Joukon mahtavuus eli kardinaliteetti [-]
Jos $A$ on joukko niin $\card{A}$ on $A$:n alkioden lukumäärä, eli kardinaliteetti eli mahtavuus. Jos tämä luku on äärellinen niin ainoa, mutta usein kaikkea muuta kuin yksinkertainen, ongelma voi olla miten tämä luku määritetään, ja tätä varten käytetään usein erilaisia kombinatorisia menetelmiä.
Mutta jos se ei ole äärellinen niin osoittautuu, ettei vastaukseksi aina kelpaa "ääretön" ja sen sijaan lähtökohdaksi otetaan huomio, että jos kahden äärellisen joukon välillä on bijektio, niin joukoissa on yhtä monta elementtiä.
Täsmällisemmin: [+]- Kahdella joukolla $A$ ja $B$ on sama lukumäärä alkioita eli ne ovat yhtä mahtavia ja $\card A =\card B $, jos on olemassa bijektio $A\to B$.
- Joukolla $A$ on vähemmän tai yhtä monta alkiota kuin joukolla $B$, eli $\card A\leq \card B$, jos on olemassa injektio $A\to B$. Erityisesti, $\card{A}\leq \card{B}$ jos $A\subseteq B$.
- Joukolla $A$ on vähemmän alkioita kuin joukolla $B$, eli $\card A< \card B$, jos on olemassa injektio $A\to B$ mutta ei bijektiota $A\to B$.
- Jos $A=\{0,1,2,\ldots ,n-1\}$ niin $\card A=n$ ja $\card\emptyset =0$.
- Joukko $A$ on äärellinen jos on olemassa $n\in \N_0$ siten, että $\card A=n$.
- Joukko $A$ on numeroituva jos $\card{A}=\card{\N_0}$ ja ylinumeroituva jos $\card{\N_0} < \card{A}$.
Esimerkki: $\card{\Z}=\card{\N_0}$ [+]
Äärettömän joukon karakteristinen ominaisuus onkin, että siitä voidaan poistaa alkioita ilman, että jäljelle jäävien alkioiden "lukumäärä" muuttuu.
Esimerkki: $\card{\Q}= \card{\Z}$ [+]
Olkoon $\Q_+=\set{x\in \Q\mid x>0}$ ja $\N_+=\set {n\in\Z\mid n>0}$. Jos konstruoimme surjektion $h:\N_+\to \Q_+$ niin saamme injektion $f:\Q_+\to N_+$ määrittelemällä \[ f(x)= \min\set{j\in \N_+\mid h(j)=x}, \] ja siitä injektion $f:\Q\to \Z$ määrittelemällä $f(0)=0$ ja $f(-x)= -f(x)$ kun $x\in \Q_+$ joten $\card{\Q}\leq \card{\Z}$. Koska selvästikin $\card{\Z} \leq \card{\Q}$ niin $\card{\Q}= \card{\Z}$.
Meidän pitää siis konstruoida surjektio $h: \N_+\to \Q_+$ ja tämän
teemme seuraavalla tavalla:
Kun $n\geq 0$ on parillinen niin
\[
h\left(\frac {n\cdot(n+1)}2+j\right )= \frac j{n+2-j}, \quad
j=1,\ldots,n+1,
\]
ja kun $n\geq 0$ on pariton niin
\[
h\left(\frac {n\cdot(n+1)}2+j\right )= \frac {n+2-j}j, \quad
j=1,\ldots,n+1.
\]
Huomaa, että
$\dfrac {n(n+1)}2+(n+1)= \dfrac {(n+1)((n+1)+1)}2$.
