Permutationer [-]
- En permutation av en mängd $A$ är en bijektion $A\to A$ och när man talar om permutationer antar man vanligen att $\card{A}<\infty$.
- Den identiska avbildningen $Id_A: x\in A\mapsto x\in A$ är en permutation, den inversa funktionen $\alpha^{-1}$ till en permutation $\alpha$ är en permutation och den sammansatta funktionen $\alpha\circ \beta$ av två permutationer är en permutation. Dessutom gäller $(\alpha\circ \beta)\circ \gamma= \alpha \circ (\beta\circ\gamma)$.
- Om $\alpha$ är en permutation (av mängden $A$) så är $\alpha^0=Id_A$, $\alpha^m=\underbrace{\alpha\circ \alpha\circ\ldots \circ \alpha}_{m}$ och $\alpha^{-m}=(\alpha^{-1})^m$ då $m>0$.
Permutationer, banor och cykelnotation [-]
Antag att $A$ är en ändlig icke-tom mängd.
- Om $\alpha$ är en permutation av $A$ så är $\alpha$:s banor mängderna $\set{\alpha^j(x)\mid j\in \Z}$ där $x\in A$ dvs. ekvivalensklasserna när ekvivalensrelationen är $x\sim y$ om och endast om $y=\alpha^j(x)$ för något $j\in \Z$.
- Permutationen $\alpha$ av mängden $A$ är en cykel om $\alpha(x_j)=x_{j+1}$, $j=1,2,\ldots,k-1$ och $\alpha(x_k)=x_1$ där $x_1,x_2,\ldots,x_k\in A$ (och $x_i\neq x_j$ när $i\neq j$) och $\alpha(x)=x$ för alla $x\in A\setminus\{x_1,\ldots,x_k\}$. Med cykelnotation skriver man $\alpha=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 &\dots &x_k\end{pmatrix}$. Längden av en sådan cykel $\alpha$ är $k$ och man säger att $\alpha$ är en $k$-cykel. Cykelns $\alpha$ banor är $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ och mängderna $\{x\}$ för alla $x\in A\setminus\{x_1,\ldots,x_k\}$.
- Om $\alpha$ är en permutation så motsvaras varje bana av en cykel och $\alpha$ kan skrivas som produkten dvs. sammansatta funktionen av dessa cykler. I detta fall har cyklernas ordning ingen betydelse och $\circ$-tecknet skrivs vanligen inte ut. (I detta fall finns det inget element som förekommer i flera cykler och om detta är fallet så då har det betydelse i vilken ordning cyklerna kommer.)
Exempel: [+]
Antag att \[ \alpha= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 1 & 3 & 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}, \] är en permutation av mängden $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ där alltså den här beteckningen betydera att tex. $\alpha(1)=2$ och $\alpha(2)=4$ osv.
Nu ser vi att $1\mapsto 2 \mapsto 4 \mapsto 3 \mapsto 1$ (dvs. $\alpha(1)=2$, $\alpha(2)=4$ osv.) och av detta får vi cykeln $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix}$ som alltså är en permutation $\beta_1$ för vilken gäller $\beta_1(1)=2$, $\beta_1(2)=4$, $\beta_1(4)=3$, $\beta_1(3)=1$ och $\beta(x)=x$ för alla $x\in \{5,6,7\}$. Eftersom $\alpha(5)=5$ får vi cykeln $\beta_2=(5)$ för vilken gäller $\beta_2(x)=x$ för alla $x\in A$. Dessutom ser vi att $6\mapsto 7\mapsto 6$ så vi får också cykeln $\beta_3=\begin{pmatrix} 6 & 7\end{pmatrix}$.
Med cykelnotation kan vi skriva \[ \alpha =\beta_1\beta_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6& 7\end{pmatrix}, \] eftersom $\beta_2$ är identitetsfunktionen. Men det finns också andra sätt att uttrycka $\alpha$ som en produkt av cykler, tex. $\alpha= \begin{pmatrix} 7 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix}$ eller $\alpha =\begin{pmatrix} 1 &3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 6\end{pmatrix}$.
Mängderna $A_1=\{1,2,4,3\}$, $A_2=\{5\}$ och $A_3=\{6,7\}$ är permutationens $\alpha$ banor.
