 2 element.(34)(15)(26) och (34)(16)(25): 3 banor 2 element.(34)(1526) och (34)(1625): 1 bana med 2 element, 1 bana med 4 element. Det här betyder att cykelindexet är ζG,X(t1,t2,t3,t4)=18(t61+t21t22+2t41t2+2t32+2t2t4).

Gruppverkan [+]
- Om G dvs. [G,∙] är en grupp och X är en mängd så är verkan av G på mängden X en homomorfism från G till gruppen av alla permutationer av X.
- Om en sammansatt definition definieras (på det normala sättet) så att (f∘g)(x)=f(g(x)) så får man en vänsterverkan och om man definierar x(f⋄g)=(xf)g så får man en högerverkan. I stället för att skriva ψ(a)(x) där ψ är homomorfismen, a∈G och x∈X skriver man oftast ax och säger att G verkar på mängden X. För en vänsterverkan blir homomorfismegenskapen (ab)x=a(bx), a,b∈G, x∈X.
- Om G är en grupp med permutationer av X så är identitetsfunktionen homomorfismen och verkan-begreppet behövs inte.
- Om G är en grupp så verkar den på sig själv, till
exempel så att ψ(a)(x)=ax (vänsterverkan),
ψ(a)(x)=axa−1 (vänsterverkan),
ψ(a)(x)=xa (högerverkan) eller ψ(a)(x)=a−1xa
(högerverkan).
Banor, stabilisatorer och fixpunktsmängder [+]
- Om x∈X så är dess bana under verkan av G mängden Gx={ax:a∈G}⊆X.
- Om x∈X så är dess bana under verkan av elementet a∈G mängden ⟨a⟩x ={ajx:j∈Z}⊆X.
- Om x∈X så är dess stabilisator under verkan av G delgruppen Gx={a∈G:ax=x}⊆G.
- Om a∈G så är dess fixpunktsmängd
delmängden Xa={x∈X:ax=x}⊆X.
(Den här mängden betecknas ibland med Xa eller F(a).) - För varje x∈X gäller |Gx|⋅|Gx|=|G|.
Varför [+]
Vi antar att G är en ändlig grupp. Om H är en delgrupp till G så gäller |H|⋅m=|G| där m är antalet (tex. vänstra) sidoklasser till H (eftersom alla sidoklasser innehåller lika många element som H och unionen av dem är G). Eftersom Gx är en delgrupp till G så kan vi ta H=Gx och det räcker att konstruera en bijektion ψ från mängden av alla sidoklasser till Gx till banan Gx för då får vi m=|Gx| av vilket följer att |G|=|Gx|⋅|Gx|.
Vi definierar ψ(aGx)=ax. Om a1Gx=a2Gx så gäller a−12a1∈Gx så att a−12a1x=x och därför a1x=a2x vilket betyder att ψ är väldefinierad.
Om a1x=a2x så gäller a−12a1x=x så att a−12a1∈Gx, av vilket följer att a1Gx=a2Gx dvs. ψ är en injektion.
Om y∈Gx så finns det ett element a∈G så att y=ax och då är y=ψ(aGx) dvs. ψ är en surjektion.
- Om man i mängden X definierar relationen ∼ så att x∼y om och endast om x=ay för något a∈G så är ∼ en ekvivalensrelation och ekvivalensklasserna är banorna under verkan av G, dvs. mängderna Gx där x∈X.
Exempel: Gx, Gx och Xa [+]

Den cykliska gruppen genererad av en permutation [+]
- βrj är identitetsfunktionen om och endast om bj|r.
- Antalet element |G| i den cykliska gruppen genererad av α är talens b1,b2,…,bk minsta gemensamma multipel eftersom |G| är minsta möjliga tal q så att αq är identitetsfunktionen (dvs. samma som α0).
- Om βj=(x1x2…xbj) och 1≤i≤bj så är βmjxi=αmxi=xi när 0≤m<|G| om och endast om bj|m, av vilket följer att stabilisatorn Gxi är Gxi={αm:m=0,bj,2⋅bj,…,(|G|bj−1)⋅bj}.

Antalet banor under verkan av en grupp (Burnsides lemma) [+]
Vi betecknar mängden av banor med X/G:llä och de är ekvivalensklasser när ekvivalensrelationen ∼ är x∼y om och endast om x=ay för något a∈G. Olika banor har inga gemensamma element och unionen av alla banor är X dvs. X=∪R∈X/GR. Eftersom |Gx|=|G||Gx| och Gx är banan till vilken elementet x hör så får vi påståendet med hjälp av följande räkning: ∑a∈G|Xa|=∑x∈X|Gx|=∑R∈X/G∑x∈R|Gx|=∑R∈X/G∑x∈R|G||Gx|=|G|∑R∈X/G∑x∈R1|R|=|G|∑R∈X/G1|R|∑x∈R1=|G|∑R∈X/G1=|G|⋅|X/G|.



