MattieT-tehtäväportaali

Etusivu
MattieO-materiaaliportaali
MATLAB
Maple
Mathematica

Yhteydenotot:

Heikki Apiola
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
heikki.apiola'at'aalto.fi

Juha Kuortti
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
juha.kuortti 'at' aalto.fi

Miika Oksman
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
miika.oksman 'at' aalto.fi

Matlab/Lineaarialgebra

Käytön idea: Kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se harjoituspohjaan tai omaan Latex-pohjaasi.

Sisällysluettelo

  1. mlLA000

    mlLA000.tex
    Ohjetiedosto, poimi mukaan tehtäväpaperiin tarpeen mukaan.

    Matlab-ohjeita (aluksi samat kuin mlBasic-osassa)

    • Komennon suorittama tulos tulee ruudulle ENTER-painalluksen jälkeen (kuvat erilliseen ikkunaan). Jos haluat estää tulostuksen, päätä komento puolipisteeseen. Jos myöhemmin haluat katsoa muuttujan sisällön, kirjoita sen nimi (ilman puolipistettä). Jos muuttuja on suuri matriisi, kannattaa ensin katsoa sen koko size(A) tai sen jotain osaa, esim. A(1:10,1:10)

    • Edellisen komennon tulos on muuttujassa ans. Yleensä on suositeltavaa antaa tulokselle oma nimi tyyliin nimi= ...

    • format long : Tulostetaan enemmän numeroita (n. 16). Laskutarkkuuteen tämä ei vaikuta.
      format rational laskee rationaaliluvuilla.
      format short: Paluu oletustulostukseen.

    • Matriisin A transpoosi: A’

    • Kokonaislukuvektori: Esim 1:10 tai 1:2:20. Myös linspace. Pystyvektoriksi transponoimalla.

    • A(i,j) A:n alkio (i,j).
      A(2,:) A:n 2. rivi
      A(:,3) A:n 3. sarake
      A(1:4,1:4) osamatriisi
      Matriisin osaa voi päivittää, vaikkapa:
      A(1:4,1:4)=ones(4,4) tai
      A(2,:)=A(2,:)-2*A(:,1) (Gaussin rivioperaatio).

    • Matriisien liittäminen: Jos \(A\):lla ja \(B\):llä on yhtä monta riviä, ne voidaan liittää peräkkäin: [A b] (tai [A, b])
      Jos yhtä monta saraketta, niin allekkain: [A;B]

    • Laskutoimitukset tarkoittavat matriisilaskua. Siis esim.
      A*B, A^p

    • Vektorien ja matriisien (samankokoisten) pisteittäinen eli alkioittainen laskenta tapahtuu lisäämällä eteen piste. Esim:

      u=[1 2 3], v=[-2 -2 -2], u.*v.
      Toinen operandi voi olla skalaari.

      Siten esim. vektorin \(u\) kaikki komponentit voidaan korottaa toiseen komennolla u.^2

    Matlab-ohjeita lineaarialgebraan

    • Lineaarisen yhtälöryhmän \(A x = b\) ratkaisu:

                  x=A\b

    • Matriisifunktioita:

      • Käänteismatriisi inv

      • Rangi rank

      • Ominaisarvot ja -vektorit:
        [U,V]=eig(A)

      • Täydennä

    • Täydennä

    Ohjetiedoston Latex-koodi:
    ../mlteht/mlLinalg/mlLA000.tex

    Avainsanat: Ohjetiedosto, Lineaarialgebraa Matlabilla, matriisilaskentaa,mlLinalg,mlLA,Harjoitusohjeita,Matlabperusteet,

  2. mlLA002

    mlLA002.tex
    Olkoon \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & -13 &-13& -2 & 7 \\ 18 & -4 & 30& -1 & -12 \\ -23 & 3 & 7& 15 & 7 \\ 9 & 36 & -1& 14 & 16 \\ 3 & 28& 7& 14 & 5 \end{bmatrix}\] ja \[\mathbf{b}= \begin{bmatrix} -196\\ 435\\ 11\\ 111\\ 195 \end{bmatrix}.\] Ratkaise yhtälösysteemi \(A x = b\) ja tarkista tulos matriisikertolaskulla.

    Vaativuus: 1-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mlteht/mlLinalg/mlLA002.tex

    Ratkaisu:
    ../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA002R.m

    Matlabfunktioita: Takakeno, backslash, A\b

    Avainsanat:
    Lineaarialgebraa Matlabilla, matriisilaskentaa,mlLinalg,mlLA Lineaarinen yhtälöryhmä, Matlabperusteet, Matlabalkeet,perusmatriisilaskenta

  3. mlLA003

    mlLA003.tex [myös Maple, Mathematica]

    1. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä ja tarkista tulos kertolaskulla. \[\begin{cases} 4 x -5 y = 11\\ 2x + y = 9 \end{cases}\] Vihje: Matlab: "Matriisijako": \(A\backslash b\)

    2. Tiedetään, että Celsius-asteiden ja Fahrenheit-asteiden välillä on lineaarinen yhteys:

      \[C = aF + b.\]

      Lisäksi tiedetään, että vesi jäätyy 32 F:ssa ja -40 on sama kummassakin asteikossa. Johda kaava. Tarkoitus on kirjoittaa kertoimien a ja b määräämiseksi lineaarinen yhtälösysteemi, joka ratkaistaan Matlab:n takakenolla (\).

    3. Muodosta matriisi, jonka 1. sarake on C-asteet \(-50\):sta \(5\):n asteen välein \(100:\)aan ja toinen sisältää vastaavat F-asteet.

    Vihje: Tarkan rationaalilukukaavan saat komentamalla format rat. Tee m-tiedosto kommentteineen.
    Huomaa, että taulukkoa ei ole mukavaa katsoa koknaisuutena, esim. 10 ekaa riviä näet näin: taulukko(1:10,:) (eikö vain?).
    Hivelevää on myös mennä “Workspace-ikkunaan” ja kaksoisklikata taulukko-ikonia.

    Kokeile sen ajamista myös pdf:ksi publish(Fahrenheit,pdf)-komennolla (jos skripti on Fahrenheit.m), kunhan ensin testailet sen kuntoon.