Exempel: Sammansättning av permutationer [+]
När permutationen $\alpha$ skrivs i formen $\alpha=(4\; 3\; 2\; 1)(2\; 4)(1\; 2\; 3\; 4)$ så har ordningen betydelse eftersom cyklerna har gemensamma element. Vi kan beskriva permutationen $(1\; 2\; 3\; 4)$ också med följande graf:
När vi bildar den sammansatta funktionen $\alpha$ måste vi komma ihåg att det följer av definitionen $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ att vi skall starta från höger och vi får följande graf:
Av detta kan vi dra slutsatsen att $\alpha = (1\; 3)$ eftersom $\alpha\Bigl($$\Bigr )$$= \quad.$
Jämna och udda permutationer [+]
- Varje cykel, vars längd vars längd är $k\geq 2$ kan skrivas som en produkt av $k-1$ stycken $2$-cykler eftersom
- Varje permutation kan skrivas som en produkt av $2$-cykler (ifall det i den underliggande mängden finns minst två element) .(
- Ifall permutationen $\alpha$ kan skrivas som en produkt av $r$ stycken och av $r'$ stycken $2$-cykler så gäller $(-1)^r=(-1)^{r'}$ och permutationens tecken är $\textrm{sign}(\alpha)=(-1)^r$.
- Ifall $\alpha$ är en cykel med längden $k$ så är $\textrm{sign}(\alpha)=(-1)^{k+1}$.
- Ifall $\alpha$ är en permutation av en mängd med $n$ element och $\alpha$ har $m$ banor så är $\textrm{sign}(\alpha)= (-1)^{n-m}$.
- Permutationen $\alpha$ sägs vara jämn om $\textrm{sign}(\alpha)=1$ och annars udda.
- Ifall $\alpha$ och $\beta$ är permutationer av samma mängd så gäller
$\textrm{sign}(\alpha\beta)=
\textrm{sign}(\alpha)\textrm{sign}(\beta)$.
Grupper [+]
En grupp är ett par $[G,\bullet]$ där $G$ är en mängd och $\bullet$ är en binär operation i $G$ dvs. en funktion $G\times G\to G$ så att följande villkor är uppfyllda:
- Slutenhet: $a\bullet b \in G$ om $a$ och $b\in G$. (In följd av anatagandet att $\bullet:G\times G\to G$ är en funktion.)
- Associativitet: $(a\bullet b)\bullet c = a\bullet(b\bullet c)$ om $a$, $b$ och $c\in G$.
- Identitet: Det finns ett element $e\in G$ så att $e\bullet a=a\bullet e = a$ för varje $a\in G$.
- Invers: För varje $a\in G$ finns det ett element $a^{-1}\in G$ (som visar sig vara entydigt) så att $a\bullet a^{-1}=a^{-1} \bullet a = e$.
Obs! [-]
- Om mängden $G$ består av alla permutationer av någon mängd $A$ och $\bullet$ är sammansättning av funktioner $\circ$ så är $[G,\bullet]$ en grupp.
- Ofta säger man "$G$ är en grupp" om det gruppoperationen $\bullet$ är.
- Istället för beteckningen $a\bullet b$ (eller $\bullet(a,b)$ om man vill betona att $\bullet$ är en funktion) skriver man ofta $ab$. Som symbol för identiteten används också $1$, $I$ eller $Id$. Dessutom är $a^0=e$, $a^m=\underbrace{a\bullet a\bullet\ldots \bullet a}_{m}$ och $a^{-m}=(a^{-1})^m$ då $m>0$.
- I definitionen av en grupp kan villkoren (c) och (d) ersättas
med (de skenbart mindre krävande villkoren) att det finns ett
element $e\in G$ så att $e\bullet a=a$ när $a\in G$ och att om
$a\in G$ så finns det ett element $a^{-1}\in G$ så att
$a^{-1} \bullet a = e$. Varför? [+]
Med stöd av de nya villkoren och associativitetsantagandet får vi \[ (a^{-1})^{-1}\bullet a^{-1}\bullet a\bullet a^{-1} = ((a^{-1})^{-1}\bullet a^{-1})\bullet (a\bullet a^{-1})\\= e\bullet (a\bullet a^{-1}) = a\bullet a^{-1}, \] och \[ (a^{-1})^{-1}\bullet a^{-1}\bullet a\bullet a^{-1} = (a^{-1})^{-1}\bullet ((a^{-1})\bullet a)\bullet a^{-1})\\= (a^{-1})^{-1}\bullet (e\bullet a^{-1})= (a^{-1})^{-1}\bullet a^{-1}=e, \] så att $a\bullet a^{-1}= e$ och det ursprungliga antagandet (d) gäller..
Med hjälp av detta får vi \[ a\bullet a^{-1}\bullet a= (a\bullet a^{-1})\bullet a=e\bullet a =a, \] och \[ a\bullet a^{-1}\bullet a= a\bullet (a^{-1})\bullet a)=a\bullet e, \] så att $a\bullet e = a$ och det ursprungliga villkoret (c) gäller.
Observera att vi lika bra kunde ha tagit som nya villkor $a\bullet e = a$ och $a\bullet a^{-1}=e$). Å andra sidan kan man inte ersätta villkoren (c) och (d) med $e\bullet a=a$ och $a\bullet a^{-1}=e$ eftersom ifall $G$ är en mängd till vilken hör minst två element och vi definierar $x\bullet y= y$ då $x$ och $y\in G$ så gäller (a) och (b) och vi kan som identitetselement $e$ välja vilket element som helst i $G$ och sedan som $a^{-1}$ välja detta element $e$ för varje $a\in $G$ och då gäller nog de nya villkoren men inte de ursprungliga (c) och (d).
Kommutativa eller abelska grupper [+]
Exempel på grupper [+]
- $G=\Z$ och $\bullet = +$ så att identitetselementet är $0$ och inversen av $n$ är $-n$.
- $G=]0,\infty[$ och $\bullet=\cdot$ dvs. normal multiplikation så att identitetselementet är $1$ och inversen av $x$ är $x^{-1}$ dvs. $\frac 1x$.
- $G=\Z/7\Z \setminus\{[0]_7\}$ och $\bullet$ är multiplikation av restklasser.
- $G$ är mängden av alla $n\times n$-matriser vars determinant
inte är noll och $\bullet$ är multiplikation av matriser.
Identitetselementet är då enhets- eller identitetsmatrisen och
inversen är den inversa matrisen. Denna grupp är inte kommutativ när
$n\geq 2$.
Delgrupper [-]
Om $G$ (dvs. $[G,\bullet]$) är en grupp och $H$ är en icke-tom delmängd av $G$ så är $H$ en delgrupp till $G$ om följande villkor är uppfyllda och då är också $H$ (dvs. $[H,\bullet_{|H\times H}]$) en grupp:
- Ifall $a$ och $b\in H$ så gäller $a\bullet b\in H$.
- Ifall $a\in H$ så galler $a^{-1}\in H$.
Cykliska grupper [+]
- Gruppen $G$ är cyklisk om det finns ett element $a\in G$ så att $G=\set{a^j\mid j\in \Z}$. Då säger man att $G$ är den cykliska gruppen genererad av $a$ och man skriver $G=\langle a\rangle$.
- Ifall $G$ är en grupp och $a\in G$ så är $\langle a\rangle=\set{ a^{j}\mid j\in Z}$ den cykliska delgruppen till $G$ genererad av $a$.
Exempel [+]
Homomorfismer och isomorfismer [+]
Antag att $[G_1,\bullet_1]$ och $[G_2,\bullet_2]$ är två grupper och låt $\psi$ vara en funktion: $ G_1\to G_2$.
- $\psi$ är en homomorfism om $\psi(a\bullet_1 b)=\psi(a)\bullet_2 \psi(b)$ för alla $a$ och $b\in G_1$.
- $\psi$ är en isomorfism om den är en homomorfism och en bijektion (och då är också $\psi^{-1}$ en homomorfism och således en isomorfism: $G_2\to G_1$).
- Två grupper $[G_1,\bullet_1]$ och $[G_2,\bullet_2]$ är isomorfa om det finns en isomorfism: $G_1\to G_2$.
Grupperna är oväsentliga här, det viktiga är att en homomorfism "bevarar strukturen"!
Exempel på isomorfismer [+]
- Om $\psi(x)=\log(x)$ så är $\psi:]0,\infty[\to \R$ en isomorfism när räkneoperationen i mängden $G_1=]0,\infty[$ är multiplikation och räkneoperationen i mängden $G_2=\R$ är addition, dvs. $[G_1,\bullet_1]= \bigl []0,\infty[,\cdot\bigr ]$ och $[G_2,\bullet_2]= [\R,+]$.
- Ifall $[G_1,\circ]$ är en grupp som består av av alla permutationer av mängden $A_1$ och $[G_2,\circ]$ är en grupp som består av alla permutationer av mängden $A_2$ och $\card{A_1}=\card{A_2}=m$ så är $G_1$ och $G_2$ isomorfa. Sådana grupper betecknas med $S_m$.
- Varje grupp $[G,\bullet]$ är isomorf med en delgrupp till gruppen av alla permutationer av någon mängd för man kan som mängd välj $G$ och som isomorfism välja $\psi(a)(b) = a\bullet b$ men av detta följer inte alltid att det skulle vara nyttigt att behandla en grupp som en sådan permutationsgrupp.
- Ifall $[G_1,\bullet_1]$ och $[G_2,\bullet_2]$ är två cykliska
grupper och $\card{G_1}=\card{G_2}$ så är $G_1$ och $G_2$
isomorfa och och sådana grupper betecknas med $m$.
