MattieT-tehtäväportaali


Yhteydenotot:

Heikki Apiola
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
heikki.apiola'at'aalto.fi

Juha Kuortti
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
juha.kuortti 'at' aalto.fi

Miika Oksman
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
miika.oksman 'at' aalto.fi

Maple/diffint1
Yhden muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskentaa

Käytön idea: Kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se harjoituspohjaan tai omaan Latex-pohjaasi.

Sisällysluettelo


  1. mplDi001

    mplDi001 (old mplDi0001.tex)
    (Kurssi: 2012 kevät H/H2T15.tex) Määritä funktion \(p(x)=x^3 -4 x^2 +4x -1\) nollakohdat ja lokaali max/min. Piirrä funktion ja derivaatan kuvaajat.

    Vihje: solve,evalf,diff,plot. Yksinkertaisinta ehkä käsitellä lausekkeena, mutta saat kokeilla myös funktiotapaa.

    Vaativuus: 1
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi001.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi001R.pdf
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi001R.mw Maple worksheet,mw-tiedosto

    Avainsanat:MapleDiffint1, mplDifferentiaali1,mplIntegraali1, lauseke, funktio


  2. mplDi002

    mplDi002 .
    Olkoon \[f(x)=x^2 \sin(\pi x).\]

    1. Laske \(f^{'}(4)\) käyttäen diff ja subs - komentoja. Laske tarkka arvo ja likiarvo. Muista: Pi edustaa vakiota \(\pi\), pi edustaa vain vastaavaa kreikkalaista kirjainta ilman semantiikkaa.

    2. Sama D-operaattorin avulla.

    3. Miten voit a)-kohdassa muuttaa tuloksen derivaattafunktioksi?

    4. Määritä \(f^{'}(4)\) erotusosamäärän raja-arvona.

    Vihje Komentoja: diff,D,subs,eval,evalf,limit
    Funktiomääritykset: f:=x->lauseke(x)
    (vrt. Matlab: f=@(x) lauseke(x))
    Lausekkeen muuttaminen funktioksi “jälkikäteen”:
    F:=unapply(lauseke(x),x

    (lauseke(x) tarkoittaa lauseketta, jossa esiintyy symboli x.)

    Huom! Uudet Maple-versiot (16 alkaen) armahtavat käyttäjää myös aiemmin ankarin kielloin varoitetusta funktiomäärityksen muodosta tyyliin:
    f(x):=x*sin(x) Maple ystävällisesti kysyy, haluatko oikeasti määritellä funktioksi (ja 99%:ssa tapauksista vastaus on YES! (Uskallan sanoa.))

    Vaativuus: 1
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi002.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi002R.pdf
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi002R.mw

    Avainsanat:MapleDiffint1, mplDifferentiaali1, Mapleperusteet, lauseke/funktio
    Maplefunktioita: diff,D,subs,eval,evalf,limit

    Viitteet:

    [GRES] John T. Gresser: A Maple Approach to Calculus


  3. mplDi003

    mplDi003 (ent. mplDi0051.tex) (PA, P1, tharj. 2, s. 2011)

    Harjoituksessa käytetään Maple-ohjelmaa. Toisen harjoituksen tavoitteena on syventää tietoja funktioiden käsittelystä: aiheina ovat mm. derivointi, maksimointi, yhtälöiden ratkaiseminen (ja iterointi jos jää aikaa). Avaa Viikkoharjoitukset-sivulla oleva työarkki ja käy läpi siinä olevat esimerkit ja tehtävät. Sen jälkeen voit siirtyä alla oleviin tehtäviin, mikäli aikaa riittää.

    1. Klikkaa hiirellä Viikkoharjoitukset-sivun tiedostoa maple2.mw
      (tässä ../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi0003Pohja.mw (Maple-ws)
      ../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi0003Pohja.pdf (pdf-muoto katsottavaksi) , ja avaa se Maple-ohjelmalla. Käy läpi työarkin tehtävät ja siirry sen jälkeen alla oleviin tehtäviin.

    2. Putoavan kappaleen nopeus \(v=v(t)\) toteuttaa differentiaaliyhtälön \(mv'(t)=mg-kv(t)^2\), jos positiivinen suunta on alaspäin ja ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön kertoimella \(k>0\).
      a) Osoita, että funktio \[v(t)=\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh\left( \sqrt{\frac{gk}{m}}\ t\right)\] toteuttaa vaaditun differentiaaliyhtälön.
      b) Mikä on rajanopeus \(\lim_{t\to\infty}v(t)\)?
      Vihje: simplify-käsky ei tee sievennyksiä aivan loppuun, koska se ei tiedä, ovatko \(m,g,k\) positiivisia. Lisää käsky assume(m>0 and k>0 and g>0) ja kokeile sievennystä sen jälkeen.

    3. Kuulantyönnön tulos riippuu kuulan alkunopeudesta \(v\), lähtökorkeudesta \(h\) ja työnnön suuntakulmasta \(x\) seuraavan lausekkeen mukaisesti: \[f(x ) = \frac{v\cos x \left( v\sin x +\sqrt{v^2\sin^2 x+2hg} \, \right) }{g},\] missä \(x \in [-\pi /2, \pi /2]\). Käytetään SI-järjestelmän yksiköitä ja oletetaan, että \(h=2\), \(v=14\) ja \(g= 9.81\). Määritä työnnön optimaalinen suuntakulma ja maksimitulos.

      Kannattanee edetä seuraavien vaiheiden mukaan:

    • Määrittele \(f\) funktiona; älä sijoita lukuarvoja tässä vaiheessa, niin voit tarkistaa, että lauseke on oikein.

    • Sijoita lukuarvot \(h, v, g\).

    • Piirrä funktion \(f\) kuvaaja välillä \(-\pi /2 \le x \le \pi /2\) ja tarkista, että se näyttää järkevältä. (Yleinen virhe: kertomerkkejä puuttuu!)

    • Ratkaise maksimi normaaliin tapaan muodostamalla yhtälö \(f'(x)=0\), jonka ratkaiset numeerisesti fsolve-käskyllä.
      Kokeile myös “mustaa laatikkoa” maximize ja vertaa.

    • Muuta saatu kulma asteiksi ja mieti, onko tulos järkevä.

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi003.tex

    Aputiedostoja:
    ../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.mw
    ../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.pdf
    Avainsanat: mplDiffint1, PeruskurssiP1,diff,simplify,subs,plot,Pi,assume


  4. mplDi004

    mplDi004 (ent. mplDi001)
    ([HAM] ss. 48-50)
    Funktiolausekkeen derivaatta muodostetaan diff-komennolla.
    Määritä seuraavien funktioiden 1. ja 2. derivaatta ja sievennä tulokset simplify-komennolla.

    \[6x^3+3x^2-2x+1 , \ \ {\frac {x+1}{{x}^{2}+1}} ,\ \ \cos(x^2+1) ,\ \ \arcsin(2x+3) ,\ \ \sqrt{1+x^4} ,\ \ \arctan x\]

    Voit myös kirjoittaa lausekkeen työarkille, koskettaa sitä hiiren oikealla “context sensitive” näppäimellä, jolloin saat joukon Maple-komentoja, mm. diff, simplify ym.

    Vaativuus: 1
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi004.tex

    Ratkaisu: (Ei tarpeen)
    Viitteet:

    [HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.

    Avainsanat, Maplefunktioita: Mapleperusteet, Maplediffint, lauseke, symbolinen derivointi, diff, simplify


  5. mplDi005

    mplDi005 (ent. mplDi002)

    Olkoon \(f(x)=x^2-4.\) Muodosta integraalifunktiot

    \[\int f(x)\, dx , \ \ \ \int \frac{dx}{f(x)} .\]

    Tarkista tulokset derivoimalla.

    int ja Int. Voit myös aloittaa: int <ESC-näppäily>, saat valikon, josta valitset \(\int\)-merkin ja täydennät luonnollisen tapaan. Käytä simplify-komentoa tarvittaessa.

    Vaativuus: 1-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi005.tex

    Avainsanat: Maplediffint1, mplDiffint1, int,Int,Mapleperusteet


  6. mplDi006

    mplDi006 (ent. mplDi003)

    Määritä seuraavat integraalit:

    \[\int_0^\infty e^{-t}\, dt \ \ \mathrm{ja} \ \ \int_0^\infty e^{-t^2}\, dt .\]

    Ääretön: infinity.
    Huom: Voit kirjoittaa int(ESC), saat valikon, josta voit valita määrätyn integraalimerkin, rajojen paikalle kirjoitat sopivasti, ylärajan voit aloittaa infi(ESC), jolloin Maple antaa taas valikon, josta voit valita \(\infty\)-symbolin.
    Toki voit kirjoittaa “vanhan hyvän ajan tapaan” int(f,t=0..infinity);
    Vaativuus: 1-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi006.tex

    Avainsanat, Maplefunktioita: MapleDiffint1, mplDifferentiaali1,mplIntegraali1,perusMaple, int,Int,infinity


  7. mplDi007

    mplDi007 (ent. 004)
    Laske seuraavat integraalit. Määräämättömien integraalien tapauksessa tarkista tuloksesi derivoimalla. Määrätyissä integraaleissa, joista Maple ei suoriudu voit käyttää numeerista integrointia. Laske joitakin esimerkkejä (kuten h-kohta) “symbolisesti” ja sitten tulokselle numeerinen likiarvo ja toisaalta suoraan numeerisesti.

    Huomaa, että ns. “suljettu muoto” on nykyisin epämääräinen käsite, sillä useat “perinteisesti mahdottomat” integraalit voidaan lausua Maple:n tuntemien erikoisfunktioiden (kuten erf) avulla.

    • a) \(\int_0^{\pi/2} \sin x dx\ \ \) b) \(\int x\cos x^2 dx \)

    • c) \(\int sin 3x \sqrt{1-\cos 3x}dx \ \ \) d)\(\int \ln x dx\)

    • e) \(\int x^2\sqrt{x+4}dx \ \ \) f) \(\int_0^1\sqrt{x^4+1}dx\)

    • g) \(\int_0^\pi e^{\cos x}dx \ \ \) h) \(\int_{-\infty}^ \infty e^{-x^2} dx\)

    Vihje:
    Integrointikomento on int. Lisäksi on komennon muoto Int, joka on ns. “hidas muoto” int:stä (“inert function”).
    Numeerinen integrointisaadaan aikaan yhdistelmällä evalf(Int(...)) tai int(,...,numeric).
    Muoto evalf(int(...)) yrittää ensin symbolista, ja evaluoi tuloksen. Jos symbolinen ei onnistu, integroi numeerisesti. Siksi saattaa olla paljon tehottomampi numeeriseen integrointiin. Vaativuus: 2-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi007.tex

    Avainsanat: mapleDiffint1, mplDiffint1, symbolinen integrointi, numeerinen integrointi, epäoleellinen integraali, infinity
    Maplefunktioita int, Int, evalf(Int(...), int(...,type=numeric), erikoisfunktio, erf,infinity


  8. mplDi008

    mplDi008 (ent. mplDi005)
    Maple, Mathematica , Matlab
    (Kurssi: 2012 kevät H/H2T15.tex)

    Laske integraali \[\int_0^{2\pi} \frac{\cos x}{13 - 12\cos 2x}\,dx\] a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja, ja päätttele jo kuvasta, mikä integraalin arvo näyttää olevan.