Gruppverkan och "färgningar" [+]
- En färgning av en mängd X är en funktion ω:X→K där K är en mängd "färger".
- Om gruppen G verkar på mängden X, i synnerhet om G:s element ät permutationer av X, så verkar G på mängden KX av alla färgningar så att (aω)(x)=ω(a−1x), a∈G, x∈X.
- Detta är en vänsterverkan eftersom (a(bω))(y)=(bω)(a−1y)=ω(b−1a−1y)=ω((ab)−1y)=((ab)ω)(y).
- Om Ω⊆KX är en delmängd av alla färgningar av X så verkar G på mängden Ω ifall GΩ=Ω.
- Verkan av G på en mängd färgningar Ω bestämmer en ekvivalensrelation i Ω så att ω∼η om och endast om ω=aη för något a∈G och då anser man att dessa färgningar desamma.
- Antalet "olika" eller icke-ekvivalenta färgningar under verkan av G är samma som antalet ekvivalensklasser och därmed samma som antalet banor under verkan av G på mängden av färgningar.
Antalet banor under verkan av en grupp på en mängd färgningar [+]
Om G är en grupp permutationer av mängden X och G verkar på mängden Ω som består av färgningar av X så är antalet "olika" färgningar under verkan av G, dvs. antalet banor (enligt Burnsides lemma) 1|G|∑a∈G|Ωa|, där Ωa={ω∈Ω:aω=ω} är mängden av de färgningar som är invarianta, dvs. fixpunkter, under verkan av a.



Pólyas teorem om antalet "färgningar" [-]
Antag att G är en grupp permutationer av mängden X och att ζG,X(t1,t2,…,tn) är dess cykelindex. Låt K={f1,f2,…,fr} vara en mängd "färger" med vilka elementen i X färgas.
Då är koefficienten för monomet fi11⋅fi22⋅…⋅firr, i polynomet ζG,X(f11+…+f1r,f21+…+f2r,…,fn1+…+fnr) antalet färgningar av elementen i X så att färgen fj används exakt ij gånger (dvs. |{x∈X:ω(x)=fj}|=ij) och som inte är ekvivalenta under verkan av G.
Om man använder r färger men det inte finns andra begränsningar så är antalet under verkan av G icke-ekvivalenta färgningar ζG,X(r,r,…,r).

Exempel: Färgning av en 4-hörning [+]
Låt X={0,1,2,3}. Eftersom det finns 4 element i X så finns det 4!=24 permutationer av mängden X. Men om elementen i X är noderna i grafen till vänster och om vi kräver av en permutation a att om x och y är grannar så är också a(x) och a(y) grannar (dvs. vi kräver att a är en grafisomorfism) så förändras situationen.
I det här fallet kan 0 avbildas på vilken som helst av noderna 0, 1, 2 eller 3. Men a(1) skall vara a(0):s granne vilket betyder att a(1)=mod(a(0)+1,4) eller mod(a(0)−1,4). Eftersom a(2) inte kan vara a(0):s granne så är a(2)=mod(a(0)+2,4) och på motsvarande sätt a(3)=mod(a(1)+2,4).
På ett annat sätt: Grafen kan roteras kring "mittpunkten" 0, 90, 180 eller 270 grader eller speglas i x-axeln, y-axeln, linjen y=x eller linjen y=−x (när "mittpunkten" väljs till origo).
Vi får alltså följande permutationer som med cykelnotation är: (0), (13), (0123), (01)(23), (02)(13), (02), (0321) och (03)(12) av vilka (0), (0123), (02)(13) och (0321) är rotationer och (13), (01)(23), (02) och (03)(12) är speglingar.
Visa permutationen:
De här permutationerna bildar en sk. dihedralgrupp och den betecknas med D4 (eller med D8).
Nästa steg är att använda Pólyas teorem för att räkna ut på hur många sätt vi kan färga noderna så att en är svart, en vit och två röda. Dessutom anser vi att två färgningar är desamma om man får den ena av den andra med rotationer och/eller speglingar. (För det här problemetbehöver man inte egentligen Pólyas teorem för det finns bara två alternativ: De röda noderna är antingen bredvid varandra eller inte.)
Vi skall först bestämma cykelindexet för gruppen D4 och det får vi som medeltalet av permutationernas cykelindex och en permutations cykelindex är tj11tj12…tjnn om permutationer har jk banor med längden k, k=1,2,…,n. I det här fallet blir gruppens cykelindex ζD4,X(t1,t2,t3,t4)=18(t41+t21t2+t4+t22+t22+t21t2+t4+t22). Antalet olika färgningar är nu koefficienten för termen svr2 i polynomet ζD4,X(s+v+r,s2+v2+r2,s3+v3+r3,s4+v4+r4), dvs. i polynomet 18(s+v+r)4+14(s+v+r)2(s2+v2+r2)+38(s2+v2+r2)2+14(s4+v4+r4) och den är 18⋅4!1!⋅1!⋅2!+14⋅2+0+0=2.

