Processing math: 100%
html Grundkurs i diskret matematik
Innehåll[-] Feedback

Permutationer och grupper

Permutationer [-]

  • En permutation av en mängd A är en bijektion AA och när man talar om permutationer antar man vanligen att |A|<.
  • Den identiska avbildningen IdA:xAxA är en permutation, den inversa funktionen α1 till en permutation α är en permutation och den sammansatta funktionen αβ av två permutationer är en permutation. Dessutom gäller (αβ)γ=α(βγ).
  • Om α är en permutation (av mängden A) så är α0=IdA, αm=αααm och αm=(α1)mm>0.

Permutationer, banor och cykelnotation [-]

Antag att A är en ändlig icke-tom mängd.

  • Om α är en permutation av A så är α:s banor mängderna {αj(x):jZ} där xA dvs. ekvivalensklasserna när ekvivalensrelationen är xy om och endast om y=αj(x) för något jZ.
  • Permutationen α av mängden A är en cykel om α(xj)=xj+1, j=1,2,,k1 och α(xk)=x1 där x1,x2,,xkA (och xixj när ij) och α(x)=x för alla xA{x1,,xk}. Med cykelnotation skriver man α=(x1x2xk). Längden av en sådan cykel α är k och man säger att α är en k-cykel. Cykelns α banor är {x1,x2,,xk} och mängderna {x} för alla xA{x1,,xk}.
  • Om α är en permutation så motsvaras varje bana av en cykel och α kan skrivas som produkten dvs. sammansatta funktionen av dessa cykler. I detta fall har cyklernas ordning ingen betydelse och -tecknet skrivs vanligen inte ut. (I detta fall finns det inget element som förekommer i flera cykler och om detta är fallet så då har det betydelse i vilken ordning cyklerna kommer.)
Exempel: [+]

Antag att α=(12345672413576), är en permutation av mängden A={1,2,3,4,5,6,7} där alltså den här beteckningen betydera att tex. α(1)=2 och α(2)=4 osv.

Nu ser vi att 12431 (dvs. α(1)=2, α(2)=4 osv.) och av detta får vi cykeln (1243) som alltså är en permutation β1 för vilken gäller β1(1)=2, β1(2)=4, β1(4)=3, β1(3)=1 och β(x)=x för alla x{5,6,7}. Eftersom α(5)=5 får vi cykeln β2=(5) för vilken gäller β2(x)=x för alla xA. Dessutom ser vi att 676 så vi får också cykeln β3=(67).

Med cykelnotation kan vi skriva α=β1β3=(1243)(67), eftersom β2 är identitetsfunktionen. Men det finns också andra sätt att uttrycka α som en produkt av cykler, tex. α=(76)(4312) eller α=(13)(14)(12)(76).

Mängderna A1={1,2,4,3}, A2={5} och A3={6,7} är permutationens α banor.

Exempel: Sammansättning av permutationer [+]

När permutationen α skrivs i formen α=(4321)(24)(1234) så har ordningen betydelse eftersom cyklerna har gemensamma element. Vi kan beskriva permutationen (1234) också med följande graf:

1
2
3
4
1
2
3
4
(1 2 3 4)

När vi bildar den sammansatta funktionen α måste vi komma ihåg att det följer av definitionen (fg)(x)=f(g(x)) att vi skall starta från höger och vi får följande graf:

1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
(1 2 3 4)
(2 4)
(4 3 2 1)

Av detta kan vi dra slutsatsen att α=(13) eftersom α()=.

