MMM-Tehtäväportaali

 

 

Menu:

MATLAB-tehtäviä liittyen lineaarialgebraan.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

  • 1. 
    mlLi001.tex
    Ohjetiedosto, poimi mukaan tehtäväpaperiin tarpeen mukaan.

    Matlab-ohjeita

    • Komennon suorittama tulos tulee ruudulle ENTER-painalluksen jälkeen (kuvat erilliseen ikkunaan). Jos haluat estää tulostuksen, päätä komento puolipisteeseen. Jos myöhemmin haluat katsoa muuttujan sisällön, kirjoita sen nimi (ilman puolipistettä). Jos muuttuja on suuri matriisi, kannattaa ensin katsoa sen koko size(A) tai sen jotain osaa, esim. A(1:10,1:10)
    • Edellisen komennon tulos on muuttujassa ans. Yleensä on suositeltavaa antaa tulokselle oma nimi tyyliin nimi= ...
    • format long : Tulostetaan enemmän numeroita (n. 16). Laskutarkkuuteen tämä ei vaikuta.
      format rational laskee rationaaliluvuilla.
      format short: Paluu oletustulostukseen.
    • Matriisin A transpoosi: A’
    • Kokonaislukuvektori: Esim 1:10 tai 1:2:20. Myös linspace. Pystyvektoriksi transponoimalla.
    • A(i,j) A:n alkio (i,j).
      A(2,:) A:n 2. rivi
      A(:,3) A:n 3. sarake
      A(1:4,1:4) osamatriisi
      Matriisin osaa voi päivittää, vaikkapa:
      A(1:4,1:4)=ones(4,4) tai
      A(2,:)=A(2,:)-2*A(:,1) (Gaussin rivioperaatio).
    • Matriisien liittäminen: Jos A:lla ja B:llä on yhtä monta riviä, ne voidaan liittää peräkkäin: [A b] (tai [A, b])
      Jos yhtä monta saraketta, niin allekkain: [A;B]
    • Laskutoimitukset tarkoittavat matriisilaskua. Siis esim.
       A*B, A^p
    • Vektorien ja matriisien (samankokoisten) pisteittäinen eli alkioittainen laskenta tapahtuu lisäämällä eteen piste. Esim:

      u=[1 2 3], v=[-2 -2 -2], u.*v.
      Toinen operandi voi olla skalaari.

      Siten esim. vektorin u kaikki komponentit voidaan korottaa toiseen komennolla  u.^2 

    Avainsanat:
    Ohjetiedosto, Harjoitusohjeita, Lineaarialgebra, Matlabperusteet,

    Tehtava

  • 2. 
    mlLi002.tex
    Olkoon
         ⌊                           ⌋
        5    − 13 − 13  − 2    7
     ||  18   − 4   30   − 1  − 12||
A  = || − 23   3     7    15    7 ||
     ||  9    36    − 1   14   16 ||
     ⌈                           ⌉
        3    28     7    14    5

    ja

        ⌊      ⌋
    | − 196 |
    ||  435 ||
b = ||  11  ||.
    |⌈  111 |⌉
       195

    Ratkaise yhtälösysteemi Ax = b ja tarkista tulos matriisikertolaskulla.

    Avainsanat:
    Lineaarinen yhtälöryhmä, Matlabperusteet, Matlabalkeet,perusmatriisilaskenta

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 3. 
    mlLi003.tex [myös Maple, Mathematica]
    • Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä ja tarkista tulos kertolaskulla.
      ({
 4x − 5y =  11
(2x + y =  9

      Vihje:  Matlab: ”Matriisijako”: Ab

    • Tiedetään, että Celsius-asteiden ja Fahrenheit-asteiden välillä on lineaarinen yhteys:

      C =  aF + b.

      Lisäksi tiedetään, että vesi jäätyy 32 F:ssa ja -40 on sama kummassakin asteikossa. Johda kaava. Tarkoitus on kirjoittaa kertoimien a ja b määräämiseksi lineaarinen yhtälösysteemi, joka ratkaistaan Matlab:n takakenolla ().

    • Muodosta matriisi, jonka 1. sarake on C-asteet 50:sta 5:n asteen välein 100 :aan ja toinen sisältää vastaavat F-asteet.

    Vihje: Tarkan rationaalilukukaavan saat komentamalla format rat. Tee m-tiedosto kommentteineen.
    Huomaa, että taulukkoa ei ole mukavaa katsoa koknaisuutena, esim. 10 ekaa riviä näet näin: taulukko(1:10,:) (eikö vain?).
    Hivelevää on myös mennä “Workspace-ikkunaan” ja kaksoisklikata taulukko-ikonia.

    Kokeile sen ajamista myös pdf:ksi publish(Fahrenheit,pdf)-komennolla (jos skripti on Fahrenheit.m), kunhan ensin testailet sen kuntoon.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 4. 
    mlLi0035.tex Matlab/Maple/Mathematica
    Hilbertin matriisi koostuu alkioista h(i,j) = 1(i + j 1).

    Tällaisia syntyy mm. PNS-sovituksessa.

    Tarkastellaan 4 × 4 Hilbertin matriisia

         ⌊  1   1 ∕2  1∕3  1∕4 ⌋
     |                     |
     || 1∕2  1 ∕3  1∕4  1∕5 ||
H  = ||                     ||
     |⌈ 1∕3  1 ∕4  1∕5  1∕6 |⌉

       1∕4  1 ∕5  1∕6  1∕7

    ja yhtälöryhmää Hx = b, missä b = b1 = [0.95;0.67;0.52] ja b = b2 = [0.95;0.67;0.53] , ts b2 = b1 + [0,0,0.1]

    Tarkoitus on tutkia, mitä pieni muutos systeemin datassa vaikuttaa ratkaisuihin.

    • Ratkaise molemmat systeemit.

      Mitä nämä pienet häiriöt vaikuttavat ratkaisuihin?

    • Lineaarisen yhtälösysteemin herkkyyttä pienille virheille sanotaan häiriöalttiudeksi (“ill-conditioned “). Laske kummankin matriirin häiriöalttius.