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mlteht/mlLinalg/mlLA003.tex

    Ratkaisu:
    ../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA003R.html
    ../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA003R.m

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Matlabilla, matriisilaskentaa,mlLinalg,mlLA

    Matlabfunktioita:

  4. mlLA004

    mlLA004.tex Matlab/Maple/Mathematica
    Tarkastellaan yhtälösysteemejä: \[\begin{cases} 10 x_1 + 7 x_2 + 8 x_3 + 7 x_4 = 32 \\ 7 x_1 + 5 x_2 + 6 x_3 + 5 x_4 = 23 \\ 7x_1 + 6x_2 + 10 x_3 + 9 x_4 = 33\\ 7 x_1 + 5 x_2 + 9 x_3 + 10 x_4 = 31 \end{cases}\] ja \[\begin{cases} 2x_1+x_2+5x_3+x_4=9\\ x_1+x_2-3x_3 -x_4 = -5\\ 3x_1 + 6x_2-2x_3+x_4 = 8\\ 2 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 -3 x_4 = 3 \end{cases}\]

    1. Ratkaise molemmat systeemit.

    2. Muuttamalla vähän yhtälön dataa (oikeaa puolta ja/tai kerroinmatriisia), voidaan tutkia systeemin herkkyyttä pienille virheille (datassa ja pyöristyksessä).

      Ratkaise 1. systeemi oikean puolen vektoreilla
      [32.1, 22.9, 32.9,31.1]' ja [32.01, 22.99,32.99,31.01]'
      ja 2. systeemi vektoreilla
      [9.1 -5.1, 7.9, 3.1]' ja [9.01, -5.01, 7.99, 3.01]' .

      Mitä nämä pienet häiriöt vaikuttavat ratkaisuihin?

    3. Muuta kerroinmatriiseja lisäämällä matriisien kuhunkin alkioon pieni satunnaisluku
      0.1*rand . Ratkaise systeemit alkuperäisillä oikeilla puolilla. Mitä nämä muutokset vaikuttavat ratkaisuihin.

    4. Lineaarisen yhtälösysteemin herkkyyttä pienille virheille sanotaan häiriöalttiudeksi (``ill-conditioned ``). Laske kummankin matriirin häiriöalttius.

      Suhteellisen virheen suurtenemisypäyhtälö:

      \[\frac{|| \Delta x||}{|| x ||} \leq \kappa \frac{|| \Delta b||}{|| b ||}\]

      Pahimmillaan ratkaisun suhteellinen virhe voi olla luokkaa \(\kappa \times\) (datan suhteellinen virhe) (\(\kappa = cond(A)\))

    Vaativuus: 2+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mlteht/mlLinalg/mlLA004.tex

    Ratkaisu:
    ../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA004R.pdf
    ../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA004R.m

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Matlabilla, matriisilaskentaa,mlLinalg,mlLA,Numeerinen lineaarialgebra, matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, häiriöalttius

  5. mlLA005

    mlLi005.tex
    Olkoon \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5&1&1\\ 1 &5&1\\ 1&1&5 \end{bmatrix}, \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 10\\14\\18 \end{bmatrix}.\] Varmista ensin, että matriisi \(\mathbf{A}\) on kääntyvä laskemalla \(\det(A)\).
    Tutki, mitä muita keinoja on matriisin ei-singulaarisuuden tarkistamiseen. Kokeile vaikka \(\mathbf{rank, rref, lu,cond, rcond }\) (katso helpillä).
    (Huomaa, että “oikeissa tehtävissä” tärkeämpi käsite on “lähes singulaarisuus”, tähän \(\det\) ei ole yleispätevä työkalu.)

    Ratkaise yhtälöryhmä \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) käyttämällä

    1. Käänteismatriisia inv

    2. MATLABin matriisijakoa x = A\b.

    Opetus: Huomaa, että “matriisijako” on numeerisen tarkkuuden ja laskentatehon kannalta yleensä parempi tapa (mikä ei pienissä, hyvänlaatuisissa tehtävissä tule ilmi).

    Opettajalle: Tehtävään voidaan lisätä myös A-matriisin muodostaminen diagonaaleittain \(\mathbf{diag}\)-funktiolla (vaikkei mene hyödyn puolelle näin pienessä tehtävässä).

  6. mlLA006

    mlLi006.tex
    Tasapainolämpötilajakauma metallilevyssä.
    Kuva esittää metallilevyä, joka on ylä- ja alapinnoiltaan lämpöeristetty ja jonka reunojen lämpötilat on kiinnitetty. (Lämpöä virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainolämpötilajakauma saadaan Laplacen yhtälön \(\Delta u=0\) ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. differenssimenetelmällä: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan näin muodostuvat solmupisteet. Menetelmä: Kunkin hilasolmun lämpötila on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo. (Johdetaan kurssin lopulla.)

    Muodosta \(4\times 4-\) yhtälösysteemi solmujen \(1,2,3,4\) lämpötilojen likiarvoille \(u_1,u_2,u_3,u_4.\) Ohje: Aloitetaan solmusta 1: \(u_1 = \frac{1}{4}(30 + u_2 + u_3 + 10)\). Vastaavasti muut kolme solmua.

                   20      20
        |----- o  ----  o ------|
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 3      o 4     o  40
        |                       |
        |                       |
     10 o      o 1      o 2     o  40
        |                       |
        |                       |
        |----- o ------ o ------|
               30       30

    1. Ratkaise yhtälösysteemi ja sijoita ratkaisulämpötilat ao. hilapisteisiin.

    2. Muodosta \(4\times 4-\) matriisi, jossa on reunalämpötilat ja ratkaisemasi sisäpistelämpötilat sekä nurkissa lähinnä olevien kahden reunasolmun keskiarvot tähän tapaan: U=[5 20 20 30;10 u3 u4 40; 10 u1 u2 40; 20 30 30 35]; Piirrä ratkaisupinnan approksimaatio: mesh(U) tai surf(U).

    Avainsanat:Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, differenssimenetelmän alkeellisin perustehtävä, lineaarinen yhtälöryhmä.

  7. mlLA006a

    mlLA006a.tex, [Maple:mplLinalg/mplLA010.tex]
    (Kynä-paperitehtävä)
    Tarkastellaan lämmönjohtumista ohuessa metallilevyssä. Oletetaan, että johtumista tapahtuu vain levyn suunnassa, ja levyn reunoilla on annetut (ajan suhteen) vakiolämpötilat. Levyn lämpötilat eri pisteissä asettuvat ajan kuluessa arvoihin, jotka ovat ajan suhteen vakioita, tällöin puhutaan lämpötilajakauman tasapainotilasta ("steady state"). Tehtävänä on määrittää lämpötilajakauma levyssä tasapainotilan vallitessa.

    Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta: (Klikkaa oikealla olevaa pdf-linkkiä, niin kuva näkyy kunnolla.)

                   --- 20----20---20----    
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*---40
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*----40
              |    |     |     |    |
               ----20----20----20---

    Kuvassa näkyvät annetut vakioreunalämpötilat (reunaehdot). Tehtävänä on laskea ratkaisuapproksimaatiot *:llä merkityissä sisäsolmupisteissä käyttäen seuraavaa periaatetta: Lämpötila levyn solmupisteessä on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo.

    Jos indeksoidaan solmupisteiden lämpötilat vaakarivijärjestyksessä: \(T_1,\ldots T_6\), voidaan ryhtyä kirjoittamaan yhtälöitä tyyliin:

    \(T_1=\frac{20+10+T_4+T_2}{4}, \ldots .\)

    Kirjoita koko \(6\times 6\)- yhtälösysteemi "standardimuodossa".
    Huom: Tasapainotilaratkaisu saadaan ns. Laplacen yhtälön \(\nabla^2 T = 0\) ratkaisuna. Tässä esitettyyn likimääräismenettelyyn ns. differenssimenetelmään Ratkaisua pyydetään seuraavassa tehtävässä.

  8. mlLA006b

    mlLi006b.tex, [Maple:mplLinis/mplLi011.tex]
    Ratkaise edellisen tehtävän yhtälösysteemi Maplea (tai Matlabia) käyttäen. (Tässä Maple-ohjeet.) Muodosta sitten edellisen tehtävän kuvan mukainen \(4\times 5\) matriisi, jossa on annetut reunalämpötilat sekä lasketut sisälämpötilat oikeilla kohdillaan. Ota nurkkapisteiden lämpötiloiksi kahden naapurisolmun lämpötilojen keskiarvo. Piirrä kuva, pyörittele hiirellä.

    Maplevihje

    (Matlabissa et tarvitse vihjettä, vaan teet suoraan todella “matlabmaisesti”.)

    Tehtävässä riittää käytellä LinearAlgebra-kirjaston funktiota LinearSolve.

    Ratkaisuvektorin muokkaaminen matriisiksi onnistuu mukavasti, kun leikkaat/liimaat alla olevan funktiomäärityksen Maple-työarkillasi. (Suorita leikkaus pdf-tehtävätiedostosta.)

    Reshape:=(vek,m,n)->Matrix(linalg[matrix](m,n,convert(vek,list)));

    Funktio on tehty vastaamaan Matlabin funktion reshape käytöstä siinä tapauksessa, jossa vektori muutetaan annetun kokoiseksi matriisiksi.

    Lämpötilamatriisin rakentelu kannattaa hoidella (Matlabinomaiseen) tyyliin:

    Tsisa:=Reshape(T,2,3); # vektorissa T on ratkaisulampotilat.
Tiso:=Matrix(4,5,0);
vaaka:=<15|20|20|20|30>;
pysty:=...;
Tiso[2..3,2..4]:=Tsisa;
...

    Piirtäminen komennolla matrixplot (muista with(plots):)

    matrixplot(Tiso,axes=boxed);

    Pyörittele kuvaa hiirellä.

    Huom: Sanomattakin on selvää, että tehtävä sopii erikoisen hyvin Matlab:lle. Tässä pikemminkin näytetään, että Maplen LinearAlgebra-työkaluilla voidaan matkia Matlab-työtapaa ja päästä lähelle samaa käsittelymukavuutta.

    Lisätehtävä: Tee ratkaisu Matlabilla!

    Palataan asiaan perusteellisemmin Matlab-tehtävien yhteydessä, jolloin käsitellään lähemmin differenssimenetelmää.

  9. mlLA007

    mlLA007.tex
    Oheinen kuva esittää liikenneverkkoa. Kuhunkin solmuun A,B,C,D tulevien ja siitä lähtevien ajoneuvojen lukumäärien summa pysyy samana (solmuun ei häviä eikä siinä synny ajoneuvoja). Kadut ovat yksisuuntaisia nuolien osoittamalla tavalla.

    image

    image

    (a) Muodosta yhtälösysteemi tuntemattomien ajoneuvomäärien \(x_1,\ldots x_5\) suhteen.
    (b) Määritä systeemin yleinen ratkaisu.
    (c) Jos \(x_4\):llä merkitty katuosuus suljetaan, niin mikä on yleinen ratkaisu?
    (d) Määritä kohdan (c) tilanteessa pienin \(x_1:\)n ja suurin \(x_3:\)n arvo (jotta yhdensuuntaisuutta osoittavia liikennemerkkejä ei tarvitse kääntää).

    Huom! Porrasmuotoon saattamisessa saat halutessasi käyttää Matlab/Octave-funktiota rref (kts. help rref).

    Avainsanat: Liikenneverkko, lineaarinen yhtälöryhmä, (redusoitu)porrasmuoto, rref.

  10. mlLA008

    mlLi008.tex

    1. Muodosta \(5\times 5\)-yksikkömatriisi I. (help eye)

    2. Muodosta matriisi \(E_1\), jossa on vaihdettu \(I\):n rivit 2 ja 5.

    3. Muodosta matriisi \(E_2\), joka saadaan kertomalla \(I\):n \(4.\) rivi
      luvulla \(4\).

    4. Muodosta matriisi \(E_3\), joka saadaan \(I\):stä Gaussin rivioperaatiolla: \[r_4 \leftarrow r_4 + 4\,r_1 ,\] missä \(r_i\) tarkoittaa matriisin riviä numero \(i\).

    5. Muodosta matriisit \(E_1^{-1},\ \ E_2^{-1}, \ \ E_3^{-1}\) käyttäen komentoa inv ja selitä, mitä rivioperaatiota ne vastaavat.

    Avainsanat: Alkeismatriisit, LU-hajotelma, Gaussin rivioperaatio, käänteismatriisi.

  11. mlLA009

    mlLA009.tex (KP3-ii, 2008, harj1)
    Olkoon \[A= \left[ \begin {array}{ccc} a_{{1,1}}&a_{{1,2}}&a_{{1,3}} \\a_{{2,1}}&a_{{2,2}}&a_{{2,3}}\\ a _{{3,1}}&a_{{3,2}}&a_{{3,3}}\end {array} \right]\]

    ja olkoot

    \(E_0= \left[ \begin {array}{ccc} 0&1&0\\ 1&0&0 \\ 0&0&1\end {array} \right] \) \(E_1= \left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0 \\ 0&0&3\end {array} \right] \),\(E_2=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 2&1&0 \\ 0&0&1\end {array} \right]. \)

    Muodosta matriisitulot \(E_0 A\), \(E_1 A\), \(A E_1\) ja \(E_2 A\) ja selvitä, mitä nämä operaatiot tekevät matriisin \(A\) riveille/sarakkeille.