Jämna och udda permutationer [+]
  • Varje cykel, vars längd vars längd är k2 kan skrivas som en produkt av k1 stycken 2-cykler eftersom (x1x2xk)=(x1xk)(x1xk1)(x1x3)(x1x2).
  • Varje permutation kan skrivas som en produkt av 2-cykler (ifall det i den underliggande mängden finns minst två element) .(
  • Ifall permutationen α kan skrivas som en produkt av r stycken och av r stycken 2-cykler så gäller (1)r=(1)r och permutationens tecken är sign(α)=(1)r.
  • Ifall α är en cykel med längden k så är sign(α)=(1)k+1.
  • Ifall α är en permutation av en mängd med n element och α har m banor så är sign(α)=(1)nm.
  • Permutationen α sägs vara jämn om sign(α)=1 och annars udda.
  • Ifall α och β är permutationer av samma mängd så gäller sign(αβ)=sign(α)sign(β).
     

Grupper [+]

En grupp är ett par [G,] där G är en mängd och är en binär operation i G dvs. en funktion G×GG så att följande villkor är uppfyllda:

  1. Slutenhet: abG om a och bG. (In följd av anatagandet att :G×GG är en funktion.)
  2. Associativitet: (ab)c=a(bc) om a, b och cG.
  3. Identitet: Det finns ett element eG så att ea=ae=a för varje aG.
  4. Invers: För varje aG finns det ett element a1G (som visar sig vara entydigt) så att aa1=a1a=e.

Obs! [-]

  • Om mängden G består av alla permutationer av någon mängd A och är sammansättning av funktioner så är [G,] en grupp.
  • Ofta säger man "G är en grupp" om det gruppoperationen är.
  • Istället för beteckningen ab (eller (a,b) om man vill betona att är en funktion) skriver man ofta ab. Som symbol för identiteten används också 1, I eller Id. Dessutom är a0=e, am=aaam och am=(a1)mm>0.
  • I definitionen av en grupp kan villkoren (c) och (d) ersättas med (de skenbart mindre krävande villkoren) att det finns ett element eG så att ea=a när aG och att om aG så finns det ett element a1G så att a1a=e. Varför? [+]
    Med stöd av de nya villkoren och associativitetsantagandet får vi (a1)1a1aa1=((a1)1a1)(aa1)=e(aa1)=aa1, och (a1)1a1aa1=(a1)1((a1)a)a1)=(a1)1(ea1)=(a1)1a1=e, så att aa1=e och det ursprungliga antagandet (d) gäller..
    Med hjälp av detta får vi aa1a=(aa1)a=ea=a, och aa1a=a(a1)a)=ae, så att ae=a och det ursprungliga villkoret (c) gäller.
    Observera att vi lika bra kunde ha tagit som nya villkor ae=a och aa1=e). Å andra sidan kan man inte ersätta villkoren (c) och (d) med ea=a och aa1=e eftersom ifall G är en mängd till vilken hör minst två element och vi definierar xy=yx och yG så gäller (a) och (b) och vi kan som identitetselement e välja vilket element som helst i G och sedan som a1 välja detta element e för varje aG$ och då gäller nog de nya villkoren men inte de ursprungliga (c) och (d).
Kommutativa eller abelska grupper [+]
Ifall [G,] är en grupp så att ab=ba för alla a och bG så är denna grupp kommutativ eller abelsk. I det här fallet betecknas gruppoperationen ofta med +, identiteten e med 0 och a:s invers med a.
Exempel på grupper [+]
  • G=Z och =+ så att identitetselementet är 0 och inversen av n är n.
  • G=]0,[ och = dvs. normal multiplikation så att identitetselementet är 1 och inversen av x är x1 dvs. 1x.
  • G=Z/7Z{[0]7} och är multiplikation av restklasser.
  • G är mängden av alla n×n-matriser vars determinant inte är noll och är multiplikation av matriser. Identitetselementet är då enhets- eller identitetsmatrisen och inversen är den inversa matrisen. Denna grupp är inte kommutativ när n2.
Delgrupper [-]

Om G (dvs. [G,]) är en grupp och H är en icke-tom delmängd av G så är H en delgrupp till G om följande villkor är uppfyllda och då är också H (dvs. [H,|H×H]) en grupp:

  • Ifall a och bH så gäller abH.
  • Ifall aH så galler a1H.
Ifall H är ändlig så följer det senare villkoret av det första eftersom [+]
om aH så följer av det första villkoret att amH för alla m1 och eftersom dessutom |H|< så måste det finnas tal j>k1 så att aj=ak (dvs. samma element förekommer på nytt). Detta betyder att ajk=e och då är a1=ajk1. Om nu jk1>0 så gäller a1H eftersom amH när m1 och om jk1=0 så är a1=e så att a=e och a1H eftersom aH.
Cykliska grupper [+]
  • Gruppen G är cyklisk om det finns ett element aG så att G={aj:jZ}. Då säger man att G är den cykliska gruppen genererad av a och man skriver G=a.
  • Ifall G är en grupp och aG så är a={aj:jZ} den cykliska delgruppen till G genererad av a.
Exempel [+]
Gruppen [Z/17Z{[0]17},] är en cyklisk grupp eftersom om tex. a=[3]17 så är {aj:j=1,2,,16}=Z/17Z{[0]17}. (Kommandot mod(3.^(1:16),17) ger som svar alla tal 1,,16.) Restklassen [13]17 genererar däremot den cykliska delgruppen [{[1]17,[13]17,[16]17,[4]17},].
Homomorfismer och isomorfismer [+]

Antag att [G1,1] och [G2,2] är två grupper och låt ψ vara en funktion: G1G2.

  • ψ är en homomorfism om ψ(a1b)=ψ(a)2ψ(b) för alla a och bG1.
  • ψ är en isomorfism om den är en homomorfism och en bijektion (och då är också ψ1 en homomorfism och således en isomorfism: G2G1).
  • Två grupper [G1,1] och [G2,2] är isomorfa om det finns en isomorfism: G1G2.

Grupperna är oväsentliga här, det viktiga är att en homomorfism "bevarar strukturen"!

Exempel på isomorfismer [+]

  • Om ψ(x)=log(x) så är ψ:]0,[R en isomorfism när räkneoperationen i mängden G1=]0,[ är multiplikation och räkneoperationen i mängden G2=R är addition, dvs. [G1,1]=[]0,[,] och [G2,2]=[R,+].
  • Ifall [G1,] är en grupp som består av av alla permutationer av mängden A1 och [G2,] är en grupp som består av alla permutationer av mängden A2 och |A1|=|A2|=m så är G1 och G2 isomorfa. Sådana grupper betecknas med Sm.
  • Varje grupp [G,] är isomorf med en delgrupp till gruppen av alla permutationer av någon mängd för man kan som mängd välj G och som isomorfism välja ψ(a)(b)=ab men av detta följer inte alltid att det skulle vara nyttigt att behandla en grupp som en sådan permutationsgrupp.
  • Ifall [G1,1] och [G2,2] är två cykliska grupper och |G1|=|G2| så är G1 och G2 isomorfa och och sådana grupper betecknas med m.
Sidoklasser [+]

Antag att G är en grupp, H en delgrupp till G och aG (och ab används istället för ab).

  • Mängden aH={ab:bH} är den vänstra sidoklassen till H som innehåller a.
  • Mängden Ha={ba:bH} är den högra sidoklassen till H som innehåller a.

Sidoklasserna har följande egenskaper (här endast de vänstra sidoklasserna):

  • |aH|=|H| för alla aG.
  • Om a och bG så antingen gäller aH=bH eller aHbH=.
  • aGaH=G.
  • Om a och bG och aH=bH så gäller b1aH.
  • |G|=|H||{aH:aG}| och därför delar talet |H| talet |G| (när båda talen är ändliga).

Exempel [+]

Om G=R2={(x,y):x,yR} och räkneoperationen är addition (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) så är H={(t,2t):tR} en delgrupp till gruppen [G,+] och dess sidoklasser är mängderna {(u+t,v+2t):tR} där (u,v)G dvs. mängderna av punkter på linjer parallella med linjen.

