TKK / Matematiikan laitos / opetus /
Johdanto: Alunperin käsitteellä martingaali viitattiin uhkapelien yhteydessä systeemiin, jossa tappiollisen pelikierroksen jälkeen panos aina tuplataan siinä toivossa, että peli lopulta kääntyisi voitolliseksi. Martingaalien teoria nykyisessä muodossaan sai alkunsa 1940-luvulla, kun J.L. Doob keksi eksaktin matemaattisen tavan luonnehtia yllä mainitun tyyppisten uhkapelisysteemien satunnaisuutta:
Yllä esiintyvä ehdollisen odotusarvon käsite on peräisin A.N. Kolmogorovilta ja keskeistä siinä on mittateoria, jonka avulla voidaan eksaktisti kuvata ajasta riippuvan satunnaisilmiön tuottamaa informaation määrää. Koska martingaalien avulla voidaan tehokkaasti luonnehtia satunnaisprosessista havaitun historian suhdetta tulevaisuuden ennusteisiin, on martingaalien teoria nykypäivänä tärkeässä asemassa monilla sovellusalueilla, esimerkiksi rahoitusmatematiikassa. Martingaalien hyödyllisyys ei kuitenkaan rajoitu pelkästään soveltamiseen, vaan nämä ovat osoittautuneet tärkeiksi työkaluiksi useilla puhtaan matematiikan alueilla, erityisesti funktionaalianalyysissä ja harmonisessa analyysissä.Stokastinen prosessi Xt on martingaali, jos sen ehdolliselle odotusarvolle oman historiansa suhteen pätee:
E[ Xtn+1 | Xt1 , ... , Xtn ] = Xtn kaikilla t1 < ... < tn+1 .
Toisin sanoen, martingaalin Xt odotusarvo hetkellä tn+1 ehdollistettuna siitä tehtyihin havaintoihin hetkillä t1, ..., tn on aina samoin jakautunut kuin Xt:n arvo viimeisimmällä havaintohetkellä tn.