Sidoklasser [+]
Antag att $G$ är en grupp, $H$ en delgrupp till $G$ och $a\in G$ (och $ab$ används istället för $a\bullet b$).
- Mängden $aH=\set{ ab\mid b\in H}$ är den vänstra sidoklassen till $H$ som innehåller $a$.
- Mängden $Ha=\set{ ba\mid b\in H}$ är den högra sidoklassen till $H$ som innehåller $a$.
Sidoklasserna har följande egenskaper (här endast de vänstra sidoklasserna):
- $\card{aH}=\card{H}$ för alla $a\in G$.
- Om $a$ och $b\in G$ så antingen gäller $aH=bH$ eller $aH\cap bH=\emptyset$.
- $\cup_{a\in G} aH= G$.
- Om $a$ och $b\in G$ och $aH=bH$ så gäller $b^{-1}a\in H$.
- $\card{G} =\card{H}\cdot \card{\set{aH\mid a\in G}}$ och därför delar talet $\card{H}$ talet $\card {G}$ (när båda talen är ändliga).
Exempel [+]
Om $G=\R^2=\set{(x,y)\mid x,y\in \R}$ och räkneoperationen är addition $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ så är $H=\set{(t,2\cdot t)\mid t\in \R}$ en delgrupp till gruppen $[G,+]$ och dess sidoklasser är mängderna $\set{(u+t,v+2\cdot t)\mid t\in \R}$ där $(u,v)\in G$ dvs. mängderna av punkter på linjer parallella med linjen.
Sidoklasserna som ekvivalensklasser [+]
- Relationen $a\sim b$ om och endast om $b^{-1}a\in H$ är en ekvivalensrelation i mängden $G$ och ekvivalensklasserna är de vänstra sidoklasserna.
- Relationen $a\sim b$ om och endast om $ab^{-1}\in H$ är en
ekvivalensrelation i mängden $G$ och ekvivalensklasserna är de
högra sidoklasserna.
Homomorfismer, normala delgrupper och kvotgrupper [+]
Antag att $G$ är en grupp.
- Om $G'$ är en grupp med identitetselement $e'$ och $\psi:G\to G'$ är en homomorfism så är $H=\set{a\in G\mid \psi(a)= e'}$ ($\psi$:s kärna) en delgrupp till $G$.
- Delgruppen $H$ till $G$ är av typen $\set{a\in G\mid \psi(a)= e'}$ för någon homomorfism $G\to G'$ om och endast om $aH=Ha$ för alla $a\in G$ (eller, ekvivalent, $aba^{-1}\in H$ för alla $a\in G$ och $b\in H$). I det här fallet säger man att $H$ är en normal delgrupp till $G$.
- Om $H$ är en normal delgrupp till $G$ så bildar sidoklasserna (med de vänstar samma som de högra) en grupp kallad kvotgrupp som betecknas med $G/H$ och vars gruppoperation är $(aH)(bH)= (ab)H$, identitet $H$ och invers $(aH)^{-1}=a^{-1}H$. Funktion $\psi:G\to G/H$ som definieras med $\psi(a)= aH$ är en homomorfism med kärnan $H$.
Restklasser som kvotgrupper [+]
när $n> 1$ så är $n\Z=\set{n\cdot j\mid j\in \Z}$
en delgrupp till gruppen $[\Z,+]$
och eftersom addition är en
kommutativ räkneoperation så är $n\Z$ en normal
delgrupp. Delgruppens $n\Z$ sidoklasser är restklasserna
modulo $n$ och de bildar kvotgruppen $\Z/n\Z$ där räkneoperationen är
addition.
Cykelindex och Pólyas sats om antalet "färgningar" [-]
Definition [-]
- Om $a$ är en permutation av mängden $X$ så är $a$:s cykelindex funktionen \[ \zeta_{a,X}(t_1,\ldots ,t_n)= t_1^{j_1}\cdot t_2^{j_2} \cdot \ldots \cdot t_n^{j_n} \] där $j_k$ är antalet av $a$:s banor med längden $k$ och $n=\card{X}$.
- Om $G$ är en grupp som består av permutationer av $X$ så är
$G$:s cykelindex
Exempel: Cykelindex [+]
Antag att $G$ är gruppen som består av alla permutationer $f$ av noderna i grafen nedan så att om det finns en båge mellan noderna $x$ och $y$ så finns det också en båge mellan noderna $f(x)$ och $f(y)$.