      Suhteellisen virheen suurtenemisypäyhtälö:

      ||Δx ||    ||Δb ||
------≤  κ------
 ||x||      ||b||

      Pahimmillaan ratkaisun suhteellinen virhe voi olla luokkaa κ× (datan suhteellinen virhe) (κ = cond(A))

    Luokittelu:
    mplteht/mplLinis/mplLixx.tex, matlabteht/mlLinis/mlLixx.tex
    Avainsanat:
    Numeerinen lineaarialgebra, matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, häiriöalttius

    Tehtava

  • 5. 
    mlLi004.tex Matlab/Maple/Mathematica

    Tarkastellaan yhtälösysteemejä:

    (
||| 10x1 + 7x2 + 8x3 + 7x4 =  32
||{ 7x1 + 5x2 + 6x3 + 5x4 =  23

|||| 7x1 + 6x2 + 10x3 + 9x4 =  33
|( 7x1 + 5x2 + 9x3 + 10x4 =  31
    ja
    (
||2x  + x  + 5x  + x  = 9
|||{   1    2     3    4
 x1 + x2 − 3x3 − x4 = − 5
|||3x1 + 6x2 − 2x3 + x4 =  8
||(
 2x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 =  3
    • Ratkaise molemmat systeemit.
    • Muuttamalla vähän yhtälön dataa (oikeaa puolta ja/tai kerroinmatriisia), voidaan tutkia systeemin herkkyyttä pienille virheille (datassa ja pyöristyksessä).

      Ratkaise 1. systeemi oikean puolen vektoreilla
       [32.1, 22.9, 32.9,31.1]’ ja [32.01, 22.99,32.99,31.01]’
      ja 2. systeemi vektoreilla
      [9.1 -5.1, 7.9, 3.1]’  ja [9.01, -5.01, 7.99, 3.01]’  .

      Mitä nämä pienet häiriöt vaikuttavat ratkaisuihin?

    • Muuta kerroinmatriiseja lisäämällä matriisien kuhunkin alkioon pieni satunnaisluku
      0.1*rand . Ratkaise systeemit alkuperäisillä oikeilla puolilla. Mitä nämä muutokset vaikuttavat ratkaisuihin.
    • Lineaarisen yhtälösysteemin herkkyyttä pienille virheille sanotaan häiriöalttiudeksi (“ill-conditioned “). Laske kummankin matriirin häiriöalttius.

      Suhteellisen virheen suurtenemisypäyhtälö:

      ||Δx ||    ||Δb ||
------≤  κ------
 ||x||      ||b||

      Pahimmillaan ratkaisun suhteellinen virhe voi olla luokkaa κ× (datan suhteellinen virhe) (κ = cond(A))

    Luokittelu:
    mplteht/mplLinis/mplLixx.tex, matlabteht/mlLinis/mlLixx.tex
    Avainsanat:
    Numeerinen lineaarialgebra, matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, häiriöalttius

    Tehtava

    Ratkaisu

    PDF ratkaisusta

  • 6. 
    mlLi005.tex
    Olkoon
         ⌊        ⌋      ⌊   ⌋
      5  1  1         10
A =  |⌈1  5  1 |⌉,b =  |⌈14 |⌉.

      1  1  5         18

    Varmista ensin, että matriisi A on kääntyvä laskemalla det(A).
    Tutki, mitä muita keinoja on matriisin ei-singulaarisuuden tarkistamiseen. Kokeile vaikka rank,rref,lu,cond,rcond (katso helpillä).
    (Huomaa, että “oikeissa tehtävissä” tärkeämpi käsite on “lähes singulaarisuus”, tähän det ei ole yleispätevä työkalu.)

    Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b käyttämällä

    a)
    Käänteismatriisia inv
    b)
    MATLABin matriisijakoa x = Ab.

    Opetus: Huomaa, että “matriisijako” on numeerisen tarkkuuden ja laskentatehon kannalta yleensä parempi tapa (mikä ei pienissä, hyvänlaatuisissa tehtävissä tule ilmi).

    Opettajalle: Tehtävään voidaan lisätä myös A-matriisin muodostaminen diagonaaleittain diag-funktiolla (vaikkei mene hyödyn puolelle näin pienessä tehtävässä).

    Tehtava

  • 7. 
    mlLi006.tex
    Tasapainolämpötilajakauma metallilevyssä.
    Kuva esittää metallilevyä, joka on ylä- ja alapinnoiltaan lämpöeristetty ja jonka reunojen lämpötilat on kiinnitetty. (Lämpöä virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainolämpötilajakauma saadaan Laplacen yhtälön Δu = 0 ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. differenssimenetelmällä: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan näin muodostuvat solmupisteet. Menetelmä: Kunkin hilasolmun lämpötila on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo. (Johdetaan kurssin lopulla.)

    Muodosta 4 × 4yhtälösysteemi solmujen 1, 2, 3, 4 lämpötilojen likiarvoille u1,u2,u3,u4. Ohje: Aloitetaan solmusta 1: u1 = 14(30 + u2 + u3 + 10). Vastaavasti muut kolme solmua.

                   20      20  
            —----- o  ----  o ------—  
            —                       —  
            —                       —  
         10 o      o 3      o 4     o  40  
            —                       —  
            —                       —  
         10 o      o 1      o 2     o  40  
            —                       —  
            —                       —  
            —----- o ------ o ------—  
                   30       30

    (a)
    Ratkaise yhtälösysteemi ja sijoita ratkaisulämpötilat ao. hilapisteisiin.
    (b)
    Muodosta 4 × 4 matriisi, jossa on reunalämpötilat ja ratkaisemasi sisäpistelämpötilat sekä nurkissa lähinnä olevien kahden reunasolmun keskiarvot tähän tapaan:  U=[5 20 20 30;10 u3 u4 40; 10 u1 u2 40; 20 30 30 35]; Piirrä ratkaisupinnan approksimaatio: mesh(U) tai surf(U).

    Opettajalle: Hilakokoa voidaan kasvattaa. Jos annetaan tehtäväksi ilman kerroinmatriisin struktuurihavaintoa, 4 × 4 lienee suurin ajateltavissa oleva (16 × 16 yhtälösysteemi), joka sekin saattaa jo hipoa joidenkin kärsivällisysrajaaa.