00.511.5−0.5−1−1.500.511.5−0.5−1−1.5
H
(u,v)
(u,v)+H
Sidoklasserna som ekvivalensklasser [+]
Antag att G är en grupp och H en delgrupp till G.
  • Relationen ab om och endast om b1aH är en ekvivalensrelation i mängden G och ekvivalensklasserna är de vänstra sidoklasserna.
  • Relationen ab om och endast om ab1H är en ekvivalensrelation i mängden G och ekvivalensklasserna är de högra sidoklasserna.
Homomorfismer, normala delgrupper och kvotgrupper [+]

Antag att G är en grupp.

  • Om G är en grupp med identitetselement e och ψ:GG är en homomorfism så är H={aG:ψ(a)=e} (ψ:s kärna) en delgrupp till G.
  • Delgruppen H till G är av typen {aG:ψ(a)=e} för någon homomorfism GG om och endast om aH=Ha för alla aG (eller, ekvivalent, aba1H för alla aG och bH). I det här fallet säger man att H är en normal delgrupp till G.
  • Om H är en normal delgrupp till G så bildar sidoklasserna (med de vänstar samma som de högra) en grupp kallad kvotgrupp som betecknas med G/H och vars gruppoperation är (aH)(bH)=(ab)H, identitet H och invers (aH)1=a1H. Funktion ψ:GG/H som definieras med ψ(a)=aH är en homomorfism med kärnan H.

Restklasser som kvotgrupper [+]

när n>1 så är nZ={nj:jZ} en delgrupp till gruppen [Z,+] och eftersom addition är en kommutativ räkneoperation så är nZ en normal delgrupp. Delgruppens nZ sidoklasser är restklasserna modulo n och de bildar kvotgruppen Z/nZ där räkneoperationen är addition.

     

Cykelindex och Pólyas sats om antalet "färgningar" [-]

Definition [-]
  • Om a är en permutation av mängden X så är a:s cykelindex funktionen ζa,X(t1,,tn)=tj11tj22tjnn där jk är antalet av a:s banor med längden k och n=|X|.
  • Om G är en grupp som består av permutationer av X så är G:s cykelindex ζG,X(t1,,tn)=1|G|aGζa,X(t1,,tn).
Exempel: Cykelindex [+]

Antag att G är gruppen som består av alla permutationer f av noderna i grafen nedan så att om det finns en båge mellan noderna x och y så finns det också en båge mellan noderna f(x) och f(y).

1
2
3
4
5
6

Eftersom endast noderna 3 och 4 har 3 grannar så är antingen f(3)=3 och f(4)=4 eller sedan f(3)=4 och f(4)=3 (eftersom det följer av villkoret att "grannar förblir grannar" att x och f(x) har lika många grannar). Noderna 1 och 2 avbildas på nodens f(3) grannar och på samma sätt avbildas noderna 5 och 6 på nodens f(4) grannar.

Därför blir de de permutationer som hör till gruppen G: (1), (12), (56), (12)(56), (34)(15)(26), (34)(16)(25), (34)(1526) ja (34)(1625).

Visa permutationen:

Nästa steg är att bestämma längderna på permutationernas banor: (1): 6 banor med 1 element.(12) och (56): 4 banor med 1 element,  1 bana med 2 element.(12)(56): 2 banor med 1 element,  2 banor med 2 element.(34)(15)(26) och (34)(16)(25): 3 banor 2 element.(34)(1526) och (34)(1625): 1 bana med 2 element,  1 bana med 4 element. Det här betyder att cykelindexet är ζG,X(t1,t2,t3,t4)=18(t61+t21t22+2t41t2+2t32+2t2t4).

Gruppverkan [+]
  • Om G dvs. [G,] är en grupp och X är en mängd så är verkan av G på mängden X en homomorfism från G till gruppen av alla permutationer av X.
  • Om en sammansatt definition definieras (på det normala sättet) så att (fg)(x)=f(g(x)) så får man en vänsterverkan och om man definierar x(fg)=(xf)g så får man en högerverkan. I stället för att skriva ψ(a)(x) där ψ är homomorfismen, aG och xX skriver man oftast ax och säger att G verkar på mängden X. För en vänsterverkan blir homomorfismegenskapen (ab)x=a(bx), a,bG, xX.
  • Om G är en grupp med permutationer av X så är identitetsfunktionen homomorfismen och verkan-begreppet behövs inte.
  • Om G är en grupp så verkar den på sig själv, till exempel så att ψ(a)(x)=ax (vänsterverkan), ψ(a)(x)=axa1 (vänsterverkan), ψ(a)(x)=xa (högerverkan) eller ψ(a)(x)=a1xa (högerverkan).
Banor, stabilisatorer och fixpunktsmängder [+]
Antag att G är en grupp som verkar på mängden X (från vänster).
  • Om xX så är dess bana under verkan av G mängden Gx={ax:aG}X.
  • Om xX så är dess bana under verkan av elementet aG mängden ax ={ajx:jZ}X.
  • Om xX så är dess stabilisator under verkan av G delgruppen Gx={aG:ax=x}G.
  • Om aG så är dess fixpunktsmängd delmängden Xa={xX:ax=x}X.
    (Den här mängden betecknas ibland med Xa eller F(a).)
  • För varje xX gäller |Gx||Gx|=|G|. Varför [+]

    Vi antar att G är en ändlig grupp. Om H är en delgrupp till G så gäller |H|m=|G| där m är antalet (tex. vänstra) sidoklasser till H (eftersom alla sidoklasser innehåller lika många element som H och unionen av dem är G). Eftersom Gx är en delgrupp till G så kan vi ta H=Gx och det räcker att konstruera en bijektion ψ från mängden av alla sidoklasser till Gx till banan Gx för då får vi m=|Gx| av vilket följer att |G|=|Gx||Gx|.

    Vi definierar ψ(aGx)=ax. Om a1Gx=a2Gx så gäller a12a1Gx så att a12a1x=x och därför a1x=a2x vilket betyder att ψ är väldefinierad.

    Om a1x=a2x så gäller a12a1x=x så att a12a1Gx, av vilket följer att a1Gx=a2Gx dvs. ψ är en injektion.

    Om yGx så finns det ett element aG så att y=ax och då är y=ψ(aGx) dvs. ψ är en surjektion.

  • Om man i mängden X definierar relationen så att xy om och endast om x=ay för något aG så är en ekvivalensrelation och ekvivalensklasserna är banorna under verkan av G, dvs. mängderna Gx där xX.
Exempel: Gx, Gx och Xa [+]
Antag att X={1,2,3,4} och att G är följande grupp permutationer av X: G={(1),(12),(34),(12)(34)}. Om nu x är elementet 3 så är dess stabilisator G3={aG:a3=3}={(1),(12)}, och dess bana G3={3,3,4,4}={3,4}. Om dessutom a är permutationen (12) så är fixpunktsmängd Xa={xX:ax=x}={3,4}. I det här fallet säger resultatet |G|=|Gx||Gx| inget annat än att 4=22.
Den cykliska gruppen genererad av en permutation [+]
Antag att α=β1β2βk är en permutation av mängden X där cyklerna βj, j=1,k inte har några gemensamma element och där längden av cykeln βj är bj och låt G vara den cykliska gruppen genererad av α. Då gäller följande:
  • βrj är identitetsfunktionen om och endast om bj|r.
  • Antalet element |G| i den cykliska gruppen genererad av α är talens b1,b2,,bk minsta gemensamma multipel eftersom |G| är minsta möjliga tal q så att αq är identitetsfunktionen (dvs. samma som α0).
  • Om βj=(x1x2xbj) och 1ibj så är βmjxi=αmxi=xi när 0m<|G| om och endast om bj|m, av vilket följer att stabilisatorn Gxi är Gxi={αm:m=0,bj,2bj,,(|G|bj1)bj}.
Antalet banor under verkan av en grupp (Burnsides lemma) [+]
Antag att G är en (ändlig) grupp som verkar på mängden X. Då är antalet banor under verkan av gruppen G på mängden X 1|G|aG|Xa|. Varför? [+]
Låt E={[a,x]G×X:ax=x}. Genom att byta summeringsordning får vi |E|=aG|{xX:ax=x}|=xX|{aG:ax=x}|, så att aG|Xa|=xX|Gx|.
Vi betecknar mängden av banor med X/G:llä och de är ekvivalensklasser när ekvivalensrelationen är xy om och endast om x=ay för något aG. Olika banor har inga gemensamma element och unionen av alla banor är X dvs. X=RX/GR. Eftersom |Gx|=|G||Gx| och Gx är banan till vilken elementet x hör så får vi påståendet med hjälp av följande räkning: aG|Xa|=xX|Gx|=RX/GxR|Gx|=RX/GxR|G||Gx|=|G|RX/GxR1|R|=|G|RX/G1|R|xR1=|G|RX/G1=|G||X/G|.         
    
Gruppverkan och "färgningar" [+]
  • En färgning av en mängd X är en funktion ω:XK där K är en mängd "färger".
  • Om gruppen G verkar på mängden X, i synnerhet om G:s element ät permutationer av X, så verkar G på mängden KX av alla färgningar så att (aω)(x)=ω(a1x), aG, xX.
  • Detta är en vänsterverkan eftersom (a(bω))(y)=(bω)(a1y)=ω(b1a1y)=ω((ab)1y)=((ab)ω)(y).
  • Om ΩKX är en delmängd av alla färgningar av X så verkar G på mängden Ω ifall GΩ=Ω.
  • Verkan av G på en mängd färgningar Ω bestämmer en ekvivalensrelation i Ω så att ωη om och endast om ω=aη för något aG och då anser man att dessa färgningar desamma.
  • Antalet "olika" eller icke-ekvivalenta färgningar under verkan av G är samma som antalet ekvivalensklasser och därmed samma som antalet banor under verkan av G på mängden av färgningar.
Antalet banor under verkan av en grupp på en mängd färgningar [+]

Om G är en grupp permutationer av mängden X och G verkar på mängden Ω som består av färgningar av X så är antalet "olika" färgningar under verkan av G, dvs. antalet banor (enligt Burnsides lemma) 1|G|aG|Ωa|, där Ωa={ωΩ:aω=ω} är mängden av de färgningar som är invarianta, dvs. fixpunkter, under verkan av a.

Om aG och a:s banor är Ra,1,Ra,2,,Ra,ma och om ω är en färgning av X (dvs. en funktion: XK där K är en mängd färger) så gäller aω=ω om och endast om ω är konstant på varje bana Ra,j, j=1,,ma. Varför? [+]
Eftersom aω=ω så gäller ajω=ω för alla jZ. Om nu x och y hör till samma bana under verkan av a så finns det ett heltal j så att ajx=y dvs. ajy=x. Det är en följd av att ajω=ω och av definitionen hur aG verkar på färgningar att ω(y)=(ajω)(y)=ω(ajy)=ω(x). Om å andra sidan ω är konstant på varje bana så gäller ω(x)=ω(a1x) för alla xX. Av detta följer att ω(x)=(aω)(x) för alla x, dvs. ω=aω.            
     

Pólyas teorem om antalet "färgningar" [-]

Antag att G är en grupp permutationer av mängden X och att ζG,X(t1,t2,,tn) är dess cykelindex. Låt K={f1,f2,,fr} vara en mängd "färger" med vilka elementen i X färgas.

Då är koefficienten för monomet fi11fi22firr, i polynomet ζG,X(f11++f1r,f21++f2r,,fn1++fnr) antalet färgningar av elementen i X så att färgen fj används exakt ij gånger (dvs. |{xX:ω(x)=fj}|=ij) och som inte är ekvivalenta under verkan av G.