    Mathematica:
    Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla Integrate, numeerinen funktiolla NIntegrate. Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa. Ks. dokumentaatiota, erityisesti Implementation Notes.

    Maple:
    Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla int, numeerinen funktiolla int(...,type=numeric) tai evalf(Int(...)). Numeerisessa sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa.
    Esim: evalf(Int(f, x = 0 .. 2, digits = 20, method = _Dexp))

    Matlab:
    Symbolisen osuuden voit tehdä Symbolic Toolbox:lla.
    Numeerisessa integrandi määritellään funktioksi (helpoimmin funktiokahvaksi “function handle”). Sitten help quad

    Matlabissa symboliset operaatiot hoidetaan tyyliin:

      >> syms x
      >> f=...    % Lauseke Maple-syntaksilla, siis kuten Matlab:ssa,
                  % mutta ei .*, .^, ./  

    Monet operaatiot, kuten int, toimivat Maple-syntaksin mukaisesti.
    Joitakin eroavuuksia: subs(lauseke,OLD,NEW), vrt. Maple:
    subs(NEW,OLD,lauseke).

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi008.tex

    Ratkaisu

    Maple

    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi008R.pdf
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi008R.mw

    Matlab

    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/html/mlDi008R.html
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mlDi008R.m

    Viitteet:

    http://math.tkk.fi/ apiola/matlab/opas/lyhyt/m-files.html (Lyhyt Matlab opas:funktiokahva, function handle)

    Avainsanat: Symbolinen integrointi, numeerinen integrointi, funktiot, lausekkeet,MapleDiffint1, mplDifferentiaali1,mplIntegraali1


  9. mplDi009

    mplDi009 (ent. mplDi006.tex) (Maple, Mathematica)
    Laske integraali

    \[\int \sqrt{x^4 -2}\, dx\]

    Yritä sieventää tulosta (äläkä masennu, kun ei sievene). Derivoi, sievennä ja hämmästy!

    Vihje
    Funktiot int (ja Int).
    Tehtävä näyttää kovin viattomalta, mutta tulos voi yllättää ja lisätä kunnioitusta Maplen kykyihin. Samalla näkyy, että integroinnin ns. “suljettu muoto” on nykyohjelmissa huomattavasti laajentunut entisajoista.

    Vaativuus: 1
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi009.tex

    Avainsanat: MapleDiffint1, integrointi, erikoisfunktiot


  10. mplDi010

    mplDi010 (ent. mplDi007.tex)
    [Isr] s. \(46\)

    Ilmapallon tilavuus kasvaa nopeudella \(10 cm^3/s\). Millä nopeudella säde kasvaa hetkellä, jolloin pallon pinta-ala on \(200 cm^2\)?

    Vihje
    Periaate: \(V(t)={\frac{4}{3}}\pi r(t)^3\), \(A(t)=4\pi r^2\). Derivoidaan: \(V'(t)=\) lauseke, jossa esiintyy \(r(t)\) ja \(r'(t)\) (implisiittinen derivointi). Tästä saadaan yksi yhtälö, josta voidaan ratkaista \(r'\) \(V'\):n (tunnettu) ja \(r\):n avulla. \(r\) saadaan pinta-alaehdosta.

    Voit aloittaa vaikka näin:

    V:=(4/3)*Pi*r(t)^3; A:=4*Pi*r(t)^2;
    yht1:=10=diff(V,t);yht2:=200=A; 

    Huomaa, että diff soveltaa implisiittistä derivointia tuntemattomaan funktioon \(r(t)\).

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi010.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi010R.mpltxt
    (Maple-komennot tekstimuodossa)

    Viitteet: [Isr] Robert Israel: Calculus: The Maple Way, Addison Wesley

    Avainsanat: MapleDiffint1, implisiittinen dervointi


  11. mplDi011

    mplDi011 (ent. mplDi008.tex)
    Missä pisteissä Cartesiuksen lehden \(x^3+y^3=3 x y\) tangentin suuntakulma jonkin koordinaattiakselin suhteen on \(=45^\circ\) ? Piirrä sekä käyrä että ko. tangentit (ainakin joku tangentti).