Exempel: Pólyas teorem och "tre-i-rad" [+]
Vi har ett 3×3-rutfält på ett papper och i 2 rutor har vi skrivit ett x:n, i 2 har vi skrivit ett o:n och 5 rutor är tomma. Det här kan vi göra på (92,2,5)=756 olika sätt om vi håller pappret fixerat. Men om vi kan vrida pappret med vinkeln 0, π2, π eller 3π2 runt mittpunkten så minskar antalet alternativ och för att bestämma detta antal på ett systematiskt sätt skall vi undersöka hur gruppen som genereras av en rotation med vinkeln π2 verkar på rutfältet och i synnerhet bestämma dess cykelindex, dvs. bestämma banornas längder. Resultaten är följande:
- Identiteten (vridning med vinkeln 0) har 9 banor som alla innehåller 1 element.
- En vridning med vinkeln π2 har 2 banor som båda innehåller 4 element (den ena består av hörnen och den andra de yttre rutorna mellan hörnen) och 1 bana som innehåller 1 element (rutan i mitten). Samma gäller om man vrider med vinkeln 3π2 vilket är detsamma som att vrida vinkeln π2 i negativ riktning.
- Om vi vrider pappret med vinkeln π får vi 4 banor som innehåller 2 rutor (motsatta hörn och motsatta ytterrutor mellan hörnen) och 1 bana som består av 1 ruta.
Cykelindexet blir därför ζG,X(t1,t2,…,t9)=14(t91+2t1t24+t1t42).
För att bestämma antalet icke-ekvivalenta färgningar så ersätter vi tj med xj+oj+tj i detta uttryck och då är koefficienten för termen x2o2t5 antalet icke-ekvivalenta färgningar med 2 stycken x, 2 stycken o och 5 stycken t. Koefficienten för x2o2t5 i uttrycket (x+o+t)9 är (92,2,5), uttrycket 2(x+o+t)(x4+o4+t4)2 ger inte någon term x2o2t5 och koefficienten för termen x2o2t5 i uttrycket (x+o+t)(x2+o2+t2)2 är koefficienten för termen x2o2t4 i uttrycket (x2+o2+t2)2, dvs. (41,1,2). Antalet alternativ blir därför 14((92,2,5)+0+(41,1,2))=14(756+12)=192.

Exempel: Hur permutationer verkar på färgningar och Pólyas teorem [+]
Noderna i grafen nedan har färgats med färgningen ω där $\omega(1)=p$, $\omega(2)=v$, $\omega(3)=p$, $\omega(4)=v$, $\omega(5)=v$ och $\omega(6)=p$:
De permutationer a av noderna i den här grafen, som är sådana att om det finns en båge mellan noderna x och y så finns det också en båge mellan noderna a(x) och a(y) är (1), (12), (56), (12)(56), (34)(15)(26), (34)(16)(25), (34)(1526) och (34)(1625). De här permutationerna är alltså permutationer av noderna men de verkar på färgningarna så att aω(y)=ω(a−1y).
Visa färgningen aω när a=
I det här fallet är det inte speciellt svårt att hitta alla de 5 färgningarna med 3 röda och 3 gröna noder som inte är ekvivalenta under verkan av permutationerna ovan men vi skall bestämma detta antal på ett annat sätt:
Enligt Burnsides lemma är banornas antal under verkan av gruppen G på mängden Ω lika med 1|G|∑a∈G|Ωa| där Ωa={ω∈Ω:aω=ω}. I det här fallet är Ω de färgningar ω av grafens noder som färgar tre noder röda och tre gröna.
Om nu a är till exempel permutationen (34)(1526) så är Ωa=∅ eftersom det följer av villkoret aω=ω att ω får samma värde på alla banans {3,4} noder och samma värde på alla banans {1,5,2,6} noder och det här är omöjligt om tre noder är röda och tre är gröna. cykelindexet för den här permutationen är t2t4 och om vi ersätter t2 med r2+g2 och t4 med r4+g4 så får vi polynomet (r2+g2)(r4+g4) och i det här polynomet finns det inte någon term r3g3, dvs. koefficienten för termen r3g3 är 0.
Om vi i stället betraktar permutationen a2=(12)(65) så är det följande permutationer som bildar mängden Ωa2 eftersom kravet är att alla noder på samma bana får samma färg och nu är banorna {1,2}, {5,6}, {3} och {4}:
Permutationens a2 cykelindex är t21t22 så i dethär fallet kommer |Ωa2| att vara koefficient för termen r3vg3 i polynomet (r+g)2⋅(r2+g2)2=r6+2⋅r5⋅g+3⋅r4⋅g2+4⋅r3⋅g3+3⋅r2⋅g4+2⋅r⋅g5+g6.
Gruppens G cykelindex är ζG,V(t1,t2,t4)=18(t61+t21t22+2t41t2+2t32+2t2t4) och koefficienten för termen r3g3 i polynomet ζG,V(r+g,r2+g2,r4+g4) är 18(6!3!⋅3!+2⋅2+2⋅(4!3!⋅1!⋅1+4!3!⋅1!⋅1)+2⋅0+2⋅0)=408=5.