    Vihje:
    Käsinlasku ja ajattelutehtävä, tarkistukseen voit hyödyntää Matlabin syms-komentoa tai voit tehdä symboliset matriisioperaatiot Maplella/Mathematicalla.

    Avainsanat: Alkeismatriisit, LU-hajotelma, Gaussin rivioperaatio

  12. mlLA010

    mlLA010.tex
    Harjoituksen (KP3-II/s. 2006) ohjetta:
    Seuraavissa tehtävissä voitaisiin johonkin johtopäätökseen päästä determinantin avulla. Näissä harjoituksissa ei kelpuuteta tällaisia ratkaisuja, vaan harjoitellaan johtopäätösten tekoa rivioperaatioiden seurauksena.

    Osa tehtävistä on käsinlaskuun tarkoitettu, mutta niiden yhteydessä voidaan harjoitella samalla Matlab/Octave/Scilab-työskentelyä (Kts. MattieO).

    Annettuna on \(3\times 3-\)systeemin liitännäismatriisi \[\left[ \begin {array}{cccc} 1&2&3&4\\ 4&5&6&7 \\ 6&7&8&9\end {array} \right].\] Muodosta rivioperaatioilla porrasmuoto "ref" — "row echelon form". Merkitse tukisarakkeet ja tukialkioiden paikat. Jatka sitten rivioperaatioita alhaalta ylöspäin päästäksesi redusoituun porrasmuotoon "rref".

    Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, Gaussin rivioperaatio, ref, rref, (redusoitu) porrasmuoto, row echelon form.

  13. mlLA013

    mlLA013.tex (** Siirrä aiheeseen mlDiffintV) **
    Piirretään toisen asteen pintoja. Tätä varten tulee pinnat esittää parametrimuodossa \[x_1 = x_1(u,v), x_2 = x_2(u,v), x_3 = x_3(u,v),\] missä muuttujat \(u\) ja \(v\) saava arvoja jostain sopivasta alueesta. Esimerkiksi parametrisointi \[\begin{cases} z_1 = r_1 \sin u \cos v, \\ z_2 = r_2 \sin u \sin v \\ z_3 = r_3 \cos u, \end{cases} \qquad \begin{cases} 0 \le u \le \pi\\ 0 \le v \le 2\pi \end{cases}\]

    MATLAB ilmoittaa \(\mathrm{R}^2\):n muuttujat tietyllä tavalla organisoituhin matriiseihin seuraavasti:

    [U,V] = meshgrid(linspace(0,pi,21),linspace(0,2*pi,21));

    Nyt ellipsoidin \(r_1=r_2= r_3\) parametrisointi tehdään seuraavasti

    Z1 = sin(U).*cos(V);
Z2 = sin(U).*sin(V);
Z3 = cos(U);

    Kuvan tästä saa piirrettyä komennolla surf(Z1,Z2,Z3). Kokeile miten pinta muuttuu, kun asetat kertoimiksi \(r_k\) eri arvoja. Tutustu myös komentoon axis.

  14. mlLA014

    mlLi014.tex
    Tarkastellaan yhtälöryhmää \[\begin{cases} 0.0001 x_1 + 2 x_2 = 4\\ x_1 + x_2 = 3 \end{cases}\]

    Tarkka ratkaisu on \(\lbrack \frac{2}{1.9999} , \frac{3.9997}{1.9999} \rbrack^T\), joka \(5\):llä numerolla esitettynä on \(\lbrack 1.0001, 1.9999 \rbrack^T\).

    (a) Ratkaise yhtälösysteemi niin, että suoritat laskut (järjestystä vaihtamatta) \(3\):lla merkitsevällä numerolla. (Laske laskimella, Matlabilla tms. ja pyöristä kunkin operaation jälkeen tulos 3:een numeroon.)

    (b) Tee samoin kuin (a)-kohdassa, mutta vaihda yhtälöiden järjestys.

    Selitä, miksi (a)-tapauksessa tulee suuri suhteellinen virhe ( \(100\)%:n suhteellinen virhe toisessa komponentissa), kun taas (b)-tapauksessa virhe on olematon.

    Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, Gaussin rivioperaatio, numeerinen ratkaisu, numeerinen lineaarialgebra, pyöristysvirhe.

  15. mlLA015

    mlLi015.tex
    Olkoon \(A=\left[ \begin {array}{ccc} 1&8&6\\ -1&-4&5 \\ 2&4&-6\end {array} \right] \) ja \(\mathbf{b}= \left[ \begin {array}{ccc} 8&1&4\end {array} \right]^T. \) Ratkaise yhtälö \(A x = b\) osittaistuentaa (“partial pivoting”) käyttäen.
    Olkoon \(P\) permutaatiomatriisi (rivinvaihtomatriisi), joka määräytyy rivien vaihdoista. Muodosta hajotelma \(P A = L U.\)

    Matlab:lla: help lu, [L,U,P]=lu(A) (Tämä siis vertailun vuoksi, tarkoitus on laskea käsin.)

    Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, Gaussin rivioperaatio, LU-hajotelma, numeerinen lineaarialgebra, (osittais)tuenta, “(partial) pivoting”.

    Osittaistuenta tarkoittaa itseisarvoltaan suurimman tukialkion valitsemista pienen tukialkion aiheuttamien numeeristen ongelmien välttämiseksi. Matlab saattaa käyttää esim. ns. skaalattua osittaistuentaa, jolloin rivinvaihtostrategia voi olla erilainen.

  16. mlLA017

    mlLi017.tex
    Muodosta “ylimääräytyvälle” yhtälöryhmälle \[\begin{cases} x+3y = 5\\ x-y=1\\ x+y = 0 \end{cases}\] normaaliyhtälöt ja ratkaise pienimmän neliösumman (PNS,LSQ) mielessä. Piirrä suorat ja ratkaisupiste tasoon.

    Vastaustarkistuskeino: Huomaa, että Matlab:n yhtälösysteemin ratkaisija: \(x=A\backslash b\) on niin älykäs, että se ymmärtää ylimääräytyvässä tapauksessa suorittaa PNS-ratkaisun.

    Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, PNS,LSQ, pienimmän neliösumman menetelmä, LU-hajotelma, numeerinen lineaarialgebra, (osittais)tuenta, “(partial) pivoting”.

  17. mlLA018

    mlLi018.tex
    Huom: Käsinlasku täydennettynä pikku Matlab-osuudella.

    Eräässä mittauksessa saatiin seuraava data:

          xdata     1    2   3   4   5
      ydata     1.8 2.7 3.4 3.8 3.9

    Dataa mallinnetaan polynomilla \(p(x)=c_1\,x + c_2\,x^2.\)

    (a) Muodosta PNS-tehtävän matriisi \(X\) ja vektori \(y\) siten, että tehtävä saadaan ylimääräytyväksi yhtälöryhmäksi \(X\,c = y\).

    (b) Ratkaise kerroinvektori \(c\). Piirrä data ja PNS-polynomi samaan kuvaan.

    (b)-kohdassa saat mieluusti käyttää Matlab:ia. Tee kuitenkin vaiheittain matriikertolaskut, transpoosit ym., lopuksi toki voit tarkistaa “takakenolla”. Piirrä samaan kuvaan datapisteet ja polynomi.

    Piirtäminen käy näin:
    xd=1:5; yd=[1.8 ...]; plot(xd,yd,'x'); hold on; kertoimet=[c2 c1 0]; x=linspace(1,5); y=polyval(kertoimet,x); plot(x,y,'r'); xlim([0 6]); grid on
    Huomaa, että polyval haluaa kertoimet korkeimmasta potenssista alkaen.

    Vast: \(p(x)= 1.76x -0.2x^2\)

    Avainsanat: PNS,LSQ, pienimmän neliösumman menetelmä, käyrän sovitus, curve fitting, data fitting.

  18. mlLA019

    mlLA019.tex
    Määritä PNS-ratkaisu tehtävälle \(A\, x = b\), kun \(A= \left[ \begin {array}{cc} 1&-1\\ 1&4 \\ 1&-1\\ 1&4\end {array} \right] \) ja
    \(b=\left[ \begin {array}{cccc} -1&6&5&7\end {array} \right]^T.\) Hyödynnä QR-hajotelmaa, jonka voit muodostaa seuraavilla komennoilla: (Huom: Yleensä ei lasketa rationaaliaritmetiikalla, mutta opettelussa voi olla hyödyksi.)

    >> format rational
>> A=[...]     % Jos kirjoitat [...], olet TONTTU!
>> [Q,R]=qr(A)

    Vihje Matlab muodostaa ns. täyden QR-hajotelman. Kuten huomaat, riittää ottaa Q:n kaksi ensimmäistä saraketta ja R:n 2 ensimmäistä riviä, miten nyt vain haluat. Huomaa siis, että Q on ortogonaalinen ja R on yläkolmiomatriisi.

    Avainsanat: PNS,LSQ, pienimmän neliösumman menetelmä,QR-hajotelma.

  19. mlLA020

    mlLi020.tex
    Suorita Matlab-komento eigshow. Opiskele helppiteksti ja suorita joitakin kokeiluja kuljettamalla \(x\)-vektoria läpi koko yksikköympyrän. (Tämä vain lämmittelyksi.)

    Valitse erityisesti matriisit A=[1 3;4 2]/4, B=[3 1;-2 4]/4 ja
    C=[2 4;2 4]/4. Määritä kuvan perusteella kunkin ominaisarvot ja -vektorit. Saat vektorit tarkemmin komentamalla grid on.
    Mitä, jos kuvan perusteella ominaisarvoja/vektoreita ei näyttäisi olevan?
    Määritä kuvan perusteella myös ominaisavaruuden dimensio matriisin \(C\) tapauksessa.

    Laske kunkin matriisin ominaisarvot ja -vektorit eig-komennolla. (help eig)

    Huom: Jos näitä matriiseja ei sattuisi olemaan valmiina valikossa, voit ne sinne lisätä helppiruudun “View code for eigshow”-linkistä. Hae koodista kohta mats = .... Siitä näet, miten matriiseja voi lisätä. Jos editoit koodia, tallenna se omaan hakemistoosi vaikkapa nimelle ominashow, ja sitten vaan ominashow.

    Tee joitakin omia kokeiluja erilaisilla matriiseilla oman “ominashow”:n avulla.

    Avainsanat: Ominaisarvot, ominaisvektorit, ominaisarvojen graafinen havainnollistaminen, ominaisvektorien graafinen havainnollistaminen, Matlab: eigshow, eig

  20. mlLA020a

    mlLA020a.tex
    Ohjeita, ominaisarvo-oppia (Liitettäväksi aiheen tehtäväpaperiin)

    • Ominaisarvo on luku, se voi olla kompleksiluku, vaikka matriisi olisi reaalinen.

    • Ominaisvektori on (reaalisen matriisin tapauksessa) \(\mathbb{R}^n\):n tai \(\mathbb{C}^n\):n vektori sen mukaan, onko vastaava ominaisarvo reaalinen vai kompleksinen.

    • Ominaisarvo saa aivan mainiosti olla \(0\), ominaisvektoriksi emme hyväksy nollavektoria.

    • Ominaisarvoon \(\lambda\) liittyvä ominaisavaruus \(E_\lambda\) koostuu kaikista \(\lambda\):aan liittyvistä ominaisvektoreista ja lisäksi nollavektorista. Tällöin kyseessä on vektori(ali)avaruus, nimittäin matriisin \(A-\lambda I\) nolla-avaruus, \(N(A-\lambda I)\).

    • Ominaisarvon \(\lambda_j\) algebrallinen kertaluku \(M_{\lambda_j}\) on karakteristisen polynomin \(\det(A-\lambda I)\) juuren kertaluku. Geometrinen kertaluku \(m_{\lambda_j}\) on \(\dim(E_{\lambda_j}).\)
      Pätee: \(m_{\lambda_j} \leq M_{\lambda_j}\)

    • Jos reaalisella matriisilla \(A\) on kompleksinen ominaisarvo \(\lambda=\alpha + i\,\beta,\) niin myös \(\overline{\lambda}=\alpha-i\,\beta\) on \(A:\)n ominaisarvo. Jos \(\mathbf{v}\) on \(\lambda:\)aa vastaava ominaisvektori, niin liittolukua \(\overline{\lambda}\) vastaava ominaisvektori on \(\overline{\mathbf{v}}.\) (Tarkoittaa vektoria, jonka koordinaatit ovat \(\mathbf{v}:\)n koordinaattien liittolukuja.)

    • Jos on määrättävä diagonaalimatriisin ominaisarvot ja -vektorit, niin laskentatyötä ei jää lainkaan. Älä siis suotta ryhdy veivaamaan \(\det(A - \lambda I)\):n kautta. (Koko ominaisarvohomman perustavoite on saattaa lineaarikuvauksen matriisi diagonaalimuotoon. Jos se jo on, niin mitään ei tarvitse enää tehdä, kunhan osaat siitä lukea.)

    • Kolmiomatriisin (ylä- tai ala-) ominaisarvot ovat diagonaalialkiot. (Siis yleistys edelliselle, tässä tapauksessa ominaisvektoreista ei voida sanoa mitään yleistä.)

    • Kun pyydetään laskemaan johonkin ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit, on sopivaa antaa vastaukseksi ominaisavaruuden kanta. Helpoimmin se saadaan antamalla ratkaisun vapaille muuttujille vuorollaan arvot ( \(1,0,0\)) , (\(0,1,0\)) , (\(0,0,1\)) (jos kyseessä on 3-ulotteinen ominaisavaruus). Tässähän on kyse nolla-avaruuden kannan määräämistehtävästä.

    • Eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat LRT.

    • Diagonalisointi: Annettu \(A\). Etsittävä, jos mahdollista, matriisit \(V\) ja \(D\), \(V\) kääntyvä ja \(D\) diagonaalimatriisi siten, että \(A = V D V^{-1}\).
      Jos tehtävänä on diagonalisoida \(A\), etsitään matriisit \(V\) ja \(D\) ja perustellaan \(V\):n kääntyvyys. (Yleensä ei vaadita \(V^{-1}\):n laskemista ilman eri kehoitusta, tai jatkotehtävän asettamaa tarvetta.)

    • Octave/Matlab-komentoa eig kannattaa käyttää ainakin tarkistukseen. Muoto [V,D]=eig(A) antaa suoraan diagonalisointimatriisit: \(V:\)n sarakkeina ominaisvektorit ja \(D:\)n diagonaalilla (samassa järjestyksessä) ominaisarvot. Jos \(A\) on diagonalisoituva, niin \(V:\)n sarakkeet ovat LRT, jolloin voidaan muodostaa \(V^{-1};\) Matlab/Octavella: inv(V).

    Ohjetiedoston Latex-koodi:
    ../mlteht/mlLinalg/mlLA020a.tex

    Avainsanat: Ominaisarvo-opin perus(lasku)ohjeita

  21. mlLA021

    mlLA021.tex (käsinlasku, Matlab sopii avuksi/opiksi)

    Muodosta matriisin \(A= \left[ \begin {array}{ccc} 3&-2&4\\ -2&6&2 \\ 4&2&3\end {array} \right] \) ortogonaalinen diagonalisointi (tarkoittaa ortonormaalia).

    Laskutyön vähentämiseksi annetaan (tai pyydetään oppilasta komentamaan):

    >> eig(A)
ans =
         -2.00
          7.00
          7.00

    Avainsanat: Ominaisarvot, ominaisvektorit, ortogonaalinen diagonalisointi.

    Vihje:
    Muista, että ominaisvektorit eivät automaattisesti ole yksikkövektoreita, ja useampikertaista ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit eivät automaattisesti ole ortogonaaliset.
    Jos olet saanut samaan ominaisavaruuteen kuuluvat LRT ominaisvektorit \(v_1\) ja \(v_2\), niin ortonormaalin kannan saat
    1) geometrisen ajattelun avulla: Muodosta \(v_2\):n kohtisuora projektio \(v_1\):llä ja vähennä se \(v_2\):sta. Tai
    2) algebrallisesti: Määritä kerroin kerroin \(c\) siten, että \((v_1 + c\, v_2) \perp v_1.\)

  22. mlLA028

    mlLi028.tex
    Olkoon \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5&1&1\\ 1 &5&1\\ 1&1&5 \end{bmatrix}\]

    1. Laske matriisin \(\mathbf{A}\) diagonalisointiin tarvittavat matriisit \(P\) ja \(D\).

    2. Varmista, että \(P\) on ortogonaalinen, ja \(D\) on diagonaalinen ja diagonaalialkiot suuruusjärjestyksessä.

    3. Osoita, että spektraalikaava \[\lambda_1\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^T+\lambda_2\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^T+\lambda_3\mathbf{u}_3\mathbf{u}_3^T = A\] pätee.

  23. mlLA029

    mlLi029.tex
    Potenssimenetelmä on eräs keino löytää itseisarvoltaan suurin ominaisarvo ja vastaava ominaisvektori. Menetelmä toimii seuraavasti:

    • Valitse alkuarvaus \(\mathbf{b}_0\). Ainoa vaatimus on, että tällä vektorilla on nollastapoikkeava komponentti ominaisarvon suuntaan – käytännössä kannattaa valita vektori, jonka jokainen alkio on nollasta poikkeava.

    • Aseta \[\mathbf{b}_{k+1}=\frac{\mathbf{A}\mathbf{b}_k}{||\mathbf{A}\mathbf{b}_k||}\]

    • Jatka kunnes jono \((\mathbf{b}_k)\) suppenee. Ominaisarvo \(\lambda = ||\mathbf{A}\mathbf{b}_k||\) ja vektori \(\mathbf{x} = \mathbf{b}_k\).

    Toteuta menetelmä MATLABissa, ja laske matriisin gallery(5) suurin ominaisarvo ja vastaava ominaisvektori. Testaa tuloksen oikeellisuus.

  24. mlLA030

    mlLA030.tex
    Ominaisarvojen laskentamenetelmiä, Power method [KRE\(^9\)] Sec. 20.8
    Sovella potenssimenetelmää (3 kierrosta) matriisiin \[A= \left[ \begin {array}{cc} 3.5& 2.0\\ 2.0& 0.5 \end {array} \right]\] alkuarvolla \(x_0=\lbrack 1,1 \rbrack^T\). Laske Rayleigh-osamäärät \(q\) ja virherajat.

    Ratk: Vastaus: \(q=4,4.493,4.4999; |\epsilon| \leq 1.5,0.1849, 0.0206\)

    Avainsanat: Potenssimenetelmä, ominaisarvojen laskentamenetelmät, Power method.

  25. mlLA031

    mlLi031.tex
    Osoita, että jos \(x\) on ominaisvektori, niin \(\delta=0\) virhekaavassa (2) Theorem 1 s. 872 (KRE\(^9\), luvun 20.8, Power Method for Eigenvalues alkusivulla) .

    Päättelytehtävä, ohjelmistoista ei hyötyä.

    Avainsanat: Potenssimenetelmä, ominaisarvojen laskentamenetelmät, Power method.

  26. mlLA032

    mlLA032.tex
    (a) Päättele Gershgorinin lauseen avulla matriisin \[A= \left[ \begin {array}{ccc} 11& 0.4&- 0.5\\ 0.4&7&a \\ - 0.5&a& 4\end {array} \right]\] ominaisarvojen likiarvot ja missä rajoissa ne ovat.

    (b) Millä \(a\):n reaaliarvoilla nähdään suoraan, että matriisi on kääntyvä. (Tarkoitus ei ole laskea determinanttia tai ominaisarvoja, korkeintaan halutessasi tarkistukseksi ja varmistuksesi Gershgorinin pätevyydelle.)

    Vihje Käsinlasku, jossa voit harjoitella Matlabin laskinkäyttöä.

    Avainsanat: Gershgorinin lause , ominaisarvojen laskentamenetelmät, ominaisarvoarvio.

  27. mlLA033

    mlLA033
    Gershgorinin lauseen graafinen havainnollistus.

    Tee funktio G:n ympyröille.

    Testaa erilaisilla matriiseilla.

  28. mlLA040

    mlLi040.tex
    Olkoot \(\mathbf{A}\) kompleksinen \(n \times n\) matriisi, ja olkoot \(R_i = \sum_{j\neq i} |a_{ij}|\), eli rivin alkioiden itseisarvojen summa diagonaalia lukuunottamatta. Gershgorinin kiekkolauseen väite on, että jokainen matriisin \(\mathbf{A}\) ominaisarvo \(\lambda_i\) sijaitsee jossakin kiekossa \(D(a_{ii},R_i)\), (kompleksitasoon piirretty kiekko, jonka keskipiste on pisteessä \(a_{ii}\), ja jonka säde on \(R_i\)). Totea lauseen väite kokeellisesti, kun A=10*randn(12)+ 5*randn(12)*i;

    Ympyrän, jonka keskipiste on \((x,y)\) ja säde \(r\) saa MATLABissa piirrettyä helposti seuraavasti:

    x = 0.4; y= -0.34
t = 0:0.02:2*pi;
plot(x+cos(t),y+sin(t));
hold on 
%Yksittäinen piste piirretään seuraavasti
plot(x,y,'r.');
  29. mlLA050

    mlLi050.tex
    Gram-Schmidtin menetelmä vektorijoukon \(\lbrace \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \ldots ,\mathbf{v}_n \rbrace\) ortonormalisoimiseksi toimii seuraavasti:

    • Ortogonalisoidaan:
      \(\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1\)

      \(\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{v_2}}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1} \mathbf{u}_1\)

      \(\vdots\)

      \(\mathbf{u}_n = \mathbf{v}_n - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\mathbf{u}_k \cdot \mathbf{v_n}}{\mathbf{u}_k \cdot \mathbf{u}_k} \mathbf{u}_k\)

    • Normitetaan: \(\mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{||\mathbf{u}_i||}, i = 1\ldots n\)

    Kirjoita MATLAB-funktio B = grmsch(A) joka hakee Gram-Schmidtin menetelmällä ortonormaalin kannan matriisin \(\mathbf{A}\) sarakeavaruudelle. Testaa ortonormaalius laskemalla B’*B.

    Vinkki: Laskutoimitus \(\frac{\mathbf{u}_k \cdot \mathbf{v_n}}{\mathbf{u}_k \cdot \mathbf{u}_k} \mathbf{u}_k\) vastaa toimitusta \((\mathbf{u}_k^T \mathbf{v}_n)\mathbf{u}_k\). Lisätehtävä nopeille: Matriisin sarakeavaruuden normalisointi ei poikkea kovin paljon QR-hajotelman tekemisestä. Jos ehdit, toteuta oma algoritmisi QR-hajotelmalle.

  30. mlLA090

    mlLA090
    Seuraava kuva esittää kymmenen sivun ’’internettiä’’.

    image

    image

    Laske tämän verkon tärkein sivu käyttämällä PageRank-algoritmia:

    • Luo verkon vierusmatriisi \(A = [a_{ij}]\), missä \[a_{ij} = \begin{cases} 1 \qquad \text{ jos sivulta j on linkki sivulle i} \\ 0 \qquad \text{ muuten}\\ \end{cases}\]

    • Laske vierusmatriisin suurin ominaisarvo, ja vastaava ominaisvektori.

    • Normalisoi laskemasi suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori (jaa kaikki vektori alkiot vektorin summalla). Mikä on tämän verkon tärkein sivu.

    • Piirrä verkon kuva käyttäen laatimaasi vierusmatriisia ja gplot-komentoa. Tutustu gplotin help-sivuun.

  31. mlLA500

    mlLA500.tex
    Luovuttaja: Riikka Kangaslampi (Perustuu Juha-Matti Perkkiön laatimaan hahmontunnistusharjoitukseen.)

    Käynnistä Matlab, ja käy lataamassa kurssin Noppa-sivulta tiedosto nimeltä kuvatiedosto.mat. Vaihda Matlabin työhakemistoksi se hakemisto, mistä tämä tiedosto löytyy, ja kirjoita

    load kuvatiedosto who

    Matlabin muistiin ilmestyi \(10304 \times 400\) -kokoinen matriisi KUVA, jonka kussakin sarakkeessa on pystyvektoriksi venytetty \(112 \times 92\) -kokoinen harmaasävykuva. Kuvissa esiintyy 40 eri henkilöä, joista kustakin on 10 eri valokuvaa. Kuvat on järjestetty niin, että sarakkeissa \[10(n-1) + 1, . . . , 10n\] on kuvat samasta henkilöstä \(n = 1,\ldots,40\). Kuvat on saatavilla ilmaiseksi PNG-muodossa AT&T Laboratories Cambridgen webbisivulta
    http://www.cl.cam.ac.uk/research/dtg/attarchive/facedatabase.html.
    Sieltä löytyy myös kätevä esikatseluversio, jossa näkyy yhtä aikaa kaikki 400 kuvaa.