Tämä funktio on surjektio koska jos $x\in \Q_+$ niin $x=\frac pq$ missä $p\geq 1$ ja $q\geq 1$ ja jos valitsemme $n=p+q-2$ niin $p\leq n+1$ ja $q\leq n+1$ joten jos $n$ on parillinen niin \[ h\left(\frac {n\cdot(n+1)}2+p\right )= \frac pq=x, \] ja jos $n$ on pariton niin \[ h\left(\frac {n\cdot(n+1)}2+q\right )=\frac pq=x. \]
Summaperiaate [-]
Yksinkertaisin muoto:
Jos $A$ ja $B$ ovat kaksi (äärellistä) joukkoa
siten, että $A\cap B=\emptyset$ niin
\begin{equation*}
\card{A\cup B}= \card A + \card B.
\end{equation*}
Tästä seuraa, että jos $B\subseteq A$ niin $\card{A\setminus B} =
\card{A}-\card{B}$.
Yleinen tapaus eli seulaperiaate [-]
Pari epäyhtälöä [+]
-
Koska $A_1\cap A_2\cap
A_3 \subseteq A_1\cap A_2$ niin $\card{A_1\cap A_2\cap A_3} \leq
\card{A_1\cap A_2}$.
Samoin pätee $\card{A_1\cap A_2\cap A_3} \leq \card{A_2\cap A_3}$ ja $\card{A_1\cap A_2\cap A_3} \leq \card{A_1\cap A_3}$. - Koska $(A_1\cap A_2)\cup (A_1\cap A_3)= A_1\cap (A_2\cup A_3)\subseteq A_1$ niin josta seuraa, että \[ \card{A_1\cap A_2\cap A_3} \geq \card{A_1\cap A_2} + \card{A_1\cap A_3} - \card {A_1}. \] Vaihtamalla $A_1$, $A_2$ ja $A_3$ keskenään saamme myös epäyhtälöt \[ \card{A_1\cap A_2\cap A_3} \geq \card{A_1\cap A_2} + \card{A_2\cap A_3} - \card {A_2}\] ja \[ \card{A_1\cap A_2\cap A_3} \geq \card{A_1\cap A_3} + \card{A_2\cap A_3} - \card {A_3}.\]
Tuloperiaate [-]
Yksinkertaisin muoto:
Jos $A$ ja $B$ ovat kaksi (äärellistä) joukkoa niin
\begin{equation*}
\card{A\times B} = \card A \cdot \card B.
\end{equation*}
Yleinen tapaus[-]
Esimerkki [+]
Opiskelijat P, Q ja R tulevat tietokonesaliin, missä on $4$ vapaata paikkaa $a$, $b$, $c$ ja $d$. Jos haluamme laskea monellako tavalla he voivat valita paikkansa niin ensin toteamme, että jos P saa ensimmäisenä valita paikkansa niin hänellä on vaihtoehtoa.
Jos Q tekee valintansa seuraavana hänellä on vaihtoehtoa.
Jos R tekee valintansa viimeisenä hänellä on enää vain vaihtoehtoa.
Näin ollen vaihtoehtojen lukumäärä on $4\cdot 3\cdot 2=24$.
Lokero- eli kyyhkyslakkaperiaate [+]
Jos $m\geq 1$ esinettä laitetaan $n\geq 1$ lokeroon niin ainakin yhdessä lokerossa on vähintään $\displaystyle \left\lceil\frac mn\right\rceil$ esinettä!
Miksi? [+]Esimerkki [+]
Olkoon $S$ joukon $\{1,2,\ldots,2\cdot n-1,2\cdot n\}$ osajoukko siten, että $\card{S}=n+1$. Silloin joukkoon $S$ kuuluu kaksi eri lukua $a$ ja $b$ siten, että joko $a$ jakaa $b$:n tai $b$ jakaa $a$:n (eli $b=a\cdot m$ tai $a=b\cdot n$).
Miksi? [+]- Voimme esittää $S$:n luvut muodossa $2^{k_j}\cdot q_j$ missä $k_j\geq 0$, $1\leq q_j\leq 2\cdot n$, $q_j$ on pariton, $j=1,2,\ldots, n+1$ ja lisäksi $[k_i,q_i]\neq [k_j,q_j]$ kun $i\neq j$.
