TKK / Matematiikan laitos / opetus /

Mat-1.3355 Mikrolokaali analyysi (4-6 op), syksy 2008

Mikrolokaalilla analyysillä tarkoitetaan funktioiden ja operaattoreiden analysointia faasiavaruudessa. Tässä esimerkiksi R³:n faasiavaruudella tarkoitetaan pareja (x,p), missä x on avaruuden piste ja p on suunta. Tarkasteltaessa vaikkapa aaltoyhtälön ratkaisuja, voidaan kysyä miten aallon epäjatkuvuudet ja muut singulariteetit etenevät ajan kuluessa.

Mikrolokaalin analyysin tarjoamat työkalut soveltuvat monenlaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen tutkimiseen. Näitä työkaluja ovat mm. distribuution aaltorintamajoukon käsite, pseudodifferentiaalioperaattorit ja Fourier-integraalioperaattorit. Kurssin tarkoituksena on tarjota perusteet näistä työkaluista mahdollistaen niiden myöhemmän soveltamiseen. Esimerkkejä mikrolokaalin sovelluksista löytyy inversio-ongelmissa (erikoisesti lääketieteellisessä ja geofysikaalisessa kuvantamisessa), operaattoreiden spektraliteoriassa ja differentiaaligeometriassa.

Mikrolokaali analyysi on muodostanut modernissa matematiikassa tärkeän sillan analyysin, geometrian ja matemaattisen fysiikan välille. Vuonna 2004 Sir Michael Atiyah ja Isadore Singer saivat Abel palkinnon pseudodifferentiaalioperaattoreita koskevista tutkimuksistaan.

Esitiedot: Mat-1.015 Modernin analyysin perusteet (ModA) ja Mat-1.140 Funktionaalianalyysin perusteet.

Luennot: Ti 10.15-12 salissa U261 ja Pe 10.15-12 salissa Y307 (alkaen 9.9.2008), professori Matti Lassas, e-mail: Matti.Lassashut.fi, Y319, p. 451 3069.

Luentomuistiinpanot:

Tentti: Kurssin tenttipäivä sovittiin tapahtuvaksi 17.12 kello 10-13. Sali löytynee myöhemmin.

Harjoitukset: ti 14--16 Y429A, Lauri Oksanen.

Harjoitustehtävät ovat saatavissa myös assistentin ovenpielessä olevasta kuoresta. Opiskelijat ratkaisevat tehtävät itsenäisesti kotona, ja ratkaisuja tarkastellaan harjoitustunnilla. Tehdyistä harjoitustehtävistä annetaan pisteitä, jotka huomioidaan arvostelussa. Matematiikan laitoksen kirjastossa sijaitsevaan kurssimappiin toimitetaan viikoittain harjoitusten ratkaisut. Harjoituksia on 11 kierrosta.

Harjoitukset:

Oppikirja: Grigis and Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators, Cambridge University press, 2000.

Taustatietoja:
Walter Rudin, Functional Analysis.
Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I

Luentojen eteneminen: Luentomuistiinpanot ovat matematiikan laitoksen kirjastossa. Itsenäistä opiskelua varten alla on oppikirjan alueet, joita luennot pääosin käsittelevät.

Tervetuloa kurssille!

Matti Lassas
Pekka Tietäväinen