Kysymys

Mitä voit sanoa seuraavistä väitteistä kun $d> 1$? Molemmat väitteet pätevät kun $d=1$.

(I) Jos $f:\R^d\to \R$ on jatkuvasti derivoituva ja $\rho>0$ niin on olemassa vakio $C<\infty$ siten, että
\[ \left |f(\B x) - f(\B y)\right | \leq C\left \|\B x- \B y\right \|,\quad \text{kun} \quad \left\| \B x\right \|, \left\|\B y\right \|\leq \rho. \]

(II) Jos $g:\R^d\to\R$ on jatkuvasti derivoituva, $\rho >0$ ja $\left | g'(\B x)\B u\right |>0 $ kun $\left \|\B x\right \|\leq \rho$, $\B u\in \R^d$ ja $\left \|\B u\right \|=1$, niin silloin on olemassa vakio $c>0$ siten, että
\[ \left | g(\B x) - g(\B y)\right | \geq c\left \|\B x- \B y\right \|,\quad \text{kun} \quad \left\| \B x\right \|, \left\| y\right \|\leq \rho. \]

1. Mikään niistä ei ole tosi!
2. Ainoastaan (I) on tosi!
3. Ainoastaan (II) on tosi!
4. Molemmat ovat tosia!

Valitse jokin näistä vaihtoehdoista vastaussivulla: