Heikki Apiola
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
heikki.apiola'at'aalto.fi
Juha Kuortti
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
juha.kuortti 'at' aalto.fi
Miika Oksman
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
miika.oksman 'at' aalto.fi
|
| Maple/Epälineaariset yhtälöt (Nonlinear equations) |
Käytön idea: Kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa
tiedosto, ja liitä se harjoituspohjaan
tai omaan Latex-pohjaasi.
|
-
mplNl004
mplNLE004 Maple , Matlab (H2T9)
Tarkastellaan väestönkasvumallia \[N(t)=N_0e^{\lambda t}+{\frac{v}{\lambda}}(e^{\lambda t}-1),\] jossa otetaan huomioon biologisen lisääntymisen ohella myös maahanmuutto, jonka oletetaan tapahtuvan vakionopeudella \(v\) yksilöä vuodessa (netto). Oletetaan, että tietty populaatio on alunperin \(10^6\) yksilöä, \(435 000\) yksilöä muuttaa "maahan" 1. vuoden aikana ja populaatiossa on \(1 564 000\) yksilöä vuoden lopulla. Määritä luku \(\lambda\) Käytä tätä \(\lambda\):n arvoa ennustamaan populaation koko toisen vuoden lopussa, kun oletetaan maahanmuuttovauhdin säilyvän vakiona.
Vihje:
Maple: fsolve, Matlab: fzero
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplNonlinEqu/mplNl004.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplNonlinEqu/ratkaisut/mplNl004R.pdf
../mplteht/mplNonlinEqu/ratkaisut/mplNl004R.mw
Avainsanat: MapleNonlinEqu,mplNonlinEqu, mplNl, epälineaariset yhtälöt, Epälineaarinen yhtälö, väestönkasvumalli, epalineaarinen yhtalo, vaestonkasvumalli.
Maplefunktioita: solve, fsolve
-
mplNl006
mplNl006, Fixed point iteration
Tutki funktion \(f(x)=a\, x -x^2 \) iterointia, kun \(a=3.8\).
Muodosta iteraatiojono \(x_0 = 1.5, x_{n+1}=f(x_n), n=0,\ldots,50.\) Piirrä iteraatiopisteet \((n,x_n)\) (style=point).
Kuvassa pitäisi näkyä kaoottinen käytös.
Muuta alkupisteksi \(w_0=1.5001\), ja vertaa jonoja. Vertailua on helppo visualisoida erotusten avulla tyyliin:
plot([seq([k,w[k]-x[k]],k=0..50)],style=point);
Vihje: Maplen for-luuppi toimii tähän tapaan:
x[0]:=...
for kk to 10 do % Oletus: from 1
x[kk] := f(x[kk-1])
end do
Yllä olevan kaltaisessa pisteiden piirrossa ei ole muuta vaikeaa kuin sulkujen ymmärtäminen. Kokeile ensin tyyliin:
[seq([k, x[k]], k = 0 .. 10)] Tässä näkyy muoto, xy-pisteiden lista, joka kelpaa suoraan plot:n argumentiksi.
Vaativuus: 2-
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplNonlinEqu/mplNl006.tex
Avainsanat: Epälineeriset yhtälöt, Nonlinear equations, Maple ,mplNonlinEqu,mplNl, iterointi, kiintopiste, fixedpointiteration
Maplefunktioita: fsolve
|