- Parittomat luvut $q_j$, $j=1,\ldots ,n+1$ kuuluvat siis joukkoon $\{1,2,\ldots,2\cdot n-1,2\cdot n\}$ ja tässä joukossa on $n$ paritonta lukua $1,3,5,\ldots, 2\cdot n-1$.
- Lokeroperiaatteen nojalla on olemassa luvut $i\neq j$ siten, että $q_i=q_j$ jolloin $k_i\neq k_j$ koska $[k_i,q_i]\neq [k_j,q_j]$.
- Voimme valita $a=2^{k_i}\cdot q_i$ ja $b=2^{k_j}\cdot q_j$ jolloin väite pätee koska joko $k_i< k_j$ jolloin $b=a\cdot 2^{k_j-k_i}$ tai $k_j< k_i$ jolloin $a=b\cdot 2^{k_i-k_j}$.
Kertoma $n!$ [+]
Binomikerroin $\binom nk$[+]
Otokset: Järjestetty - järjestämätön, palauttamatta - palauttaen [+]
Yhteenveto [-]
Kun joukosta, jossa on $n$ alkiota valitaan $k$ alkiota niin tämä voidaan tehdä joko palauttamatta tai palauttaen ja otos voi olla järjestetty tai järjestämätön jolloin vaihtoehtojen lukumäärät ovat seuraavat:
Palauttamatta | Palauttaen | |
Järjestetty | $\dfrac {n!}{(n-k)!}$ | $\displaystyle n^k $ |
Järjestämätön | $\dbinom {n}{k}$ | $\dbinom {k+n-1}{n-1} $ |
Järjestetty otos palauttamatta [-]
Järjestetty otos palauttaen [-]
Järjestämätön otos palauttamatta eli osajoukon valinta [-]
Järjestämätön otos palauttaen [-]
Olkoon esimerkiksi $n=6$ ja $A=\{x_1,x_2,\ldots,x_6\}$. Kun valitsemme esimerkiksi $k=11$ kertaa alkion joukosta $A$ eikä valintajärjestyksellä ole merkitystä niin tulos voi olla esimerkiksi seuraava: \begin{equation*} x_1\; x_1\; x_2\; x_4\; x_4\; x_4\; x_5\; x_5\; x_6\; x_6\; x_6 \end{equation*} Sen sijaan, että kirjoitamme auki alaindeksit niin voimme käyttää erotusmerkkiä $|$ osoittamaan missä kohdissa indeksi muuttuu jolloin lista näyttää seuraavanlaiselta: \[ x\; x\; |\; x\; |\;| \; x\;x\;x\;|\: x\;x\;|\; x\;x\;x \] ja $|\;|$ tarkoittaa, ettemme ole valinneet alkiota $x_3$ kertaakaan.
Jos siis muodostamme jonon, jonka pituus on $k+(n-1)$ ja jossa on $k$ kertaa $x$ ja $n-1$ kertaa $|$ niin saamme otoksen, jonka koko on $k$ ja joka on otettu palauttaen joukosta $A=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ missä valintajärjestyksellä ei ole merkitystaä. Jonot missä $x$:t ja $|$:t ovat eri paikoissa määrittävät erilaiset otokset ja konstruimme tällaisen jonon valitsemalla (palauttamatta ja ilman järjestystä) ne $k$ paikkaa $k+(n-1)$-pituisesta jonosta joihin tulee $x$ tai vastaavasti ne $n-1$ paikkaa, joihin tulee $|$. Näin ollen vaihtoehtojen lukumääräksi tulee $\binom {k+n-1}{n-1}=\binom{k+n-1}{k}$.