    Vihje
    Implisiittinen derivointi ja numeerinen yhtälön ratkaisu fsolve lienevät paikallaan. Huomaa, että diff soveltaa implisiittistä derivointia tuntemattomaan funktioon \(y(x)\) (tai \(x(y)\)).

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi011.tex

    Luokittelu, avainsanat: MapleDiffint, implisiittinen derivointi, yhtälön numeerinen ratkaisu, fsolve


  12. mplDi012

    mplDi012 (ent. mplDi009.tex) (Maple, Mathematica)
    Muodosta funktion \(f(x) = \arctan\sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\) ensimmäinen ja toinen derivaatta. Piirrä funktion ja derivaattojen kuvaajat.

    Derivaatat ovat aluksi todella sotkuisia. Käytä komentoa simplify siistiäksesi tulostusta.
    Kuvat saattavat yllättää ja johdatella pohtimaan, miksi?

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi012.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi012R.mpltxt
    Avainsanat: MapleDiffint1, mplDifferentiaali1, diff, simplify, plot, peruskurssi1


  13. mplDi013

    mplDi013 (ent. mplDi010.tex) (mmaDi104/mplDi11/mlDi11) ** Tarkista, korjaa **

    Määritä funktion \(f(x) = \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})\) suurin ja pienin arvo välillä \([-1,1]\).

    Käytä symboliohjelmissa perinteistä “diffistekniikkaa” kuvan kanssa, Matlab:ssa raakaa “numeronmurskausta” tyyliin: linspace, plot, zoom, uusi linspace kapeammalla välillä, find, ...

    \(\arcsin\) on Mathematicassa ArcSin, Maplessa arcsin ja Matlabissa asin.
    Symbolilaskentaohjelma saattaa johtaa oikeaan tulokseen puutteellisin perustein, jos tarkkoja ollaan.

    Tämän kohdan ratkaisulinkissä Maple-ratkaisu, Matlab-ratkaisu vastaavassa Matlab-kohdassa (../../matlabteht/mlDiffint/mlDi013R.m ja .pdf) ** TARKISTA, KORJAA **

    Vaativuus: 2-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi013.tex

    Ratkaisu:
    pdf-muodossa
    Maple worksheet,mw-tiedosto
    Matlab m-tiedosto
    Matlab pdf-tiedosto

    Avainsanat:MapleDiffint1, mplDifferentiaali1, Diffint1,max/min, ääriarvot,peruskurssi1, MatlabDiffint1, MathematicaDiffint1


  14. mplDi014

    mplDi014 (ent. mplDi011)
    Ohjelmat: Maple,Mathematica
    Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät \(y^2 = x\) ja \(x - y = 3\).

    Mieti, kumpi on helpompaa: integrointi x- vai y-suunnassa.

    mplDi011.pdf (pdf-tiedosto),
    mplDi011.mw (Maple ws)
    ...

    Luokittelu:
    mplteht/mplDiffint/mplDi011.tex, mmateht/mmaDiffint/mmaDi107.tex

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi014.tex

    Ratkaisu:
    pdf-muodossa
    Maple worksheet,mw-tiedosto
    (Mma-notebook)

    Avainsanat: MapleDiffint1, mplDifferentiaali1,mplIntegraali1 Pinta-ala, integraali,diffintperusteet,peruskurssi1.


  15. mplDi015

    mplDi015
    Määritä ellipsin \(9 x^2 + 16 y^2 = 144\) sisään piirretyn (akselien suuntaisen) suorakulmion maksimaalinen pinta-ala. Piirrä ellipsi ja suorakulmio.