    Avainsanat:Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, differenssimenetelmän alkeellisin perustehtävä, lineaarinen yhtälöryhmä.

    Tehtava

  • 8. 
    mlLi006a.tex, [Maple:mplLinis/mplLi010.tex]
    (Kynä-paperitehtävä)
    Tarkastellaan lämmönjohtumista ohuessa metallilevyssä. Oletetaan, että johtumista tapahtuu vain levyn suunnassa, ja levyn reunoilla on annetut (ajan suhteen) vakiolämpötilat. Levyn lämpötilat eri pisteissä asettuvat ajan kuluessa arvoihin, jotka ovat ajan suhteen vakioita, tällöin puhutaan lämpötilajakauman tasapainotilasta (”steady state”). Tehtävänä on määrittää lämpötilajakauma levyssä tasapainotilan vallitessa.

    Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta: (Klikkaa oikealla olevaa pdf-linkkiä, niin kuva näkyy kunnolla.)

                   --- 20----20---20----  
                  —    —     —     —    —  
                 10----*-----*-----*---40  
                  —    —     —     —    —  
                 10----*-----*-----*----40  
                  —    —     —     —    —  
                   ----20----20----20---

    Kuvassa näkyvät annetut vakioreunalämpötilat (reunaehdot). Tehtävänä on laskea ratkaisuapproksimaatiot *:llä merkityissä sisäsolmupisteissä käyttäen seuraavaa periaatetta: Lämpötila levyn solmupisteessä on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo.

    Jos indeksoidaan solmupisteiden lämpötilat vaakarivijärjestyksessä: T1,T6, voidaan ryhtyä kirjoittamaan yhtälöitä tyyliin:

    T1 = 20+10+T44+T2-,.

    Kirjoita koko 6 × 6- yhtälösysteemi ”standardimuodossa”.
    Huom: Tasapainotilaratkaisu saadaan ns. Laplacen yhtälön 2T = 0 ratkaisuna. Tässä esitettyyn likimääräismenettelyyn ns. differenssimenetelmään

    Ratkaisua pyydetään seuraavassa tehtävässä.

    Tehtava

  • 9. 
    mlLi006b.tex, [Maple:mplLinis/mplLi011.tex]
    Ratkaise edellisen tehtävän yhtälösysteemi Maplea (tai Matlabia) käyttäen. (Tässä Maple-ohjeet.) Muodosta sitten edellisen tehtävän kuvan mukainen 4 × 5 matriisi, jossa on annetut reunalämpötilat sekä lasketut sisälämpötilat oikeilla kohdillaan. Ota nurkkapisteiden lämpötiloiksi kahden naapurisolmun lämpötilojen keskiarvo. Piirrä kuva, pyörittele hiirellä.

    Vihje:  Maplevihje

    (Matlabissa et tarvitse vihjettä, vaan teet suoraan todella “matlabmaisesti”.)

    Tehtävässä riittää käytellä LinearAlgebra-kirjaston funktiota LinearSolve.

    Ratkaisuvektorin muokkaaminen matriisiksi onnistuu mukavasti, kun leikkaat/liimaat alla olevan funktiomäärityksen Maple-työarkillasi. (Suorita leikkaus pdf-tehtävätiedostosta.)

    Reshape:=(vek,m,n)->Matrix(linalg[matrix](m,n,convert(vek,list)));

    Funktio on tehty vastaamaan Matlabin funktion reshape käytöstä siinä tapauksessa, jossa vektori muutetaan annetun kokoiseksi matriisiksi.

    Lämpötilamatriisin rakentelu kannattaa hoidella (Matlabinomaiseen) tyyliin:

    Tsisa:=Reshape(T,2,3); # vektorissa T on ratkaisulampotilat.  
    Tiso:=Matrix(4,5,0);  
    vaaka:=¡15—20—20—20—30>;  
    pysty:=...;  
    Tiso[2..3,2..4]:=Tsisa;  
    ...

    Piirtäminen komennolla matrixplot (muista with(plots):)

    matrixplot(Tiso,axes=boxed);

    Pyörittele kuvaa hiirellä.

    Huom: Sanomattakin on selvää, että tehtävä sopii erikoisen hyvin Matlab:lle. Tässä pikemminkin näytetään, että Maplen LinearAlgebra-työkaluilla voidaan matkia Matlab-työtapaa ja päästä lähelle samaa käsittelymukavuutta.

    Lisätehtävä: Tee ratkaisu Matlabilla!

    Palataan asiaan perusteellisemmin Matlab-tehtävien yhteydessä, jolloin käsitellään lähemmin differenssimenetelmää.

    Tehtava

  • 10. 
    mlLi007.tex
    Oheinen kuva esittää liikenneverkkoa. Kuhunkin solmuun A,B,C,D tulevien ja siitä lähtevien ajoneuvojen lukumäärien summa pysyy samana (solmuun ei häviä eikä siinä synny ajoneuvoja). Kadut ovat yksisuuntaisia nuolien osoittamalla tavalla.

    Kuvan saat mukaan tehtävääsi, kunhan kopioit

    polku/img/liik.eps-tiedoston omaan img-hakemistoosi. Tässä:

    polku=http://www.math.aalto.fi/opetus/Mattie/MattieT/matlabteht/mlLinis/

    PIC

    (a) Muodosta yhtälösysteemi tuntemattomien ajoneuvomäärien x1,x5 suhteen.
    (b) Määritä systeemin yleinen ratkaisu.
    (c) Jos x4:llä merkitty katuosuus suljetaan, niin mikä on yleinen ratkaisu?
    (d) Määritä kohdan (c) tilanteessa pienin x1 :n ja suurin x3 :n arvo (jotta yhdensuuntaisuutta osoittavia liikennemerkkejä ei tarvitse kääntää).

    Huom! Porrasmuotoon saattamisessa saat halutessasi käyttää Matlab/Octave-funktiota rref (kts. help rref).