Om man använder r färger men det inte finns andra begränsningar så är antalet under verkan av G icke-ekvivalenta färgningar ζG,X(r,r,,r).

Exempel: Färgning av en 4-hörning [+]
0
1
2
3

Låt X={0,1,2,3}. Eftersom det finns 4 element i X så finns det 4!=24 permutationer av mängden X. Men om elementen i X är noderna i grafen till vänster och om vi kräver av en permutation a att om x och y är grannar så är också a(x) och a(y) grannar (dvs. vi kräver att a är en grafisomorfism) så förändras situationen.

I det här fallet kan 0 avbildas på vilken som helst av noderna 0, 1, 2 eller 3. Men a(1) skall vara a(0):s granne vilket betyder att a(1)=mod(a(0)+1,4) eller mod(a(0)1,4). Eftersom a(2) inte kan vara a(0):s granne så är a(2)=mod(a(0)+2,4) och på motsvarande sätt a(3)=mod(a(1)+2,4).

På ett annat sätt: Grafen kan roteras kring "mittpunkten" 0, 90, 180 eller 270 grader eller speglas i x-axeln, y-axeln, linjen y=x eller linjen y=x (när "mittpunkten" väljs till origo).

Vi får alltså följande permutationer som med cykelnotation är: (0), (13), (0123), (01)(23), (02)(13), (02), (0321) och (03)(12) av vilka (0), (0123), (02)(13) och (0321) är rotationer och (13), (01)(23), (02) och (03)(12) är speglingar.

Visa permutationen:

De här permutationerna bildar en sk. dihedralgrupp och den betecknas med D4 (eller med D8).

Nästa steg är att använda Pólyas teorem för att räkna ut på hur många sätt vi kan färga noderna så att en är svart, en vit och två röda. Dessutom anser vi att två färgningar är desamma om man får den ena av den andra med rotationer och/eller speglingar. (För det här problemetbehöver man inte egentligen Pólyas teorem för det finns bara två alternativ: De röda noderna är antingen bredvid varandra eller inte.)

Vi skall först bestämma cykelindexet för gruppen D4 och det får vi som medeltalet av permutationernas cykelindex och en permutations cykelindex är tj11tj12tjnn om permutationer har jk banor med längden k, k=1,2,,n. I det här fallet blir gruppens cykelindex ζD4,X(t1,t2,t3,t4)=18(t41+t21t2+t4+t22+t22+t21t2+t4+t22). Antalet olika färgningar är nu koefficienten för termen svr2 i polynomet ζD4,X(s+v+r,s2+v2+r2,s3+v3+r3,s4+v4+r4), dvs. i polynomet 18(s+v+r)4+14(s+v+r)2(s2+v2+r2)+38(s2+v2+r2)2+14(s4+v4+r4) och den är 184!1!1!2!+142+0+0=2.

Exempel: Pólyas teorem och "tre-i-rad" [+]

Vi har ett 3×3-rutfält på ett papper och i 2 rutor har vi skrivit ett x:n, i 2 har vi skrivit ett o:n och 5 rutor är tomma. Det här kan vi göra på (92,2,5)=756 olika sätt om vi håller pappret fixerat. Men om vi kan vrida pappret med vinkeln 0, π2, π eller 3π2 runt mittpunkten så minskar antalet alternativ och för att bestämma detta antal på ett systematiskt sätt skall vi undersöka hur gruppen som genereras av en rotation med vinkeln π2 verkar på rutfältet och i synnerhet bestämma dess cykelindex, dvs. bestämma banornas längder. Resultaten är följande:

  • Identiteten (vridning med vinkeln 0) har 9 banor som alla innehåller 1 element.
  • En vridning med vinkeln π2 har 2 banor som båda innehåller 4 element (den ena består av hörnen och den andra de yttre rutorna mellan hörnen) och 1 bana som innehåller 1 element (rutan i mitten). Samma gäller om man vrider med vinkeln 3π2 vilket är detsamma som att vrida vinkeln π2 i negativ riktning.
  • Om vi vrider pappret med vinkeln π får vi 4 banor som innehåller 2 rutor (motsatta hörn och motsatta ytterrutor mellan hörnen) och 1 bana som består av 1 ruta.

Cykelindexet blir därför ζG,X(t1,t2,,t9)=14(t91+2t1t24+t1t42).

För att bestämma antalet icke-ekvivalenta färgningar så ersätter vi tj med xj+oj+tj i detta uttryck och då är koefficienten för termen x2o2t5 antalet icke-ekvivalenta färgningar med 2 stycken x, 2 stycken o och 5 stycken t. Koefficienten för x2o2t5 i uttrycket (x+o+t)9 är (92,2,5), uttrycket 2(x+o+t)(x4+o4+t4)2 ger inte någon term x2o2t5 och koefficienten för termen x2o2t5 i uttrycket (x+o+t)(x2+o2+t2)2 är koefficienten för termen x2o2t4 i uttrycket (x2+o2+t2)2, dvs. (41,1,2). Antalet alternativ blir därför 14((92,2,5)+0+(41,1,2))=14(756+12)=192.

Exempel: Hur permutationer verkar på färgningar och Pólyas teorem [+]

Noderna i grafen nedan har färgats med färgningen ω där $\omega(1)=p$, $\omega(2)=v$, $\omega(3)=p$, $\omega(4)=v$, $\omega(5)=v$ och $\omega(6)=p$:

1
2
3
4
5
6

De permutationer a av noderna i den här grafen, som är sådana att om det finns en båge mellan noderna x och y så finns det också en båge mellan noderna a(x) och a(y) är (1), (12), (56), (12)(56), (34)(15)(26), (34)(16)(25), (34)(1526) och (34)(1625). De här permutationerna är alltså permutationer av noderna men de verkar på färgningarna så att aω(y)=ω(a1y).

Visa färgningen aω när a=

I det här fallet är det inte speciellt svårt att hitta alla de 5 färgningarna med 3 röda och 3 gröna noder som inte är ekvivalenta under verkan av permutationerna ovan men vi skall bestämma detta antal på ett annat sätt:

Enligt Burnsides lemma är banornas antal under verkan av gruppen G på mängden Ω lika med 1|G|aG|Ωa| där Ωa={ωΩ:aω=ω}. I det här fallet är Ω de färgningar ω av grafens noder som färgar tre noder röda och tre gröna.

Om nu a är till exempel permutationen (34)(1526) så är Ωa= eftersom det följer av villkoret aω=ω att ω får samma värde på alla banans {3,4} noder och samma värde på alla banans {1,5,2,6} noder och det här är omöjligt om tre noder är röda och tre är gröna. cykelindexet för den här permutationen är t2t4 och om vi ersätter t2 med r2+g2 och t4 med r4+g4 så får vi polynomet (r2+g2)(r4+g4) och i det här polynomet finns det inte någon term r3g3, dvs. koefficienten för termen r3g3 är 0.

Om vi i stället betraktar permutationen a2=(12)(65) så är det följande permutationer som bildar mängden Ωa2 eftersom kravet är att alla noder på samma bana får samma färg och nu är banorna {1,2}, {5,6}, {3} och {4}:

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6

Permutationens a2 cykelindex är t21t22 så i dethär fallet kommer |Ωa2| att vara koefficient för termen r3vg3 i polynomet (r+g)2(r2+g2)2=r6+2r5g+3r4g2+4r3g3+3r2g4+2rg5+g6.

Gruppens G cykelindex är ζG,V(t1,t2,t4)=18(t61+t21t22+2t41t2+2t32+2t2t4) och koefficienten för termen r3g3 i polynomet ζG,V(r+g,r2+g2,r4+g4) är 18(6!3!3!+22+2(4!3!1!1+4!3!1!1)+20+20)=408=5.

Senast modifierad: G. Gripenberg, 2017-10-09