Eftersom endast noderna $3$ och $4$ har $3$ grannar så är antingen $f(3)=3$ och $f(4)=4$ eller sedan $f(3)=4$ och $f(4)=3$ (eftersom det följer av villkoret att "grannar förblir grannar" att $x$ och $f(x)$ har lika många grannar). Noderna $1$ och $2$ avbildas på nodens $f(3)$ grannar och på samma sätt avbildas noderna $5$ och $6$ på nodens $f(4)$ grannar.
Därför blir de de permutationer som hör till gruppen $G$: $(1)$, $(1\; 2)$, $(5\; 6)$, $(1\; 2)(5\; 6)$, $(3\; 4)(1\; 5)(2\; 6)$, $(3\; 4)(1\; 6)(2\; 5)$, $(3\; 4)(1\; 5\; 2\; 6)$ ja $(3\; 4)(1\; 6\; 2\; 5)$.
Visa permutationen:
Nästa steg är att bestämma längderna på permutationernas banor: Det här betyder att cykelindexet är
Gruppverkan [+]
- Om $G$ dvs. $[G,\bullet]$ är en grupp och $X$ är en mängd så är verkan av $G$ på mängden $X$ en homomorfism från $G$ till gruppen av alla permutationer av $X$.
- Om en sammansatt definition definieras (på det normala sättet) så att $(f\circ g)(x)= f(g(x))$ så får man en vänsterverkan och om man definierar $x(f\diamond g)= (xf)g$ så får man en högerverkan. I stället för att skriva $\psi(a)(x)$ där $\psi$ är homomorfismen, $a\in G$ och $x\in X$ skriver man oftast $ax$ och säger att $G$ verkar på mängden $X$. För en vänsterverkan blir homomorfismegenskapen $(ab)x=a(bx)$, $a, b\in G$, $x\in X$.
- Om $G$ är en grupp med permutationer av $X$ så är identitetsfunktionen homomorfismen och verkan-begreppet behövs inte.
- Om $G$ är en grupp så verkar den på sig själv, till
exempel så att $\psi(a)(x) = ax$ (vänsterverkan),
$\psi(a)(x)= axa^{-1}$ (vänsterverkan),
$\psi(a)(x)= xa$ (högerverkan) eller $\psi(a)(x)= a^{-1}xa$
(högerverkan).
Banor, stabilisatorer och fixpunktsmängder [+]
- Om $x\in X$ så är dess bana under verkan av $G$ mängden $Gx=\set{ax\mid a\in G}\subseteq X$.
- Om $x\in X$ så är dess bana under verkan av elementet $a\in G$ mängden $\langle a\rangle$$x$ $=\set{a^jx\mid j\in \Z}\subseteq X$.
- Om $x\in X$ så är dess stabilisator under verkan av $G$ delgruppen $G_x=\set{a\in G\mid ax=x}\subseteq G$.
- Om $a\in G$ så är dess fixpunktsmängd
delmängden $X_a=\set{x\in X\mid ax=x}\subseteq X$.
(Den här mängden betecknas ibland med $X^a$ eller $F(a)$.) - För varje $x\in X$ gäller $\abs{Gx}\cdot \abs{G_x} =\abs{G}$.
Varför [+]
Vi antar att $G$ är en ändlig grupp. Om $H$ är en delgrupp till $G$ så gäller $\abs{H}\cdot m=\abs{G}$ där $m$ är antalet (tex. vänstra) sidoklasser till $H$ (eftersom alla sidoklasser innehåller lika många element som $H$ och unionen av dem är $G$). Eftersom $G_x$ är en delgrupp till $G$ så kan vi ta $H=G_x$ och det räcker att konstruera en bijektion $\psi$ från mängden av alla sidoklasser till $G_x$ till banan $Gx$ för då får vi $m=\abs{Gx}$ av vilket följer att $\abs{G}=\abs{G_x}\cdot \abs{Gx}$.
Vi definierar $\psi(aG_x)= ax$. Om $a_1G_x=a_2G_x$ så gäller $a_2^{-1}a_1\in G_x$ så att $a_2^{-1}a_1x=x$ och därför $a_1x=a_2x$ vilket betyder att $\psi$ är väldefinierad.
Om $a_1x=a_2x$ så gäller $a_2^{-1}a_1x=x$ så att $a_2^{-1}a_1\in G_x$, av vilket följer att $a_1G_x=a_2G_x$ dvs. $\psi$ är en injektion.
Om $y\in Gx$ så finns det ett element $a\in G$ så att $y=ax$ och då är $y=\psi(aG_x)$ dvs. $\psi$ är en surjektion.
- Om man i mängden $X$ definierar relationen $\sim$ så att $x\sim y$ om och endast om $x=ay$ för något $a\in G$ så är $\sim$ en ekvivalensrelation och ekvivalensklasserna är banorna under verkan av $G$, dvs. mängderna $Gx$ där $x\in X$.