    Avainsanat: Liikenneverkko, lineaarinen yhtälöryhmä, (redusoitu)porrasmuoto, rref.

    Tehtava

  • 11. 
    mlLi007a.tex
    Muodosta lineaarinen yhtälösyteemi alla olevalle virtapiirille ja ratkaise virrat.
                   8 V  
                 ¡-----              Kirchhofin virtalaki:  
            I1    —  
        ----¡---- — —---------   Virtapiirin jokaisessa solmussa:  
        —         —          —   tulevien virtojen summa =  lähtevien  
        ¡                    ¡   summa.  
        > 1 Ohmi      1 Ohmi >  
        ¡                    ¡       Kirchhofin jännitelaki:  
        —      0.5 Ohmia     —   Virtapiirin jokaisessa suljetussa sil-  
        ------“/“/“/--->-----—   mukassa ulkoisen jäannitelähteen  
        —              I3    —   jännite = jännitehäviöiden summa.  
        ¡                    —  
        >                    —      Ohmin laki: U=RI  
        ¡ 2 Ohmia         I2 “/  
        >                    —  
        —         —          —  
        ----¡---- — —---------  
                  —  
                16 V  
              ¡------

    Vast.: I1 = 2,I2 = 6

    Avainsanat: Sähköpiiri, tasavirtapiiri, lineaarinen yhtälöryhmä, (redusoitu)porrasmuoto, rref.

    Tehtava

  • 12. 
    mlLi008.tex
    1.
    Muodosta 5 × 5-yksikkömatriisi I. (help eye)
    2.
    Muodosta matriisi E1, jossa on vaihdettu I:n rivit 2 ja 5.
    3.
    Muodosta matriisi E2, joka saadaan kertomalla I:n 4. rivi
    luvulla 4.
    4.
    Muodosta matriisi E3, joka saadaan I:stä Gaussin rivioperaatiolla:
    r  ← r  + 4r ,
 4    4     1
    missä ri tarkoittaa matriisin riviä numero i.
    5.
    Muodosta matriisit E11,  E 21,  E 31 käyttäen komentoa inv ja selitä, mitä rivioperaatiota ne vastaavat.

    Avainsanat: Alkeismatriisit, LU-hajotelma, Gaussin rivioperaatio, käänteismatriisi.

    Tehtava

  • 13. 
    mlLi009.tex (KP3-ii, 2008, harj1)
    Olkoon
        ⌊                ⌋
       a1,1  a1,2  a1,3
    ||                ||
A = |⌈  a2,1  a2,2  a2,3|⌉
       a3,1  a3,2  a3,3

    ja olkoot

    E0 = ⌊         ⌋
| 0  1  0 |
|| 1  0  0 ||
⌈         ⌉
  0  0  1 E1 = ⌊         ⌋
| 1  0  0 |
|| 0  1  0 ||
⌈         ⌉
  0  0  3, E2 = ⌊         ⌋
| 1  0  0 |
|| 2  1  0 ||
⌈         ⌉
  0  0  1.

    Muodosta matriisitulot E0A, E1A, AE1 ja E2A ja selvitä, mitä nämä operaatiot tekevät matriisin A riveille/sarakkeille.

    Avainsanat: Alkeismatriisit, LU-hajotelma, Gaussin rivioperaatio Vihje:  Käsinlasku ja ajattelutehtävä, tarkistukseen voit hyödyntää Matlabin syms-komentoa tai voit tehdä symboliset matriisioperaatiot Maplella/Mathematicalla.

    Tehtava

  • 14. 
    mlLi010.tex
    Harjoituksen (KP3-II/s. 2006) ohjetta:
    Seuraavissa tehtävissä voitaisiin johonkin johtopäätökseen päästä determinantin avulla. Näissä harjoituksissa ei kelpuuteta tällaisia ratkaisuja, vaan harjoitellaan johtopäätösten tekoa rivioperaatioiden seurauksena.

    Osa tehtävistä on käsinlaskuun tarkoitettu, mutta niiden yhteydessä voidaan harjoitella samalla Matlab/Octave/Scilab-työskentelyä (Kts. MattieO).

    Annettuna on 3 × 3systeemin liitännäismatriisi

    ⌊  1  2  3  4 ⌋
||             ||
|  4  5  6  7 |.
⌈             ⌉
   6  7  8  9
    Muodosta rivioperaatioilla porrasmuoto ”ref” — ”row echelon form”. Merkitse tukisarakkeet ja tukialkioiden paikat. Jatka sitten rivioperaatioita alhaalta ylöspäin päästäksesi redusoituun porrasmuotoon ”rref”.

    Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, Gaussin rivioperaatio, ref, rref, (redusoitu) porrasmuoto, row echelon form.

    Tehtava

  • 15. 
    mlLi013.tex
    Piirretään toisen asteen pintoja. Tätä varten tulee pinnat esittää parametrimuodossa
    x1 = x1 (u, v),x2 = x2(u,v),x3 = x3 (u, v),

    missä muuttujat u ja v saava arvoja jostain sopivasta alueesta. Esimerkiksi parametrisointi

    (
||z1 = r1 sin ucos v,       (
{                         { 0 ≤ u ≤ π
||z2 = r2 sin usin v        ( 0 ≤ v ≤ 2π
(z3 = r3 cosu,

    MATLAB ilmoittaa R2:n muuttujat tietyllä tavalla organisoituhin matriiseihin seuraavasti:

    [U,V] = meshgrid(linspace(0,pi,21),linspace(0,2*pi,21));

    Nyt ellipsoidin r1 = r2 = r3 parametrisointi tehdään seuraavasti

    Z1 = sin(U).*cos(V);  
    Z2 = sin(U).*sin(V);  
    Z3 = cos(U);

    Kuvan tästä saa piirrettyä komennolla surf(Z1,Z2,Z3). Kokeile miten pintä muuttuu, kun asetat kertoimiksi rk eri arvoja. Tutustu myös komentoon axis.

    Tehtava

  • 16. 
    mlLi014.tex
    Tarkastellaan yhtälöryhmää
    (
{ 0.0001x1 + 2x2 = 4
(
  x1 + x2 = 3

    Tarkka ratkaisu on [--2--
1.9999,3.9997
1.9999]T , joka 5:llä numerolla esitettynä on [1.0001, 1.9999]T .