    Luodaan funktio, jonka avulla voidaan katsella sarakkeista löytyviä kuvia. Muodosta tiedosto nimeltä nayta.m, ja kirjoita sinne seuraava koodinpätkä:

    function nayta(kuva)
imagesc(reshape(kuva,112,92))
colormap gray
colorbar
axis equal tight

    Nyt sarakkeesta \(n\) löytyvä kuva saadaan näkyviin kirjoittamalla

    figure(1)
nayta(KUVA(:,n))

    Selaa läpi matriisista KUVA löytyviä kuvia.

    Yritetään selvittää, miten hyvin tietokoneen saa tunnistamaan ihmiskasvoja. Muodostetaan ensin keskimääräinen kasvokuva \(KA\), ja sen jälkeen matriisi \(X\), joka sisältää kuvat, joista on poistettu tämä keskiarvokuva:

    KA = sum(KUVA')'/400; % Laskee sarakkeiden keskiarvon
X = zeros(size(KUVA));
for n=1:400; X(:,n) = KUVA(:,n)-KA; end

    Katso, miltä keskiarvokuva ja matriisista \(X\) löytyvät kuvat näyttävät.

    Seuraavaksi muodostetaan matriisin \(X\) singulaariarvohajotelma komennolla

    [U,S,V] = svd(X,0);

    Tässä saattaa mennä hetki. Matriisin \(A \in C^{m\times n}\) singulaariarvohajotelma on \(A = USV^H\), missä matriisien \(U \in C^{m\times n}\) ja \(V \in C^{n\times n}\) sarakevektorit ovat ortonormeerattuja, ja \(S \in C^{n\times n}\) on diagonaalimatriisi, jonka kaikki alkiot ovat ei-negatiivisia reaalilukuja, laskevassa järjestyksessä. Erityisesti \(V\) on unitaarinen, eli \(V^{-1} = V^H\). Alkuperäisen matriisin \(X\) sarakkeet saadaan esiin seuraavalla käskyllä:

    X(:,n) = U*S*V(n,:)';

    Matriisin \(X\) sarakevektorit tulee siis esitettyä lineaarikombinaatioina ortonormaaleista sarakevektoreista \(U(:,n)\), joista ensimmäisiä vastaavat kertoimet ovat tyypillisesti häntäpään kertoimia suurempia. Matriisin U sarakkeet ovat tietyssä mielessä kuvakirjaston “merkittäviä piirteitä”. Tarkastele näitä kirjoittamalla nayta(U(:,n)).

    Matriisia \(X\) voidaan approksimoida singulaariarvohajotelman avulla. Singulaariarvojen suhteista voidaan päätellä, kuinka monta ensimmäistä matriisin \(U\) pystyriviä kannattaa ottaa mukaan. Kirjoita

    var = (diag(S).^2);
varpart = cumsum(var)/sum(var);
plot(varpart)

    Nyt graafista näkyy, kuinka suuri osa singulaariarvojen neliöistä on mukana, kun matriisista U otetaan mukaan annettu määrä vektoreita.

    Katsotaan, miltä eripituiset approksimaatiot näyttävät. Pystyvektoria \(X(:,n)\) vastaava approximaatio \(Y\), jossa on mukana \(k\) ensimmäistä komponenttia, saadaan näkyviin käskyillä

    Y = U(:,1:k)*S(1:k,1:k)*V(n,1:k)';
nayta(KA + Y)

    Kokeile, miltä kuvat näyttävät eripituisilla approksimaatioilla.

    Pudotetaan seuraavaksi singulaariarvohajotelmasta 300 viimeistä komponenttia:

    U = U(:,1:100);
C = S(1:100,1:100)*V(:,1:100)';

    Nyt siis approksimaatio kuvalle KUVA(:,n) saadaan seuraavasti:

    nayta(KA + U*C(:,n))

    Huomaa, kuinka paljon datan määrä tippui, ja kuinka kunkin yksittäisen kasvon koodaamiseen riittää alkuperäisen 10304 luvun sijasta vain 100 lukua. Lisäksi olisi hyvin todennäköistä, että jonkin aivan uuden kasvokuvan koodaamiseen kelpaisi sama \(10304 \times 100\) -matriisi \(U\), eli jopa kirjastosta puuttuvien kasvojen koodaus onnistuisi todennäköisesti ainoastaan sadalla luvulla.

    Kokeillaan seuraavaksi, miten hahmontunnistus onnistuu. Ajatellaan, että tietokone on nähnyt kustakin neljästäkymmenestä henkilöstä yhdeksän eri kuvaa, jotka virittävät aliavaruudet \(W^n \in \mathbb{R}^{10304}\) kullekin henkilölle \(n = 1,\dots, 40\), ja annetaan tietokoneen laskea lopuista 40 kuvasta etäisyydet kuhunkin näistä aliavaruuksista. Pienin etäisyys vastaa siis suurella todennäköisyydellä sitä, että kyseessä on sama henkilö. Koska matriisin \(U\) pystyvektorit ovat ortonormeerattuja, niin etäisyyksien laskemisen voi aivan yhtä hyvin suorittaa sataulotteisessa komponenttiavaruudessa, jossa kasvokuvia vastaavat matriisin \(C\) pystyvektorit. Nyt siis approksimaatiota \(U*C(:,n)\) vastaa sataulotteinen komponenttivektori \(C(:,n)\), ja sisätuloille (ja sitä kautta etäisyyksille) pätee

    (U*C(:,n))'*(U*C(:,k)) = C(:,n)'*C(:,k).

    Muodosta tiedosto nimeltä tunnistuskoe.m, ja kirjoita sinne seuraava koodinpätkä:

    P = cell(1,40);

for n=1:40
    [Q,R]=qr(C(:,(n-1)*10+1:n*10-1),0);
    P{n} = Q*Q';

    for m=1:40
    W(m,n)=norm(C(:,10*m)-P{n}*C(:,10*m));
    end
end

    Nyt siis \(P\{n\}\) on projektiomatriisi sarakevektoreiden

    C(:,(n-1)*10+1),...,C(:,n*10-1)

    virittämään aliavaruuteen, ja \(W(m,n)\) on vektorin \(U*C(:,10*n)\) etäisyys aliavaruudesta \(W_m \subset \mathbb{R}^{10304}\). Aja tämä pieni skripti kirjoittamalla tunnistuskoe, ja tutki matriisia \(W\). Kuinka monen henkilön kohdalla tunnistus meni oikein?