Allokointimalli eli vaihtoehtoinen ajattelutapa [-]
- Numeroidut pallot $\leftrightarrow$ Järjestetty otos
- Identtiset pallot $\leftrightarrow$ Järjestämätön otos
- Jokaiseen laatikkoon korkeintaan yksi pallo $\leftrightarrow$ Otos palauttamatta
- Jokaiseen laatikkoon mielivaltainen määrä palloja $\leftrightarrow$ Otos palauttaen
Pallojen lukumäärä laatikoissa | ||
korkeintaan $1$ | ei rajoituksia | |
Numeroidut pallot | $\dfrac {n!}{(n-k)!}$ | $\displaystyle n^k $ |
Identtiset pallot | $\dbinom {n}{k}$ | $\dbinom {k+n-1}{n-1} $ |
Esimerkki [+]
Tässä oletetaan, että tehtäväpaperit ovat identtiset mutta tenttijät eivät ole.
Ensimmäinen, järkevä, vaihtoehto on että jokaiselle tenttijälle annetaan korkeintaan yksi paperi. Silloin on kysymys siitä monellako tavalla voimme $160$ henkilön joukosta valita ne $150$, jotka saavat paperin. Tässä on kyse järjestämättömästä otoksesta palauttamatta joten vaihtoehtoja on $\displaystyle \binom {160}{150}=\binom{160}{10}$.
Toinen, vähemmän järkevä, vaihtoehto on, ettei aseteta mitään rajoituksia sille montako paperia sama henkilö voi saada. Silloin valvojat valitsevat $150$ kertaa tenttijän, jolle paperi annetaan, joukosta, jossa on $160$ alkiota, ''palauttaen'' eikä valintajärjestyksellä ole merkitystä. Vaihtoehtojen lukumääräksi tulee silloin $\displaystyle \binom {150+ 160-1}{160-1} = \frac {309!}{159!\cdot 150!}$.
Esimerkki [+]
Esimerkki [+]
Multinomikerroin [+]
- $\dbinom {n}{n_1,n_2,\ldots,n_m}$ on vaihtoehtojen lukumäärä kun joukko $A$ jaetaan osajoukoiksi $A_j$, $j=1,\ldots,m$ siten, että $\cup_{j=1}^m A_j=A$, $A_i\cap A_j=\emptyset$ kun $i\neq j$, ja $\card{A_j}=n_j$.
- $\dbinom{n}{n_1,n_2,\ldots, n_m}$ on vaihtoehtojen lukumäärärä kun järjestetään $n_1$ oliota tyyppiä $y_1$, $n_2$ tyyppiä $y_2$ jne. missä $n=n_1+n_2+\ldots +n_m$ ja samaa tyyppiä olevat oliot ovat identtiset.
- Jos $A$ on joukko, jossa on $n$ alkiota ja $B=\{y_1,\ldots ,y_m\}$ on joukko, jossa on $m$ alkiota ja $n_1, n_2,\ldots,n_m$ ovat ei-negatiivisia lukuja siten, että $n_1+n_2+\ldots n_m=n$ niin $\dbinom{n}{n_1,n_2,\ldots, n_m}$ on niiden funktioiden $f:A\to B$ lukumäärä joille pätee $\card{\set{x\in A\mid f(x)=y_j}}=n_j$.
Esimerkki [+]
Binomi- ja multinomikaavat [+]
\[ (x+y)^n = \sum_{j=0}^n \binom nj x^jy^{n-j} \] ja
Miksi? [+]
Funktioiden lukumäärä [+]
- Funktioden $A\to B$ lukumäärä on
$\card {B^A}=\card{B}^{\card{A}}=n^m$.
Miksi? [+]
Funktio $f:A\to B$ on järjestetty $m$-kokoinen otos palauttaen joukosta, jossa on $n$ alkiota.
- Injektioiden $A\to B$ lukumäärä on $\displaystyle
n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-m+1)=\frac
{n!}{(n-m)!}$ kun $m\leq n$
ja $0$ kun $m>n$.
Miksi? [+]
Injektio $A\to B$ on järjestetty $m$-kokoinen otos palauttamatta joukosta, jossa on $n$ alkiota.
- Surjektioiden $A\to B$ lukumäärä on $\displaystyle
\sum_{k=0}^n \binom nk(-1)^{n-k} k^m$.