    (a) Ratkaise yhtälösysteemi niin, että suoritat laskut (järjestystä vaihtamatta) 3:lla merkitsevällä numerolla. (Laske laskimella, Matlabilla tms. ja pyöristä kunkin operaation jälkeen tulos 3:een numeroon.)

    (b) Tee samoin kuin (a)-kohdassa, mutta vaihda yhtälöiden järjestys.

    Selitä, miksi (a)-tapauksessa tulee suuri suhteellinen virhe ( 100%:n suhteellinen virhe toisessa komponentissa), kun taas (b)-tapauksessa virhe on olematon.

    Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, Gaussin rivioperaatio, numeerinen ratkaisu, numeerinen lineaarialgebra, pyöristysvirhe.

    Tehtava

  • 17. 
    mlLi015.tex
    Olkoon A = ⌊  1    8    6  ⌋
||               ||
| − 1  − 4   5  |
⌈               ⌉
   2    4   − 6 ja =[         ]
  8  1  4T . Ratkaise yhtälö Ax = b osittaistuentaa (“partial pivoting”) käyttäen.
    Olkoon P permutaatiomatriisi (rivinvaihtomatriisi), joka määräytyy rivien vaihdoista. Muodosta hajotelma PA = LU.

    Matlab:lla: help lu, [L,U,P]=lu(A) (Tämä siis vertailun vuoksi, tarkoitus on laskea käsin.)

    Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, Gaussin rivioperaatio, LU-hajotelma, numeerinen lineaarialgebra, (osittais)tuenta, “(partial) pivoting”. Vihje:  Osittaistuenta tarkoittaa itseisarvoltaan suurimman tukialkion valitsemista pienen tukialkion aiheuttamien numeeristen ongelmien välttämiseksi. Matlab saattaa käyttää esim. ns. skaalattua osittaistuentaa, jolloin rivinvaihtostrategia voi olla erilainen.

    Tehtava

  • 18. 
    mlLi017.tex
    Muodosta “ylimääräytyvälle” yhtälöryhmälle
    (
||{ x + 3y = 5
  x − y = 1
||(
  x + y = 0
    normaaliyhtälöt ja ratkaise pienimmän neliösumman (PNS,LSQ) mielessä. Piirrä suorat ja ratkaisupiste tasoon.

    Vastaustarkistuskeino: Huomaa, että Matlab:n yhtälösysteemin ratkaisija: x = Ab on niin älykäs, että se ymmärtää ylimääräytyvässä tapauksessa suorittaa PNS-ratkaisun.

    Avainsanat: Lineaarinen yhtälöryhmä, PNS,LSQ, pienimmän neliösumman menetelmä, LU-hajotelma, numeerinen lineaarialgebra, (osittais)tuenta, “(partial) pivoting”. Vihje: 

    Tehtava

  • 19. 
    mlLi018.tex
    Huom: Käsinlasku täydennettynä pikku Matlab-osuudella.

    Eräässä mittauksessa saatiin seuraava data:

          xdata     1    2   3   4   5  
          ydata     1.8 2.7 3.4 3.8 3.9

    Dataa mallinnetaan polynomilla p(x) = c1x + c2x2.

    (a) Muodosta PNS-tehtävän matriisi X ja vektori y siten, että tehtävä saadaan ylimääräytyväksi yhtälöryhmäksi Xc = y.

    (b) Ratkaise kerroinvektori c. Piirrä data ja PNS-polynomi samaan kuvaan.

    Vihje:  (b)-kohdassa saat mieluusti käyttää Matlab:ia. Tee kuitenkin vaiheittain matriikertolaskut, transpoosit ym., lopuksi toki voit tarkistaa “takakenolla”. Piirrä samaan kuvaan datapisteet ja polynomi.

    Piirtäminen käy näin:
     xd=1:5; yd=[1.8 ...]; plot(xd,yd,’x’); hold on; kertoimet=[c2 c1 0]; x=linspace(1,5); y=polyval(kertoimet,x);  plot(x,y,’r’); xlim([0 6]); grid on
    Huomaa, että polyval haluaa kertoimet korkeimmasta potenssista alkaen.

    Vast: p(x) = 1.76x 0.2x2

    Avainsanat: PNS,LSQ, pienimmän neliösumman menetelmä, käyrän sovitus, curve fitting, data fitting.

    Tehtava

  • 20. 
    mlLi019.tex
    Määritä PNS-ratkaisu tehtävälle Ax = b, kun A = ⌊ 1  − 1 ⌋
|        |
|| 1   4  ||
||        ||
|⌈ 1  − 1 |⌉
  1   4 ja
    b = [              ]
  − 1  6  5  7T . Hyödynnä QR-hajotelmaa, jonka voit muodostaa seuraavilla komennoilla: (Huom: Yleensä ei lasketa rationaaliaritmetiikalla, mutta opettelussa voi olla hyödyksi.)
    >> format rational  
    >> A=[...]     % Jos kirjoitat [...], olet TONTTU!  
    >> [Q,R]=qr(A)

    Vihje:  Matlab muodostaa ns. täyden QR-hajotelman. Kuten huomaat, riittää ottaa Q:n kaksi ensimmäistä saraketta ja R:n 2 ensimmäistä riviä, miten nyt vain haluat. Huomaa siis, että Q on ortogonaalinen ja R on yläkolmiomatriisi.

    Avainsanat: PNS,LSQ, pienimmän neliösumman menetelmä,QR-hajotelma.

    Tehtava

  • 21. 
    mlLi020.tex
    Suorita Matlab-komento eigshow. Opiskele helppiteksti ja suorita joitakin kokeiluja kuljettamalla x-vektoria läpi koko yksikköympyrän. (Tämä vain lämmittelyksi.)