Exempel: $G_x$, $Gx$ och $X_a$ [+]
Den cykliska gruppen genererad av en permutation [+]
- $\beta_j^{r}$ är identitetsfunktionen om och endast om $b_j\,|\, r$.
- Antalet element $\card{G}$ i den cykliska gruppen genererad av $\alpha$ är talens $b_1,b_2, \ldots,b_k$ minsta gemensamma multipel eftersom $\card{G}$ är minsta möjliga tal $q$ så att $\alpha^q$ är identitetsfunktionen (dvs. samma som $\alpha^0$).
- Om $\beta_j=(x_1\; x_2\; \ldots \; x_{b_j})$ och $1\leq i \leq b_j$ så är $\beta_j^mx_i=\alpha^mx_i=x_i$ när $0 \leq m<\card{G}$ om och endast om $b_j\,|\, m$, av vilket följer att stabilisatorn $G_{x_i}$ är
Antalet banor under verkan av en grupp (Burnsides lemma) [+]
Vi betecknar mängden av banor med $X/G$:llä och de är ekvivalensklasser när ekvivalensrelationen $\sim$ är $x\sim y$ om och endast om $x=ay$ för något $a\in G$. Olika banor har inga gemensamma element och unionen av alla banor är $X$ dvs. $X=\cup_{R\in X/G}R$. Eftersom $\abs{G_x}= \frac {\abs{G}}{\abs{Gx}}$ och $Gx$ är banan till vilken elementet $x$ hör så får vi påståendet med hjälp av följande räkning:
Gruppverkan och "färgningar" [+]
- En färgning av en mängd $X$ är en funktion $\omega:X\to K$ där $K$ är en mängd "färger".
- Om gruppen $G$ verkar på mängden $X$, i synnerhet om $G$:s element ät permutationer av $X$, så verkar $G$ på mängden $K^X$ av alla färgningar så att $(a\omega)(x)= \omega(a^{-1}x)$, $a\in G$, $x\in X$.
- Detta är en vänsterverkan eftersom
- Om $\Omega\subseteq K^X$ är en delmängd av alla färgningar av $X$ så verkar $G$ på mängden $\Omega$ ifall $G\Omega=\Omega$.
- Verkan av $G$ på en mängd färgningar $\Omega$ bestämmer en ekvivalensrelation i $\Omega$ så att $\omega \sim \eta$ om och endast om $\omega =a\eta$ för något $a\in G$ och då anser man att dessa färgningar desamma.
- Antalet "olika" eller icke-ekvivalenta färgningar under verkan av $G$ är samma som antalet ekvivalensklasser och därmed samma som antalet banor under verkan av $G$ på mängden av färgningar.
Antalet banor under verkan av en grupp på en mängd färgningar [+]
Om $G$ är en grupp permutationer av mängden $X$ och $G$ verkar på mängden $\Omega$ som består av färgningar av $X$ så är antalet "olika" färgningar under verkan av $G$, dvs. antalet banor (enligt Burnsides lemma) \[ \frac 1{\card{G}}\sum_{a\in G} \card{\Omega_a}, \] där $\Omega_a=\set{\omega\in \Omega\mid a\omega=\omega} $ är mängden av de färgningar som är invarianta, dvs. fixpunkter, under verkan av $a$.
Pólyas teorem om antalet "färgningar" [-]
Antag att $G$ är en grupp permutationer av mängden $X$ och att $\zeta_{G,X}(t_1,t_2,\ldots,t_n)$ är dess cykelindex. Låt $K=\{f_1,f_2,\ldots,f_r\}$ vara en mängd "färger" med vilka elementen i $X$ färgas.
Då är koefficienten för monomet \[ f_1^{i_1}\cdot f_2^{i_2}\cdot \ldots \cdot f_r^{i_r}, \] i polynomet \[ \zeta_{G,X}(f_1^1+\ldots+f_r^1,f_1^2+\ldots+ f_r^2,\ldots,f_1^n+\ldots +f_r^n) \] antalet färgningar av elementen i $X$ så att färgen $f_j$ används exakt $i_j$ gånger (dvs. $\card{\set{x\in X\mid \omega(x)=f_j}}=i_j$) och som inte är ekvivalenta under verkan av $G$.