Miksi? [+]
Olkoon $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$, $F=B^A$ kaikkien funktioiden $A\to B$ joukko ja $F_j=(B\setminus\{b_j\})^A\subset F$ kaikkien funktioiden $A:\to B\setminus\{b_j\}$ joukko eli niiden $F$:n alkioiden $f$ joukko joille pätee, että $f(x)\neq b_j$ kaikilla $x\in A$. Surjektioiden joukko on siten $F\setminus \cup_{j=1}^n F_j$.
Nyt $F_{j_1}\cap F_{j_2}\cap \ldots \cap F_{j_r}$ on joukko $(B\setminus\{b_{j_1},b_{j_2},\ldots b_{j_r}\})^A$ johon kuuluvat kaikki funktiot $A\to B$ jotka eivät saa arvoja $b_{j_1},\ldots,b_{j_r}$. Jos $1\leq j_1 < \ldots < j_r\leq n$ niin $\card{F_{j_1}\cap F_{j_2}\cap \ldots \cap F_{j_r}} = (n-r)^m$. Koska on $\binom nr$ eri tapaa valita indeksit $1\leq j_1<\ldots < j_r\leq n$ niin seulaperiaatteesta seuraa, että surjektioiden $A\to B$ lukumäärä on \[ n^m - \biggl( \sum_{r=1}^n (-1)^{r+1}\binom nr (n-r)^m\biggr) \\= \sum_{r=0}^n (-1)^r \binom nr (n-r)^m\\ \mathrel {\buildrel {\small n-r=k}\over{=}\;\; } \sum_{k=0}^n \binom nk (-1)^{n-k} k^m. \] Huomaa, että kun $m< n$ ei ole surjektioita $A\to B$ joten silloin $\sum_{k=0}^n \binom nk (-1)^{n-k} k^m=0$, mikä ehkä ei ole aivan ilmeistä.
Sekalaisia esimerkkejä [+]
Korttiesimerkki [+]
- Valitsemme ensin ne kaksi paikkaa, joihin kuningattaret tulevat. Vaihtoehtoja on $\dbinom 52 = 10$.
- Sitten valitsemme kuningattaret näihin paikkoihin ja nyt vaihtoehtojen lukumäärä on $4\cdot 3= 12$ koska on otettava huomioon missä järjestyksessä ne tulevat.
- Lopuksi valitsemme muut kolme korttia $48$:n kortin joukosta jolloin vaihtoehtojen lukumääräksi tulee $48\cdot 47\cdot 46=103776$
- Tuloperiaatteen nojalla erilaisten rivien lukumääräksi tulee \[ 10\cdot 12 \cdot 103\,776=12\,453\,120. \]
Osajoukkojen lukumäärä: $\card{\mathcal P(A)}=2^{\card{A}}$ [+]
Montako vertailua tarvitaan järjestämisalgoritmissa? [+]
Jos meillä on $n$ erisuurta lukua ja haluamme järjestää ne suuruusjärjestykseen niin on olemassa algoritmi, joka pahimmassakin tapauksessa tekee korkeintaan $n\log_2(n)$ vertailua (esimerkiksi niin, että ensin jaetaan luvut kahteen joukkoon, nämä laitetaan järjestykseen tällä algoritmilla ja sitten joukot yhdistetään niin että järjestys säilyy.)
Mutta onko olemassa algoritmi, joka käyttää oleellisesti vähemmän, (esim. $O(n\log(\log(n)))$) vertailuja, pahimmassakin tapauksessa?
Vastaus [+]
- Koska voimme järjestää $n$ lukua $n!$ eri tavalla järjestämisalgoritmin pitää pystyä tuottamaan $n!$ eri vastausta.
- Koska jokaisen vertailun tuloksena on korkeintaan kaksi vaihtoehtoa niin tuloperiaatteen takia algoritmi, joka tekee korkeintaan $m$ vertailua tuottaa korkeintaan $2^m$ eri vastausta.