    Valitse erityisesti matriisit A=[1 3;4 2]/4, B=[3 1;-2 4]/4 ja
    C=[2 4;2 4]/4. Määritä kuvan perusteella kunkin ominaisarvot ja -vektorit. Saat vektorit tarkemmin komentamalla grid on.
    Mitä, jos kuvan perusteella ominaisarvoja/vektoreita ei näyttäisi olevan?
    Määritä kuvan perusteella myös ominaisavaruuden dimensio matriisin C tapauksessa.

    Laske kunkin matriisin ominaisarvot ja -vektorit eig-komennolla. (help eig)

    Huom: Jos näitä matriiseja ei sattuisi olemaan valmiina valikossa, voit ne sinne lisätä helppiruudun “View code for eigshow”-linkistä. Hae koodista kohta mats = .... Siitä näet, miten matriiseja voi lisätä. Jos editoit koodia, tallenna se omaan hakemistoosi vaikkapa nimelle ominashow, ja sitten vaan ominashow.

    Tee joitakin omia kokeiluja erilaisilla matriiseilla oman “ominashow”:n avulla.

    Avainsanat: Ominaisarvot, ominaisvektorit, ominaisarvojen graafinen havainnollistaminen, ominaisvektorien graafinen havainnollistaminen, Matlab: eigshow, eig

    Tehtava

  • 22. 
    mlLi020a.tex
    Ohjeita, ominaisarvo-oppia (Liitettäväksi aiheen tehtäväpaperiin)
    Yleistä
    • Ominaisarvo on luku, se voi olla kompleksiluku, vaikka matriisi olisi reaalinen.
    • Ominaisvektori on (reaalisen matriisin tapauksessa) n:n tai n:n vektori sen mukaan, onko vastaava ominaisarvo reaalinen vai kompleksinen.
    • Ominaisarvo saa aivan mainiosti olla 0, ominaisvektoriksi emme hyväksy nollavektoria.
    • Ominaisarvoon λ liittyvä ominaisavaruus Eλ koostuu kaikista λ:aan liittyvistä ominaisvektoreista ja lisäksi nollavektorista. Tällöin kyseessä on vektori(ali)avaruus, nimittäin matriisin AλI nolla-avaruus, N(AλI).
    • Ominaisarvon λj algebrallinen kertaluku Mλj on karakteristisen polynomin det(A λI) juuren kertaluku. Geometrinen kertaluku mλj on dim(Eλj).
      Pätee: mλj Mλj
    • Jos reaalisella matriisilla A on kompleksinen ominaisarvo λ = α + iβ, niin myös λ = αiβ on A :n ominaisarvo. Jos v on λ :aa vastaava ominaisvektori, niin liittolukua λ vastaava ominaisvektori on v. (Tarkoittaa vektoria, jonka koordinaatit ovat v :n koordinaattien liittolukuja.)
    • Jos on määrättävä diagonaalimatriisin ominaisarvot ja -vektorit, niin laskentatyötä ei jää lainkaan. Älä siis suotta ryhdy veivaamaan det(A λI):n kautta. (Koko ominaisarvohomman perustavoite on saattaa lineaarikuvauksen matriisi diagonaalimuotoon. Jos se jo on, niin mitään ei tarvitse enää tehdä, kunhan osaat siitä lukea.)
    • Kolmiomatriisin (ylä- tai ala-) ominaisarvot ovat diagonaalialkiot. (Siis yleistys edelliselle, tässä tapauksessa ominaisvektoreista ei voida sanoa mitään yleistä.)
    • Kun pyydetään laskemaan johonkin ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit, on sopivaa antaa vastaukseksi ominaisavaruuden kanta. Helpoimmin se saadaan antamalla ratkaisun vapaille muuttujille vuorollaan arvot ( 1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) (jos kyseessä on 3-ulotteinen ominaisavaruus). Tässähän on kyse nolla-avaruuden kannan määräämistehtävästä.
    • Eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat LRT.
    • Diagonalisointi: Annettu A. Etsittävä, jos mahdollista, matriisit V ja D, V kääntyvä ja D diagonaalimatriisi siten, että A = V DV 1.
      Jos tehtävänä on diagonalisoida A, etsitään matriisit V ja D ja perustellaan V :n kääntyvyys. (Yleensä ei vaadita V 1:n laskemista ilman eri kehoitusta, tai jatkotehtävän asettamaa tarvetta.)

    Matlab-ohjeita
    • [V,D]=eig(A) antaa suoraan diagonalisointimatriisit: V :n sarakkeina ominaisvektorit ja D :n diagonaalilla (samassa järjestyksessä) ominaisarvot. Jos A on diagonalisoituva, niin V :n sarakkeet ovat LRT, jolloin voidaan muodostaa V 1; Matlab/Octavella: inv(V).
      ... [ help eig, doc eig]

      Esim:

      >> A=[3 -3 2;-1 5 -2;-1 3 0];  
      >> [V,D]=eig(A)

      Nyt V :n sarakkeina ovat A :n ominaisvektorit, D on diagonaalimatriisi, jossa vastaavilla kohdilla ovat A :n ominaisarvot.
      Mikäli V on kääntyvä, saadaan suoraan A :n diagonalisointi, kun lasketaan vielä VI = inv(V). (V on kääntyvä A on diagonalisoituva.)

      Matlab normeraa ominaisvektorit yksikkövektoreiksi. Jos haluat mukavammannäköisiä lukuja, saatat saada sen aikaan (näissä pikkulelutehtävissä) jakamalla esim. ko. vektorin ensimmäisellä komponentilla, vaikka tähän tapaan:

      >> v1=V(:,1); v1=v1/v1(1)  
      >> v2=V(:,2); v2=v2/v2(1)  
      >> v3=V(:,3); v3=v3/v3(1)  % Nyt ei auta.

      Kaiken voit hoitaa yhdellä kertaa kertomalla oikealta diagonaalimatriisilla, jossa ovat diagonaalilla ao. käänteisluvut, kas näin:
      V*diag(1./V(1,:))

    Avainsanat: Ominaisarvo-opin perus(lasku)ohjeita, Matlab-ohjeita ominaisarvotehtäviin

    Tehtava

  • 23. 
    mlLi020b.tex
    Määritä seuraavien lineaarikuvausten ominaisarvot ja -vektorit laskematta, pelkän geometrisen kuvailun perusteella.
    • Peilaus y-akselin suhteen tasossa 2,
    • Matriisilla A = ⌊       ⌋
   0  2
⌈       ⌉
   2  0   kertominen.
    • Peilaus yz-tason suhteen 3:ssa.
    • Kohtisuora projektio y-akselille 2:ssa.