Om man använder $r$ färger men det inte finns andra begränsningar så är antalet under verkan av $G$ icke-ekvivalenta färgningar \[ \zeta_{G,X}(r,r,\ldots,r). \]
Exempel: Färgning av en $4$-hörning [+]
Låt $X=\{0,1,2,3\}$. Eftersom det finns $4$ element i $X$ så finns det $4!=24$ permutationer av mängden $X$. Men om elementen i $X$ är noderna i grafen till vänster och om vi kräver av en permutation $a$ att om $x$ och $y$ är grannar så är också $a(x)$ och $a(y)$ grannar (dvs. vi kräver att $a$ är en grafisomorfism) så förändras situationen.
I det här fallet kan $0$ avbildas på vilken som helst av noderna $0$, $1$, $2$ eller $3$. Men $a(1)$ skall vara $a(0)$:s granne vilket betyder att $a(1)=\Mod(a(0)+1,4)$ eller $\Mod(a(0)-1,4)$. Eftersom $a(2)$ inte kan vara $a(0)$:s granne så är $a(2)=\Mod(a(0)+2,4)$ och på motsvarande sätt $a(3)=\Mod(a(1)+2,4)$.
På ett annat sätt: Grafen kan roteras kring "mittpunkten" $0$, $90$, $180$ eller $270$ grader eller speglas i $x$-axeln, $y$-axeln, linjen $y=x$ eller linjen $y=-x$ (när "mittpunkten" väljs till origo).
Vi får alltså följande permutationer som med cykelnotation är: $(0)$, $(1\; 3)$, $(0\; 1\; 2\; 3)$, $(0\; 1)(2\; 3)$, $(0\; 2)(1\; 3)$, $(0\; 2)$, $(0\;3\;2\;1)$ och $(0\; 3)(1\; 2)$ av vilka $(0)$, $(0\; 1\; 2\; 3)$, $(0\; 2)(1\; 3)$ och $(0\;3\;2\;1)$ är rotationer och $(1\; 3)$, $(0\; 1)(2\; 3)$, $(0\; 2)$ och $(0\; 3)(1\; 2)$ är speglingar.
Visa permutationen:
De här permutationerna bildar en sk. dihedralgrupp och den betecknas med $D_4$ (eller med $D_{8}$).
Nästa steg är att använda Pólyas teorem för att räkna ut på hur många sätt vi kan färga noderna så att en är svart, en vit och två röda. Dessutom anser vi att två färgningar är desamma om man får den ena av den andra med rotationer och/eller speglingar. (För det här problemetbehöver man inte egentligen Pólyas teorem för det finns bara två alternativ: De röda noderna är antingen bredvid varandra eller inte.)
Vi skall först bestämma cykelindexet för gruppen $D_4$ och det får vi som medeltalet av permutationernas cykelindex och en permutations cykelindex är $t_1^{j_1}t_2^{j_1}\ldots t_n^{j_n}$ om permutationer har $j_k$ banor med längden $k$, $k=1,2,\ldots,n$. I det här fallet blir gruppens cykelindex Antalet olika färgningar är nu koefficienten för termen $svr^2$ i polynomet dvs. i polynomet \[ \frac 18(s+v+r)^4+ \frac 14 (s+v+r)^2(s^2+v^2+r^2)\\ +\frac 38(s^2+v^2+r^2)^2+ \frac 14(s^4+v^4+r^4) \] och den är \[ \frac 18 \cdot \frac{4!}{1!\cdot 1!\cdot 2!} + \frac 14 \cdot 2+0+0=2. \]
Exempel: Pólyas teorem och "tre-i-rad" [+]
Vi har ett $3\times 3$-rutfält på ett papper och i $2$ rutor har vi skrivit ett $\B x$:n, i $2$ har vi skrivit ett $\B o$:n och $5$ rutor är tomma. Det här kan vi göra på $\binom 9{2,2,5} =756$ olika sätt om vi håller pappret fixerat. Men om vi kan vrida pappret med vinkeln $0$, $\frac \pi 2$, $\pi$ eller $\frac {3\pi}2$ runt mittpunkten så minskar antalet alternativ och för att bestämma detta antal på ett systematiskt sätt skall vi undersöka hur gruppen som genereras av en rotation med vinkeln $\frac \pi 2$ verkar på rutfältet och i synnerhet bestämma dess cykelindex, dvs. bestämma banornas längder. Resultaten är följande:
- Identiteten (vridning med vinkeln $0$) har $9$ banor som alla innehåller $1$ element.
- En vridning med vinkeln $\frac \pi 2$ har $2$ banor som båda innehåller $4$ element (den ena består av hörnen och den andra de yttre rutorna mellan hörnen) och $1$ bana som innehåller $1$ element (rutan i mitten). Samma gäller om man vrider med vinkeln $\frac {3\pi}2$ vilket är detsamma som att vrida vinkeln $\frac \pi 2$ i negativ riktning.
