Mat-1.3656 Numeerisen analyysin ja laskennallisen tieteen seminaari.


Ma 3.12. 2007 klo 14.15

Jukka Tuomela, Joensuun Yliopisto

Osittaisdifyhtälöitten muodollinen teoria ja numeerinen analyysi

Osittaisdifyhtälöitten teoria on jakaantunut moneen osa-alueeseen: elliptiset, paraboliset ja hyperboliset systeemit, säilymislait ym. Lisäksi tietyt yhtälösysteemit, kuten Navier-Stokes, ovat sinänsä jo iso tutkimusalue.Tätä taustaa vasten tuntuu siis toivottomalta sanoa mitään järkevää "yleisistä" odysysteemeistä. Vaikutelma on kuitenkin väärä! Paradoksin ratkaisu on siinä, että nykyisin odyteoria keskittyy nimenomaan funktionaalianalyysiin: pyritään todistamaan ratkaisun olemassaolo tietyssä Banach-avaruudessa (tai jossain yleisemmässä vektoriavaruudessa). Kuitenkin on selvää, ettei vektoriavaruus ole oikea rakenne tutkia epälineaarisia tehtäviä: viime kädessä tästä johtuu että olemassaolotodistukset ovat teknisesti erittäin vaikeita, ja onhan Navier-Stokes yhtälöitten ratkaisu edelleen selvittämättä, yli sadan vuoden työn jälkeen.

Odysysteemejä voidaan myös tarkastella toisesta näkökulmasta. Tämän teorian juuret ovat klassisissa töissä: Riquier, Janet, Elie Cartan... Moderni teoria on peräisin 50- ja 60-luvulta, ja Spencer kutsui tätä teoriaa odyjen muodolliseksi teoriaksi. Sana muodollinen viittaa siihen, että tässä lähestymistavassa saadaan vain hyvin heikko olemassaolotulos: muodollinen potenssisarja. Kuitenkin tämä lähestymistapa, vaikka onkin toisaalta hyvin abstrakti, antaa käytännön työkaluja analysoida yleisten odyjen rakennetta. Toisin sanoen on hyödyllistä analysoida annetun systeemin algebrallisia ja geometrisia ominaisuuksia riippumatta siitä johtaako tämä suoraan olemassaolotodistukseen perinteisessä funktionaalianalyysin mielessä.

Kerron ensin hieman taustatietoja muodollisesta teoriasta, ja tarkastelen sitten miten tätä lähestymistapaa voidaan hyödyntää numeerisessa laskennassa. Erityisesti katsotaan erästä virtausongelmaa, jossa varatut hiukkaset liikkuvat nesteessä. Muodollisen teorian avulla tehtävä voidaan muotoilla uudella tavalla mikä puolestaan johtaa uudenlaiseen tehtävään myös numeriikan kannalta. Numeeriset testit osoittavat, että saadut tulokset ovat huomattavasti parempia kuin perinteisillä menetelmillä. Huomattakoon, että perinteisen koodin muokkaaminen uuteen tilanteeseen ei vaatinut hirveästi työtä.

Yleisesti ottaen näyttää siltä, että suuri osa käytännön laskennassa esiintyvistä epälineaarisista malleista on sellaisia, ettei ratkaisun olemassaoloa ole todistettu. Muodollinen teoria ei tietenkään tee tarpeettomaksi tällaisen todistuksen etsintää, mutta se voi tarjota muuten hyödyllistä tietoa systeemin rakenteesta ja ominaisuuksista.