    Tarkista sitten laskemalla, osa käsin ja kaikki Matab:n eig-komennolla. Huomaa, että eig normeeraa ominaisvektorit yksikkövektoreiksi. (Ja ymmärräthän, että erityisesti moninkertaisen ominaisarvon tapauksessa ominaisvektorit ovat kaikkea muuta kuin yksikäsitteiset muutenkin kuin vain skaalauksen suhteen.)

    Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, geometrinen luonnehdinta, ominaisarvot, ominaisvektorit Vihje: 

    Tehtava

  • 24. 
    mlLi021.tex (käsinlasku, Matlab sopii avuksi/opiksi)

    Muodosta matriisin A = ⌊             ⌋
   3   − 2  4
||             ||
|⌈ − 2   6   2 |⌉
   4    2   3 ortogonaalinen diagonalisointi (tarkoittaa ortonormaalia).

    Laskutyön vähentämiseksi annetaan (tai pyydetään oppilasta komentamaan):

    >> eig(A)  
    ans =  
             -2.00  
              7.00  
              7.00

    Avainsanat: Ominaisarvot, ominaisvektorit, ortogonaalinen diagonalisointi. Vihje:  Muista, että ominaisvektorit eivät automaattisesti ole yksikkövektoreita, ja useampikertaista ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit eivät automaattisesti ole ortogonaaliset.
    Jos olet saanut samaan ominaisavaruuteen kuuluvat LRT ominaisvektorit v1 ja v2, niin ortonormaalin kannan saat
    1) geometrisen ajattelun avulla: Muodosta v2:n kohtisuora projektio v1:llä ja vähennä se v2:sta. Tai
    2) algebrallisesti: Määritä kerroin kerroin c siten, että (v1 + cv2) v1.

    Tehtava

  • 25. 
    mlLi022.tex [Käsinlasku-/päättelytehtävä]
    Stokastinen matriisi P tarkoittakoon sellaista, jonka alkiot ovat ei-negatiivisia ja sarakesummat = 1. (KRE-kirjassa otetaan rivisummat = 1.)
    Osoita, että 1 on aina P:n ominaisarvo.

    Vihje:  Väite on helppo osoittaa transposille PT, ajattele ominaisvektorin määritelmää ja mitä saat, jos kerrot PT:llä vektorin [1,1,,1].

    Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit, stokastinen matriisi

    Tehtava

  • 26. 
    mlLi023.tex
    Eräässä valtiossa pidettiin parlamenttivaalit kolmen puolueen P1,  P2,  P3 kesken. Puolueiden kannatusosuuksien viikoittaista muutosta vaaleja edeltävän puolen vuoden aikana kuvaa siirtymämatriisi
         ⌊ 0.7  0.1  0.1 ⌋
     |              |
P =  || 0.2  0.8  0.2 || .
     ⌈              ⌉
       0.1  0.1  0.7

    (a) Määritä matriisin suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori ja päättele, mitä rajaosuuksia kannatusluvut lähestyvät, kun viikkomäärä kasvaa (tässä ei päästä äärettömyyteen, mutta raja-arvo antaa riittävän tarkan approksimaation).

    (b) Kokeile joillain alkujakaumilla x0 (siis ”todennäköisyysvektoreilla”, eli sellaisilla, joiden summa = 1 (tai 100)) ja laske x1 = Px0 , x2 = Px1,  , Käytä ihmeessä Octavea/Matlabia! Miten nopeasti pääset lähelle raja-arvoa?

    Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit, stokastinen matriisi

    Tehtava

  • 27. 
    mlLi024.tex [Päättelytehtävä]
    (a) Osoita, että jos λ on A:n ominaisarvo ja x vastaava ominaisvektori, niin λk on Ak:n ominaisarvo, ja samainen x on vastaava ominaisvektori.

    (b) Oletetaan, että A on kääntyvä. Osoita, että λ1 on A1:n ominaisarvo ja x siihen liittyvä ominaisvektori (yhtä hyvin Ax). Mistä tiedät, että λ0?

    Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit, perusominaisuuksia

    Tehtava

  • 28. 
    mlLi025.tex
    Ajatellaan, että erään asutuskeskuksen asukkailla on kahden operaattorin, R ja S matkapuhelinliittymiä. Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon siirtymämatriisi

         ⌊          ⌋
       0.6  0.3
P  = ⌈          ⌉ .
       0.4  0.7

    (Siirtymämatriisi esitetään transponoituna KRE-kirjan vastaavaan nähden.)

    Tässä sarakkeet tarkoittavat elatiivia (sta) ja rivit illatiivia (aan). 1. sarake ja 1. rivi viittaavat R:aan, 2. vastaavasti S:aan.

    (a) Laske matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit ja totea, että ne muodostavat 2:n kannan.

    (b) Olkoon alkuhetkellä liittymien määrät x0 = [R,S] = [1000, 1500]. Laske määrät vuoden kuluttua (Matlabilla) tai parin kolmen kuukauden kuluttua, jos käsin haluat laskea.

    (c) Lausu alkupiste x0 ominaisvektorikannassa: x0 = c1v1 + c2v2.

    Mitä rajavektoria lähestyy jono xk, kun k →∞ ?

    Ylimääräinen pohdinta: Riippuuko rajavektorin komponenttien suhde alkuarvosta x0 ?

    Avainsanat: mlLinis, Lineaarikuvaus, ominaisarvot, ominaisvektorit, stokastinen matriisi,

    Tehtava

  • 29. 
    mlLi028.tex
    Olkoon
         ⌊        ⌋
     |5  1  1 |
A =  ⌈1  5  1 ⌉
      1  1  5

    a)
    Laske matriisin A diagonalisointiin tarvittavat matriisit P ja D.
    b)
    Varmista, että P on ortogonaalinen, ja D on diagonaalinen ja diagonaalialkiot suuruusjärjestyksessä.
    c)
    Osoita, että spektraalikaava
    λ  u uT + λ  u uT + λ  u uT =  A
  1 1 1     2 2 2     3 3 3

    pätee.

    Vihje: 

    Tehtava

  • 30. 
    mlLi029.tex
    Potenssimenetelmä on eräs keino löytää itseisarvoltaan suurin ominaisarvo ja vastaava ominaisvektori. Menetelmä toimii seuraavasti:
    • Valitse alkuarvaus b0. Ainoa vaatimus on, että tällä vektorilla on nollastapoikkeava komponentti ominaisarvon suuntaan – käytännössä kannattaa valita vektori, jonka jokainen alkio on nollasta poikkeava.
    • Aseta
              -Abk---
bk+1  = ||Ab   ||
             k

    • Jatka kunnes jono (bk) suppenee. Ominaisarvo λ = ||Abk|| ja vektori x = bk.

    Toteuta menetelmä MATLABissa, ja laske matriisin gallery(5) suurin ominaisarvo ja vastaava ominaisvektori. Testaa tuloksen oikeellisuus.

    Tehtava

  • 31. 
    mlLi030.tex
    Ominaisarvojen laskentamenetelmiä, Power method [KRE9] Sec. 20.8
    Sovella potenssimenetelmää (3 kierrosta) matriisiin
         ⌊         ⌋
       3.5  2.0
A =  ⌈         ⌉
       2.0  0.5
    alkuarvolla x0 = [1, 1]T . Laske Rayleigh-osamäärät q ja virherajat.

    Ratkaisu:  Vastaus: q = 4,4.493,4.4999;|𝜖|≤ 1.5,0.1849,0.0206

    Avainsanat: Potenssimenetelmä, ominaisarvojen laskentamenetelmät, Power method.

    Tehtava

  • 32. 
    mlLi031.tex
    Osoita, että jos x on ominaisvektori, niin δ = 0 virhekaavassa (2) Theorem 1 s. 872 (KRE9, luvun 20.8, Power Method for Eigenvalues alkusivulla) .

    Vihje:  Päättelytehtävä, ohjelmistoista ei hyötyä.

    Avainsanat: Potenssimenetelmä, ominaisarvojen laskentamenetelmät, Power method.

    Tehtava

  • 33. 
    mlLi032.tex
    (a) Päättele Gershgorinin lauseen avulla matriisin
        ⌊                   ⌋
        11   0.4  − 0.5
    ||                   ||
A = |⌈   0.4    7     a   |⌉
       − 0.5  a     4
    ominaisarvojen likiarvot ja missä rajoissa ne ovat.

    (b) Millä a:n reaaliarvoilla nähdään suoraan, että matriisi on kääntyvä. (Tarkoitus ei ole laskea determinanttia tai ominaisarvoja, korkeintaan halutessasi tarkistukseksi ja varmistuksesi Gershgorinin pätevyydelle.)

    Vihje:  Käsinlasku, jossa voit harjoitella Matlabin laskinkäyttöä.

    Avainsanat: Gershgorinin lause , ominaisarvojen laskentamenetelmät, ominaisarvoarvio.

    Tehtava

  • 34. 
    mlLi040.tex
    Olkoot A kompleksinen n × n matriisi, ja olkoot Ri = ji|aij|, eli rivin alkioiden itseisarvojen summa diagonaalia lukuunottamatta. Gershgorinin kiekkolauseen väite on, että jokainen matriisin A ominaisarvo λi sijaitsee jossakin kiekossa D(aii,Ri), (kompleksitasoon piirretty kiekko, jonka keskipiste on pisteessä aii, ja jonka säde on Ri). Totea lauseen väite kokeellisesti, kun A=10*randn(12)+ 5*randn(12)*i; Vihje:  Ympyrän, jonka keskipiste on (x,y) ja säde r saa MATLABissa piirrettyä helposti seuraavasti:
    x = 0.4; y= -0.34  
    t = 0:0.02:2*pi;  
    plot(x+cos(t),y+sin(t));  
    hold on  
    %Yksittäinen piste piirretään seuraavasti  
    plot(x,y,’r.’);

    Tehtava

  • 35. 
    mlLi050.tex
    Gram-Schmidtin menetelmä vektorijoukon {v1,v2,,vn} ortonormalisoimiseksi toimii seuraavasti:
    • Ortogonalisoidaan:
      u1 = v1

      u2 = v2 u1⋅v2
u1⋅u1u1

      un = vn k=1n1uk⋅vn
uk⋅ukuk

    • Normitetaan: ei =  u
||uii||,i = 1n

    Kirjoita MATLAB-funktio B = grmsch(A) joka hakee Gram-Schmidtin menetelmällä ortonormaalin kannan matriisin A sarakeavaruudelle. Testaa ortonormaalius laskemalla B’*B.

    Vinkki: Laskutoimitus uk⋅vn-
uk⋅ukuk vastaa toimitusta (ukT v n)uk. Lisätehtävä nopeille: Matriisin sarakeavaruuden normalisointi ei poikkea kovin paljon QR-hajotelman tekemisestä. Jos ehdit, toteuta oma algoritmisi QR-hajotelmalle.

    Tehtava

  • 36. 
    mlLi090.tex
    Seuraava kuva esittää kymmenen sivun ”internettiä”.

    PIC

    Laske tämän verkon tärkein sivu käyttämällä PageRank-algoritmia:

    • Luo verkon vierusmatriisi A = [aij], missä
            (
      ||{ 1     jos sivulta j on linkki sivulle i
aij =   0     muuten
      ||(

    • Laske vierusmatriisin suurin ominaisarvo, ja vastaava ominaisvektori.
    • Normalisoi laskemasi suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori (jaa kaikki vektori alkiot vektorin summalla). Mikä on tämän verkon tärkein sivu.
    • Piirrä verkon kuva käyttäen laatimaasi vierusmatriisia ja gplot-komentoa. Tutustu gplotin help-sivuun.

    Tehtava

Työkaluja