- Om vi vrider pappret med vinkeln $\pi$ får vi $4$ banor som innehåller $2$ rutor (motsatta hörn och motsatta ytterrutor mellan hörnen) och $1$ bana som består av $1$ ruta.
Cykelindexet blir därför \begin{equation*} \zeta_{G,X}(t_1,t_2,\ldots ,t_9) = \frac 14 \left (t_1^9 +2t_1t_4^2+t_1t_2^4\right ). \end{equation*}
För att bestämma antalet icke-ekvivalenta färgningar så ersätter vi $t_j$ med $x^j+o^j+t^j$ i detta uttryck och då är koefficienten för termen $x^2o^2t^5$ antalet icke-ekvivalenta färgningar med $2$ stycken $x$, $2$ stycken $o$ och $5$ stycken $t$. Koefficienten för $x^2o^2t^5$ i uttrycket $(x+o+t)^9$ är $\dbinom{9}{2,2,5}$, uttrycket $2(x+o+t)(x^4+o^4+t^4)^2$ ger inte någon term $x^2o^2t^5$ och koefficienten för termen $x^2o^2t^5$ i uttrycket $(x+o+t)(x^2+o^2+t^2)^2$ är koefficienten för termen $x^2o^2t^4$ i uttrycket $(x^2+o^2+t^2)^2$, dvs. $\dbinom 4{1,1,2}$. Antalet alternativ blir därför
Exempel: Hur permutationer verkar på färgningar och Pólyas teorem [+]
Noderna i grafen nedan har färgats med färgningen $\omega$ där :
De permutationer $a$ av noderna i den här grafen, som är sådana att om det finns en båge mellan noderna $x$ och $y$ så finns det också en båge mellan noderna $a(x)$ och $a(y)$ är $(1)$, $(1\; 2)$, $(5\; 6)$, $(1\; 2)(5\; 6)$, $(3\; 4)(1\; 5)(2\; 6)$, $(3\; 4)(1\; 6)(2\; 5)$, $(3\; 4)(1\; 5\; 2\; 6)$ och $(3\; 4)(1\; 6\; 2\; 5)$. De här permutationerna är alltså permutationer av noderna men de verkar på färgningarna så att $a\omega(y)=\omega(a^{-1}y)$.
Visa färgningen $a\omega$ när $a=$
I det här fallet är det inte speciellt svårt att hitta alla de $5$ färgningarna med $3$ röda och $3$ gröna noder som inte är ekvivalenta under verkan av permutationerna ovan men vi skall bestämma detta antal på ett annat sätt:
Enligt Burnsides lemma är banornas antal under verkan av gruppen $G$ på mängden $\Omega$ lika med $\frac 1{\card{G}}\sum_{a\in G}\card{\Omega_a}$ där $\Omega_a=\set{\omega \in \Omega\mid a\omega=\omega}$. I det här fallet är $\Omega$ de färgningar $\omega$ av grafens noder som färgar tre noder röda och tre gröna.
Om nu $a$ är till exempel permutationen $(3\; 4)(1\; 5\; 2\; 6)$ så är $\Omega_a=\emptyset$ eftersom det följer av villkoret $a\omega=\omega$ att $\omega$ får samma värde på alla banans $\{3,4\}$ noder och samma värde på alla banans $\{1,5,2,6\}$ noder och det här är omöjligt om tre noder är röda och tre är gröna. cykelindexet för den här permutationen är $t_2t_4$ och om vi ersätter $t_2$ med $r^2+g^2$ och $t_4$ med $r^4+g^4$ så får vi polynomet $(r^2+g^2)(r^4+g^4)$ och i det här polynomet finns det inte någon term $r^3g^3$, dvs. koefficienten för termen $r^3g^3$ är $0$.
Om vi i stället betraktar permutationen $a^2=(1\; 2)(6\; 5)$ så är det följande permutationer som bildar mängden $\Omega_{a^2}$ eftersom kravet är att alla noder på samma bana får samma färg och nu är banorna $\{1,2\}$, $\{5,6\}$, $\{3\}$ och $\{4\}$:
Permutationens $a^2$ cykelindex är $t_1^2t_2^2$ så i dethär fallet kommer $\card{\Omega_{a^2}}$ att vara koefficient för termen $r^3vg^3$ i polynomet
Gruppens $G$ cykelindex är $\zeta_{G,V}(t_1,t_2,t_4)=\frac 18\Bigl(t_1^6+t_1^2t_2^2+2t_1^4t_2+2t_2^3+2t_2t_4 \Bigr )$ och koefficienten för termen $r^3g^3$ i polynomet $\zeta_{G,V}(r+g,r^2+g^2,r^4+g^4)$ är