Peruskäsitteet ja -merkinnät [-]

Joukko on kokoelma alkioita ja merkintä \[x\in A\] (tai $A\ni x$) kertoo, että \(x\) kuuluu joukkoon \(A\) eli \(x\) on joukon \(A\) alkio. Vastaavasti kirjoitamme \(x\notin A\) kun \(x\) ei kuulu joukkoon \(A\) eli \(x\) ei ole joukon \(A\) alkio.

Esimerkiksi $\{2,0,1,6\}$ on joukko johon kuuluvat luvut $2$, $0$, $1$ ja $6$ mutta järjestyksellä ei ole merkitystä koska joukot $A$ ja $B$ ovat samat kun ne sisältävät täsmälleen samat alkiot eli kaikilla $x$ pätee, että $x\in A$ jos ja vain jos $x\in B$. Näin ollen $\{2,0,1,6\}=\{0,1,2,6\}$ mutta pätee myös $\{2,0,1,6\}=\{0,0,1,1,1,2,6,6\}$ koska alkio joko kuuluu joukkoon tai sitten ei mutta se ei voi kuulua kaksi kertaa kyseiseen joukkoon.

Jos joukkoon kuluu monta alkiota voimme kirjoittaa esimerkiksi \(A=\{1,2,3,\ldots, 2016\}\) tai \(B=\{2,4,6,\ldots\}\) jos luulemme, että on selvää mitä ''\(\ldots\)'' tarkoittaa. Parempi tapa on kuitenkin esittää joukot muodossa \[ A=\{x\in B\mid P(x)\}\] missä \(B\) on jokin tunnettu joukko ja \(P(x)\) on jokin lauseke joka on joko tosi tai epätosi kun \(x\in B\) jolloin siis joukko \(A\) on kaikkien niiden joukon \(B\) alkioiden \(x\) muodostama joukko, joilla ehto \(P(x)\) on voimassa. Esimerkiksi [+]

joukko $\set{x\in \R \mid x^2 <9}$ on sama joukko kuin $\set{x\in \R\mid -3< x< 3}$ eli avoin väli $]-3,3[$.

Määritelmiä [-]

• Tyhjä joukko: $\emptyset=\{\}$ on joukko, johon ei kuulu yhtään alkiota, eli $x\in \emptyset$ on aina epätosi.
• Yhdiste eli unioni: $x\in A\cup B$ jos ja vain jos $x\in A$ tai $x\in B$. [+]
  Esimerkki: $\{a,b,c\}\cup \{d,e,a\}= \{a,b,c,d,e\}$

  Joukko $A$ Joukko $B$ Joukko $A\cup B$

  
• Yhdiste eli unioni yleisemmin: $x\in \cup_{j=1}^n A_j$ jos ja vain jos $x\in A_j$ jollakin $j=1,2,\ldots, n$. [+] Vielä yleisemmin: $x\in \cup_{j\in J} A_j$ jos ja vain jos $x\in A_j$ jollakin $j\in J$ ja $x\in \cup_{j=1}^\infty A_j$ jos ja vain jos $x\in A_j$ jollakin $j=1,2,3,\ldots$, mutta joukko $A_\infty$ ei esiinny tässä.
• Leikkaus: $x\in A\cap B$ jos ja vain jos $x\in A$ ja $x\in B$. [+]
  Esimerkki: $\{a,b,c\}\cap \{d,e,a\}= \{a\}$

  Joukko $A$ Joukko $B$ Joukko $A\cap B$

  
• Leikkaus yleisemmin: $x\in \cap_{j=1}^n A_j$ jos ja vain jos $x\in A_j$ kaikilla $j=1,2,\ldots,n$. [+] Vielä yleisemmin: $x\in \cap_{j\in J} A_j$ jos ja vain jos $x\in A_j$ kaikilla $j\in J$ ja $x\in \cap_{j=1}^\infty A_j$ jos ja vain jos $x\in A_j$ kaikilla $j=1,2,3,\ldots$, mutta joukko $A_\infty$ ei esiinny tässä.
• Joukkoerotus: $x\in A\setminus B$ jos ja vain jos $x\in A$ ja $x\notin B$ [+]
  Esimerkki: $\{a,b,c\}\setminus \{d,e,a\}= \{b,c\}$

  Joukko $A$ Joukko $B$ Joukko $A\setminus B$

  
• Osajoukko: $A \subseteq B$ jos ja vain jos jokainen $A$:n alkio on myös $B$:n alkio. [+]
  Esimerkki: $\{b,c\}\subseteq \{a,b,c,d\}$

  Joukko $A$ Joukko $B$ Tässä tapauksessa $A\subseteq B$

  
• $A=B$ jos ja vain jos $A\subseteq B$ ja $B\subseteq A$ eli jos täsmälleen samat alkiot kuuluvat sekä joukkoon $A$ että joukkoon $B$.
• Potenssijoukko: $\mathcal P(A)$ on joukon kaikkien osajoukkojen muodostama joukko.
• $\N_0=\{0,1,2,3,\ldots \}$ on luonnollisten lukujen (mukaanlukien $0$) joukko.
• Merkinnällä $\N$ tarkoitetaan joko joukkoa $\N_0$ tai joukkoa $\N_+=\{1,2,3,\ldots\} = \N_0\setminus \{0\}$.
• $\Z=\{ \ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ on kokonaislukujen joukko.
• $\Q= \set{\frac pq\mid p,q\in \Z,\, q\neq 0}$ on rationaalilukujen joukko.
• $\R$ on reaalilukujen joukko.

Huom! [+]

• Unionissa ja leikkauksessa joukkojen järjestykselä ei (tietenkään) ole mitään merkitystä, mutta esimerkiksi
  $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)$ ja
  $A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap (A\cup C)$.
• $\{\emptyset\}$ ei ole sama joukko kuin $\emptyset$ koska $ \emptyset\in \{\emptyset\}$ mutta $\emptyset\notin \emptyset$ (ja molemmat väitteet suoraan määritelmän mukaan).
• Käsite "osajoukko" ($\subseteq$) ei ole sama asia kuin käsite "alkio" ($\in$) mikä ei estä sitä, että esimerkiksi pätee sekä $\emptyset \subseteq \{\emptyset\}$ että $\emptyset \in \{\emptyset\}$, (edellinen koska aina pätee $\emptyset \subseteq A$).
• Usein käytetään symbolia $\subset$ symbolin $\subseteq$:n sijasta ja kirjoitetaan $A\subsetneq B$ kun $A\subseteq B$ mutta $A\neq B$ joten analogia symbolien $\leq$ ja $<$ kanssa ei ole täydellinen.
• Usein kirjoitetaan $\set {x\in B\mid P(x)}$ sijasta $\set{x\in B\,|\, P(x)}$ mutta tämä jälkimmäinen merkintä voi aiheuttaa sekaannusta kun todennäköisyyslaskennassa käsitellään ehdollisia todennäköisyyksiä.
• Edellä olevat määritelmät ovat (toivottavasti) aika selkeitä ja luonnollisia mutta ne eivät sano juuri mitään siitä miksi kannattaisi tutustua niihin. Varsinainen vastaus tähän kysymykseen saadaan vasta kun joudutaan tekemisiin hankalien kysymysten kanssa vaikka vähemmän hankalissa tilanteissa ei ole ainakaan mitään haittaa siitä, että käytetään joukko-opillisia merkintöjä.

Russellin paradoksi [+]

Esimerkki: Ei-negatiiviset kokonaisluvut joukkoina [+]