- Jos järjestysalgoritmi toimii niin $2^m\geq n!$ eli $ m\geq \log_2(n!)$. Koska kun $n\geq 3^3$ joten oleellisesti parempi tulos kuin $n\log_2(n)$ ei ole mahdollinen.
Esimerkki: Monellako tavalla voidaan jakaa joukko, johon kuuluu $n$ alkiota, $k$:hon ei-tyhjään osajoukkoon? [+]
Toisella tavalla: Monellako tavalla voimme laittaa $n$ numeroitua palloa $k$:hon identtiseen laatikkoon, siten, että jokaiseen laatikkoon tulee ainakin yksi pallo? Oleellista on siis tässä, että pallot (eli alkuperäisen joukon alkiot) on numeroitu mutta laatikot ovat identtiset (eli osajoukkoja ei numeroida).
Olkoon tämä lukumäärä $S(n,k)$, ns. Stirlingin (2. lajin) luku. Mitä voimme sanoa näistä luvuista?
- Selvästikin (?) $S(n,1)=S(n,n)=1$ ja $S(n,k)=0$ jos $k>n$.
- $S(n,k)= S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)$ kun $2\leq k \leq n-1$.
Miksi? [+]
Olkoon $x$ kyseisen joukon tietty alkio. Silloin meillä on kaksi toisiaan poissulkevaa tapausta:
- $\{x\}$ on yksi osajoukoista (johon siis ei kuulu muita alkioita): Muut $n-1$ alkiota on jaettava $k-1$:een ei-tyhjään osajoukkoon ja vaihtoehtojen lukumäärä on $S(n-1,k-1)$.
- $\{x\}$ ei ole yksi osajoukoista: Jaetaan ensin muut $n-1$ alkiota $k$:hon ei-tyhjään osajoukkoon ($S(n-1,k)$ vaihtoehtoa) jonka jälkeen $x$ sijoitetaan johonkin näistä osajoukoista ($k$ vaihtoehtoa) jolloin kaikkien vaihtoehtojen lukumäärä on $kS(n-1,k)$.
- $\displaystyle S(n,k)=\frac 1{k!}\sum_{j=0}^k \binom kj
(-1)^{k-j} j^n$. Miksi? [+]
Voimme numeroida $k$ osajoukkoa $k!$ eri tavalla ja jako ei-tyhjiin numeroituihin osajoukkoihin määrittelee funktion $f$ alkuperäisestä joukosta joukkoon $\{1,2,\ldots,k\}$ siten, että $f(x)=m$ jos $x$ kuuluu osajoukkoon, jonka numero on $m$. Tämä funktio $f$ on surjektio koska osajoukot ovat ei-tyhjät ja jokainen tällainen surjektio määrittää osituksen ei-tyhjiin osajoukkoihin. Tästä seuraa, että $\textrm{Sur}(n,k)= k!S(n,k)$ missä $\textrm{Sur}(n,k)$ on surjektioiden lukumäärä joukosta, jossa on $n$ alkiota joukkoon, jossa on $k$ alkiota. $\textrm{Sur}$-funktiolle johdetun kaavan avulla saamme väiteen.
- $S(n,2)= 2^{n-1}-1$.
Miksi? [+]
Olkoon $x$ tietty joukon alkio. Muut $n-1$ alkiota laitetaan joko samaan joukkoon kuin $x$ tai sitten toiseen, eli $n-1$ kertaa on valittava kahden vaihtoehdon väliltä joten vaihtoehtoja on $2^{n-1}$ mutta yksi ei kelpaa koska joukkojen pitää olla ei-tyhjiä joten $S(n,2)= 2^{n-1}-1$.
-
Miksi? [+]
Kun osajoukkoja on $n-1$ kappaletta niin yhteen joukkoon tulee kaksi alkiota ja vaihtoehdot eroavat toisistaan ainoastaan siinä, mitkä kaksi alkiota laitetaan samaan osajoukkoon ja joukosta, jossa on $n$ alkiota voidaan valita osajoukko, johon kuuluu kaksi alkiota $\binom n2$:lla eri tavalla.