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi015.tex

    Ratkaisu:
    pdf-muodossa
    Maple worksheet,mw-tiedosto

    Avainsanat: MapleDiffint1, mplDifferentiaali1, aariarvot,ääriarvot peruskurssi1,diffintperusteet


  16. mplDi016

    Ratkaise yhtälö \(2x^6 + 4x^3 -14 x^2 + 1 =0\).

    Maplen funktio solve.


  17. mplDi017

    Määritä polynomin \[p(x)=x^3-4 x^2+4 x -1\]

    nollakohdat ja paikalliset minimit ja maksimit. Piirrä kuva.

    Suorita sekä Maplella että Matlabilla.

    Maplella voit yrittää 3. asteen yhtälön ratkaisua myös symbolisesti solve-komennolla. Numeerisesti fsolve.

    Matlabilla vain numeerisesti: roots.
    Polynomin derivaatta: polyder


  18. mplDi018

    Maple tai Matlab Etsi yhtälön \(x^8-36 x^7+546 x^6 -4536 x^5 + 22449 x^4 - 67284 x^3 + 118124 x^2 -109584 x + 40320 =0\) välillä \([5.5,6.5]\) oleva juuri. Muuta \(x^7\):n kerroin luvuksi \(-36.001\) ja katso, mikä vaikutus sillä on juureen.

    Maple: fsolve
    Matlab: roots

    2mm


  19. mplDi019

    mplDi019.tex
    Tarkastellaan funktiota (normeerausta vaille normaalijakauman kertymäfunktiota)

    \[\textit{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt .\]

    Laske sopivaa \(0\):ssa kehitettyä Taylorin polynomia (jota usein kutsutaan MacLaurinin polynomiksi) ja jäännöstermiä käyttäen likiarvo luvulle \(\mathrm{erf}(1)\) siten, että \(|virhe| \leq 0.005 .\)

    Maple tuntee funktion erf. Laske Maplella todellinen virhe tällä termien määrällä ja vertaa jäännöstermiarviolla saamaasi ylärajaan.

    Piirrä erf-funktion ja ao. Taylorin polynomin kuvaajat ja myös niiden erotus (jotta erottuvat) välillä \(\left[0,1\right]\)

    Vihje: Käytä joko taylor tai series-komentoa. Huomaa, että kumpikin palauttaa potenssisarjatietorakenteen, jossa on \(O(h)\)-termi. Itse polynomi saadaan komennolla
    convert(sarja,polynom)

    Huomaa, että yo. komentojen \(n\) tarkoittaa jäännöstermin astelukua (jota useimmiten merkitään Taylor-kaavoissa \((n+1)\):llä).
    Huomaa lisäksi, että parilliset potenssit puuttuvat (miksi?). Siten esim. 7- ja 8-asteisten polynomien virheen aseteluku = 9 (eli \(T_7 = T_8\)). Tässä virhetermissä esiintyvän \(9.\) derivaatan itseisarvon maksimi nähdään vaikka piirtämällä ja laskemalla ko. derivaatta kuvasta näkyvässä pisteessä.

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi019.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi019R.pdf
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi019R.mw

    Avainsanat: Maplediffint1,mplDiffint1, Taylorin polynomi, Taylor polyno mial, erf

    Maplefunktioita: diff, taylor, convert(sarjalauseke, polynom), series


  20. mplDi020

    mplDi020
    Tehtävä tai pari Lambertin funktiosta

    Vaativuus: 1-3
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDixxx.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDixxxR.m

    Avainsanat: Maplediffint1,mplDiffint1,...

    Maplefunktioita:


  21. mplDi022

    mplDi022
    Wilkinsonin polynomi

    Vaativuus: 1-3
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplDiffint1/mplDi022.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi022R.m

    Avainsanat: Maplediffint1,mplDiffint1,Wilkinsonin polynomi, polynomin nollakohdat, häiriöalttius, hairioalttius, ill-conditioned polynomial roots

    Maplefunktioita: