|
Maple harjoitustehtäviä liittyen perusaritmetiikkaan kanssa toimimiseen Maplessa.
Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa
tiedosto, ja liitä se pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.
- 1.
mplV000.tex
Ohjeita
Kerätään ohjeita näiden tehtävien aihepiiriin liittyen. “Tehtävä”-linkistä saat
LATEX-koodin, josta sopivan osan voit haluamallasi tavalla muokaten liittää
tehtäväpaperiisi.
Taylorin polynomit
Kahden muuttujan Taylorin polynomi kehitettynä pisteesä p voidaan kirjoittaa:
Tästä on helppo arvata, miten useamman muuttujan polynomi rakentuu.
Erityisesti 2. asteen Taylorin kaava voidaan kirjoittaa muotoon
joka pätee n:n muuttujan funktiolle sellaisenaan. Tässä jäännöstermi
R2( h) = ||h||3O( h) . (Eli riittävän pienessä p:n ystössä pätee: R
2( h) ≤ M||h||3
jollain vakiolla M.)
Neliömuotojen definiittisyys
Määr: Neliömuoto q(x) = xT Ax (A on symmetrinen matriisi) on
-
1.
- positiivisesti definiitti, jos q(x) > 0 ∀x≠0,
-
2.
- negatiivisesti definiitti, jos q(x) < 0 ∀x≠0,
-
3.
- positiivisesti semidefiniitti, jos q(x) ≥ 0 ∀x ∈ ℝn ja ∃y≠0, jolla q(y) = 0,
-
4.
- negatiivisesti semidefiniitti, jos q(x) ≤ 0 ∀x ∈ ℝn ja ∃y≠0, jolla q(y) = 0,
-
5.
- indefiniitti, jos ∃x,y siten, että q(x) > 0 ja q(y) < 0.
Samoja definiittisyyskäsitteitä käytetään myös symmetrisestä matriisista
A.
Suunnattu derivaatta ja gradientti
- Suunnattu derivaatta pisteesä p0 vektorin v suunassa saadaan lasketuksi
pisteessä p0 lasketun gradientin ja suuntayksikkövektorin sisätulona.
- Siispä funktio kasvaa nopeimmin gradientin suuntaan ja sen kasvu on 0
gradienttia vastaan kohtisuoraan suuntaan.
- Suunta, johon funktion kasvu on 0 on tasa-arvokäyrän (tai -pinnan)
tangentin (tangenttitason) suuntainen, joten gradientti on normaalin
suuntainen.
Pinnan normaali ja tangenttitaso
Jos pinnan yhtälö esitetään muodossa F(x,y,z) = 0, saadaan edellisen perusteella
pinnan tangenttitason yhtälö pisteessä p0 näin:
∇F(p0)(p − p0) = 0
Jos pinta on annettu muodossa z = f(x,y), saadaan siten normaalin suunta funktion
F(x,y,z) = f(x,y) − z gradienttina.
Tästä seuraa, että pisteeseen p0 asetetun tangenttitason yhtälö voidaan kirjoittaa
muotoon
(f1ja f2 tarkoittavat osittaisderivaattoja.)
Kahden pinnan leikkauskäyrän tangentti
Leikkauskäyrän tangentti on kohtisuorassa molempien pintojen normaalia vastaan
(eikö vain!). Siten leikkauskäyrän tangentin suuntainen vektori saadaan pinnan
normaalivektorien ristitulona t = n1 × n2.
Kriittiset pisteet, ääriarvot
Kriittinen piste (KRP) p: ∇f(p) = 0. Kriittisen pisteen laatu selviää (jos selviää) Hessen matriisin Hf(p)
definiittisyydestä. Symmetrisen matriisin definiittisyyskäytös selvitetään ominaisarvojen avulla. Jos
matriisi on 2 ⋊ 2, voidaan käyttää determinanttia (kts. tehtävä mplV006a).
Isommillekin matriiseille on determinanttiehtoja, mutta ne on hankala muistaa ja
käyttää, jääkööt muistoksi “determinanttien kulta-ajoilta”.
Maple-ohjeita
Vektorikenttä ja gradientti
with(linalg): with(plots):
fieldplot(grad(f(x,y),[x,y]),x=a..b, y=c..d,arrows=slim,color=x);
# a:lla, b:lla jne. oltava tietysti numeeriset arvot.
Uusissa Maplen versioissa on kirjastopakkaus VectorCalculus ja siellä funktio
Gradient lukuisine valitsimineen. Kts. helppi. Vanhan linalg-kirjaston kunnon grad on
perustarpeisiin ehkä yksinkertaisin ja helppokäyttöisin.
Oma pikku funktio on usein selkein, se voidaan määritellä ongelmakohtaisesti esim.
toimimaan vain 2d-tilanteessa. Tällainen gradienttifunktio voitaisin kaikessa
yksinkertaisuudessaan määritellä näin: gradi2:=(f,x,y)->[diff(f,x),diff(f,y)]
Pintapiirroksen “valaiseminen” esim. avaruuskäyrillä
Usein pintapiirrosta voidaan täsmentää ja tarkentaa ja ymmärtää paremmin, kun
piirretään sopivia avaruuskäyriä pinnalle spacecurve:lla.
Alla on esimerkki, jossa piirretään napasädettä pitkin kulkevan pystytason ja
annetun pinnan leikkauskäyrä sekä käyrän projektio xy-tasossa. Varsin
käyttökelpoinen tapa monessa yhteydessä. Tätä voi modifioida tarpeen
mukaan.
with(plots):
f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta): Theta:=Pi/4:
pystyleikkaus:=spacecurve(–[x,y,f(x,y)],[x,y,0]˝,r=0..2,thickness=3,
color=blue,axes=BOX)
# HUOM! html:ssa edellinen nakyy vaarin, pitaa olla:
# pystyleikkaus:=spacecurve(Aaltoauki[x,y,f(x,y)],[x,y,0]Aaltokii,r=0..2,...)
# missa Aalto tarkoittaa aaltosulkua,
x:=’x’:y:=’y’: # Kannattaa muistaa vapauttaa.
pinta:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2):
display([pinta,pystyleikkaus],style=patchcontour,transparency=0.5);
Tehtava
- 2.
mplV001.tex Piirrä seuraavien funktioiden tasa-arvokäyrät:
- x3 − xy3
- sin(x)cosh(y)
- cos 2(x) cosh(y)
Vihje: Tasa-arvokäyriä voi piirtää kommennolla contourplot (ensin with(plots)).
Tehtava
- 3.
mplV0011.tex
Mitkä ovat seuraavien funktioiden luonnolliset määrittelyjoukot:
a) f(x,y) = , b) f(x,y) = ln(1 + xy) c) f(x,y) = arcsin(x + y) .
Piirrä (ensin käsin ja sitten Maplella) tasoon kunkin määrittelyjoukon kuva. Mitä
topologisia ominaisuuksia joukoilla on? (avoin, suljettu, rajoitettu, yhtenäinen, joukon
reuna, jne.)
Muodosta näiden funktioiden korkeuskäyrien (tasa-arvokäyrien) yhtälöt. Muodosta
myös pystyleikkauskäyrät tasojen x = 1 ja y = 1 kanssa kussakin tapauksessa.
Hahmottele käsin ja piirrä Maplella.
Vihje: Tasa-arvokäyriä voi piirtää kommennolla contourplot (ensin with(plots))). Lisää
Maple-ohjeita 1. “tehtävässä” mplV000.tex.
Tehtava
- 4.
mplV0012.tex Onko seuraavilla funktioilla raja-arvo, kun ( x,y) → (0 , 0) :
Suorita Maplella visualisointeja.
Vihje: Tasa-arvokäyriin: contourplot (ensin with(plots))), pintoihin: plot3d (ei tarvitse latauksia)
. Lisää Maple-ohjeita “tehtävässä”1.(mplV000.tex).
Tehtava
- 5.
mplV0013.tex Olkoon f : ℝ2 → ℝ,
Osoita, että funktiolla on sama raja-arvo origossa lähestyttäessä mitä tahansa
suoraa pitkin, mutta siitä huolimatta varsinaista raja-arvoa ei ole olemassa. Missä
pisteissä funktio on jatkuva ja missä taas ei?
Suorita Maplella visualisointeja.
Vihje: Kulje erityisesti O:sta alkavaa nousevaa sädettä (kulmakerroin posit.) 1. neljänneksessä
kulkien sitä alaspäin kohti origoa. Mitä tapahtuu lopulta, kun ollaan riittävän lähellä O:a?
Ratkaisu: Piirrä kuvaaja funktion rajoittumasta mielivaltaiselle origon kautta kulkevalle suoralle;
tutki tätä varten, missä pisteissä ko. suora leikkaa paraabelit y = x2 ja y = 2x2. Funktio on
epäjatkuva näillä paraabeleilla.
Tehtava
- 6.
mplV0014.tex (a) Muodosta funktion ln(1 + ex2y3z) 1. kertaluvun osittaisderivaatat kaikkien muuttujien
suhteen.
(b) Osoita, että funktio arctan toteuttaa Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön
(Tällaisia funktioita sanotaan harmonisiksi funktioiksi.)
Vihje: Laske ainakin joku käsin ja tarkista kaikki Maplella. Tällaiset mekaaniset, tarkkuutta vaativat
tehtävät ovat onnen omiaan CAS-ohjelmille, kuten Maple, Mathematica. Maplen diff hoitelee
homman.
Tehtava
- 7.
mplV0015.tex (Myös mplDi017.tex (poistetaan)) Oletetaan, että funktioilla u( x,y) ja v( x,y) on jatkuvat toiset osittaisderivaatat ja ne
toteuttavat ns. Cauchy-Riemannin yhtälöt:
Osoita, että u ja v ovat harmonisia, eli toteuttavat Laplacen differentiaaliyhtälön:
Vihje: Sopii sekä käsinlaskuun että Maplelle. Maple olettaa säännöllisyyttä tarpeeksi, jotta
sekaderivaatat yhtyvät. Käyttäjän on tiedettävä, mitä pitää olettaa.
Mapletekniikkaa: b) Kirjoita CR-yhtälöt tyyliin diff(u(x,y),x)=diff(v(x,y),y) Maplen diff-operattorin täytyy tietää, että lauseke, johon derivointi kohdistuu, sisältää
muuttujat x ja y. Muussa tapauksessa se räväyttää ilman muuta tuloksen 0 (nolla), joka on samalla
tehtävän suorituksen arvo.
Ratkaisu: mplVektori/mplV0015R.mw ja .pdf
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 8.
mplV0016.tex Olkoon f( x,y) = x3y2 + x4 sin y + cos( xy). Laske osittaisderivaatat f
xxy, fxyx, fyxx ja
totea, että ne ovat samat.
Voit antaa Maplen laskea.
Tehtava
- 9.
mplV0017.tex Laske yhdistetyn funktion derivoimissääntöä (eli ketjusääntöä, ”chain rule”)
käyttäen ja , kun
(a) w = x ln(x2 + y2), x = s + t,y = s − t , (b) w = ex+2y sin(2x − y), x = s2 + t2, y = 2s2 − t2
Tee käsin ja tarkista Maplella.
Tehtava
- 10.
mplV0018.tex Kolmionmuotoisen maa-alan kahden sivun mitatut pituudet ovat 224 m ja 158 m ja
niiden välinen kulma 64 ∘ . Pituusmittauksen virheraja on 0 .4 m ja kulman 2 ∘ . Mikä on
pinta-alan likimääräinen suhteellinen maksimivirhe.
Vast: n. 2 %
Tehtava
- 11.
mplV0019.tex Osittaisderivoituvan funktion f : ℝ2 → ℝ gradientti ∇f määritellään näin
.
Olkoon f(x,y) = |xy| . (a) Piirrä tasa-arvokäyrät(korkeuskäyrät) f(x,y) = k,k = 1, 2, 3. (b) Piirrä f:n gradienttikenttävektoreita fieldplot:n avulla samaan kuvaan
korkeuskäyräpiirrosten kanssa. Kun käytät samaa skaalaa akseleilla pitäisi kuvasta
näkyä, miten gradienttivektorin ja korkeuskäyrän suunnat suhtautuvat
toisiinsa.
Vihje: Gradientti voidaan ladata useastakin kirjastosta. Selvintä on määritellä itse: gradi2:=(f,x,y)->[diff(f,x),diff(f,y)] (Voit myös ladata: with(linalg); ja saat käyttöön funktion grad)
with(plots) lataa contourplot- ja fieldplot-funktiot. Grafiikkojen yhdistäminen:
kuva1:=contourplot(...)
kuva2:=fieldplot(...)
display(kuva1,kuva2);
Tehtava
- 12.
mplV00191.tex Työarkilla ../MattieT/mplteht/ohjeet/pintoja.mw (ja .pdf) kohdassa ”toinen
esimerkki” tarkastellaan funktiota f( x,y) = . Sekä plot3d- että contourplot-kuvat
ovat lievästi sanoen harhaisia. (Toki erilaisilla optioilla voi plot3d-kuvaa olennaisesti
parantaa.) Selvitä, minkälainen kuvaaja todellisuudessa on. Tarvitset taas
sekä Maplea että kynää ja paperia. Piirtele myös pystyleikkauksia, oikeita
korkeuskäyriä ym. ***
Hm, tämä on parasta muuttaa tehtäväksi (tai esimerkiksi), ratkaisu on suoraan
tuolla, ja uudemmat versiot ovat poistaneet harhat.
***
Vihje: Usein pintapiirrosta voidaan täsmentää ja tarkentaa ja ymmärtää paremmin, kun
piirretään sopivia avaruuskäyriä pinnalle spacecurve:lla.
Alla on esimerkki (sama kuin alussa ohjetiedostossa mplV000.tex), jossa piirretään napasädettä
pitkin kulkevan pystytason ja annetun pinnan leikkauskäyrä sekä käyrän projektio
xy-tasossa. Varsin käyttökelpoinen tapa monessa yhteydessä. Tätä voi modifioida tarpeen
mukaan.
with(plots):
f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta): Theta:=Pi/4:
pystyleikkaus:=spacecurve(–[x,y,f(x,y)],[x,y,0]˝,r=0..2,thickness=3,
color=blue,axes=BOX)
# HUOM! html:ssa edellinen nakyy vaarin, pitaa olla:
# pystyleikkaus:=spacecurve(Aaltoauki[x,y,f(x,y)],[x,y,0]Aaltokii,r=0..2,...)
# missa Aalto tarkoittaa aaltosulkua,
x:=’x’:y:=’y’: # Kannattaa muistaa vapauttaa.
pinta:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2):
display([pinta,pystyleikkaus],style=patchcontour,transparency=0.5);
display(pystyleikkaus); # Katsotaan pelkkaa leikkauskayraa.
Tehtava
- 13.
mplV00192.tex Maaston korkeus (merenpinnasta mitattuna) karttakoordinaattien funktiona
olkoon
Positiivinen x-akseli osoittaa itään ja positiivinen y-akseli pohjoiseen.
- Kulkuri K ottaa pisteestä (1, 2,h(1, 2)) lähtöaskeleen kaakkoon. Nouseeko
hän vai laskeutuuko?
Tämä on käsinlaskutehtävä, mutta tee Maplella. Havainnollista
Maplepiirroksin: Pintapiirros: plot3d, korkeuskäyrät: contourplot tai implicitplot.
Leikkauskäyrä kaakko-luode-suuntaisen pystytason kanssa.
- Muodosta funktion h(x,y) gradienttifunktio (gradienttikenttä).
Piirrä gradienttikenttä plots-pakkauksen funktiolla fieldplot. Yhdistä
korkeuskäyräpiirros tämän kanssa display-funktion avulla.
Vihje: Gradienttikentän voi laskea (tietysti käsin) tai derivoimalla Maplen diff:llä tai
linalg-pakkauksen funktiolla grad. Ei ole pahitteeksi, jos kokeilet kaikkia tapoja.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 14.
mplDi0019a.tex Osittaisderivoituvan funktion f : ℝ2 → ℝ gradientti ∇f määritellään näin
∇f( x,y) = fx( x,y) i + fy( x,y) j .
Olkoon f(x,y) = |xy| . (a) Piirrä tasa-arvokäyrät(korkeuskäyrät) f(x,y) = k,k = 1, 2, 3. (b) Piirrä f:n gradienttivektoreita ∇f(x,y) tasa-arvokäyrien pisteisiin. Kun käytät
samaa skaalaa akseleilla (scaling=constrained), pitäisi kuvasta näkyä,
miten gradienttivektorin ja korkeuskäyrän suunnat suhtautuvat toisiinsa.
Vihje:
Aloita työarkki näin:
> restart:
> with(plots): with(plottools):
> nuoli:=(alkup, loppup,vari)->arrow(alkup,loppup,0.01,0.05,0.02,color=vari);
> korkeuskayra:=k->implicitplot(abs(x*y)=k,x=-2..2,y=-2..2);
> # Maariteltiin grafiikka-arvoinen funktio, usein tosi katevaa!
> kkparvi:=display(seq(korkeuskayra(k),k=1..3);
>
Kts. lisää: mplDi0002Apu.mw
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 15.
mplV003.tex Piirrä avaruuskäyrä
kun t ∈ [1,T] ja T = 100. Määritä käyrän kaarenpituus ja tutki, onko sillä
raja-arvoa, kun T →∞.
Vihje: Käyrä on luontevinta kirjoittaa listaksi r = [cos(t)/t,sin(t)/t,arctan(t)] ja laskea
kaarenpituus integraalista ∫
|r′(t)|dt.
Tehtava
- 16.
Määritä funktion f(x,y) = x2 − y suurin arvo ympyrällä x2 + y2 = 1. Käytä
Lagrangen menetelmää.
Vihje: (diff, solve, f:= (x,y)->(x2+y). Jos et ehdottomasti osaa Lagrangen menetelmää, lataa
with(Student[MultivariateCalculus]) ja tutki LagrangeMultipliers-dokumentaatiota.
Tehtava
- 17.
mplV006.tex Lausu neliömuodon q( x) = xT Ax definiittisyydet symmetrisen matriisin A
ominaisarvojen (merkkien) avulla.
(Määritelmä paperin lopussa (tai kokoelman alussa).)
Vihje: Lausu neliömuoto pääakselikoordinaattien yi avulla, sitten voit lukea kuin avointa
kirjaa. (Puhdas päättelytehtävä, “tietokonevapaa”.)
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 18.
mplV006a.tex (Puhdas päättelytehtävä, “tietokonevapaa”.) Osoita 2 × 2 symmetrisen matriisin A tapauksessa, että matriisi on
- definiitti (pos. tai neg.), jos ja vain jos det(A) > 0 ,
- indefiniitti, jos ja vain jos det(A) < 0 ,
- semidefiniitti, jos ja vain jos det(A) = 0
Vihje: Kirjoita A = ja muodosta karakteristinen polynomi. Käytä hyväksesi toisen
asteen yhtälön juurien ominaisuuksia. (Jos et muista, niin kerro auki (λ − λ1)(λ − λ2).)
Ratkaisu: mplV006aR.pdf ja .mw (html:ssa ratkaisu-linkki)
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 19.
mplV006b.tex Määritä seuraavien neliömuotojen matriisit sekä definiittisyys:
(a) q(x1,x2) = 2x12 + 4x
22 + x
1x2 (b) q(x1,x2,x3) = x32 + 2x
1x3 + 2x2x3 (c) q(x1,x2,x3,x4) = x12 + 2x
42 − 4x
2x3
Esitä neliömuodot pääakselikoordinaateissa. Ei ole pahitteeksi, vaikka piirrät
joitakin kuvia.
Vihje:
Avainsanat: 1neliomuoto,1pos1neg1definiitti, 1paaakseliprobleema,
1principalaxes,1ominaisarvot,1eigenvalues,1mplVektori
Tehtava
- 20.
mplV006c.tex Mitä kartioleikkausta edustaa yhtälö x12 + 24 x
1x2 − 6 x22 = 5
Muunna yhtälö pääakselimuotoon ja piirrä kuva. (Voit ottaa mallia KRE Exa 6 s.
396 ”Transformation to principal axes”.)
tai GRE 11.6 s. 589 Voit myös katsoa: http://www.math.hut.fi/teaching/y3/harj/tyo/heigen.html
Muista: Hyperbelin luonteva parametriesitys on x = a cosh t, y = b sinh t
Maple-ohjeita: harj6ohje.mws -TODO!-
Vihje:
Avainsanat: 1neliomuoto,1pos1neg1definiitti, 1paaakseliprobleema,
1principalaxes,1ominaisarvot,1eigenvalues,1mplVektori
Tehtava
- 21.
TV-yhtiö on (pahaa aavistamatta) palkannut matemaatikon seikkailukilpailun
juontajaksi. Kilpailussa tehtävänä on kiertää mahdollisimman lyhyt reitti sen
kolmion sisällä, jonka kärjet ovat pisteissä (0, 0), (2, 0) ja (0, 2). Lähtö tapahtuu
pisteestä (1, 0), ja kilpailijan tarvitsee koskettaa jokaista muuta kolmion sivua ja
palata sitten alkupisteeseen Määritä lyhin tällainen reitti, ja sen pituus.
Vihje: Muodosta matkan funktio f(x,y) – mieti ensin, mitä kuvaa x ja mitä y, ja sen jälkeen,
kuinka etäisyys laskettaisiin (vihje: Euklidinen etäisyys). Tämän jälkeen etsi funktion f kriittiset
pisteet, eli osittaisderivaattojen nollakohdat, ja tutki niiden laatua. Valitse näistä pisteistä minimin
tuottava, ja laske pituus.
Tehtava
- 22.
mplV010.tex Määritä funktion f( x,y) = astetta 2 oleva Taylorin polynomi kehitettynä
pisteessä (2 , 1) Tee 2. asteen polynomi ensin käsin ja sitten Maplella. Kts. myös
ohjetiedostoa (tulee).
Avainsanat: Usean muuttujan Taylorin polynomi, diff, D, perushelppo .
Ratkaisut tehtäviin mplV010 ja mplV011: “ratkaisut”-linkistä (molemmat samassa
työarkissa).
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 23.
mplV011.tex
- Muodosta funktion f(x,y) = cos(x + sin y) toisen asteen Taylorin polynomi
kehitettynä (0, 0):ssa. Miten hyvän approksimaaton saat arvolle f(0.1,−0.2)
? (Vertaa laskimen tai Maplen antamaan arvoon, ei tarvitse miettiä
jäännöstermiarviota.)
- Määritä funktion f(x,y) = asteita 2,3 ja 4 olevat Taylorin
polynomit kehitettynä pisteessä (2, 1)
- Piirrä funktio f(x,y) ja eriasteisia Taylorin polynomeja pintapiirrokisna
ja/tai korkeuskäyrinä.
Kts. myös harj7ohje.mws
Avainsanat: Usean muuttujan Taylorin polynomi, diff, mtaylor,plot3d,contour.
Vihje: a)-kohta on käsinlasku, tarkistukseen siinäkin Maplen diff. b)-kohta Maplen diff -funktiolla.
Lopuksi voit kokeilla myös mtaylor-komentoa. (Tarkoitus on Maple-avusteinen oppiminen, ei liian
valmiiden “nappuloiden” paineleminen.)
Ratkaisut tehtäviin mplV010 ja mplV011: “ratkaisut”-linkistä (molemmat samassa
työarkissa).
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 24.
mplV012.tex Määritä funktion f( x,y) = x3 + y3 − 3 xy kriittiset pisteet (KRP) ja niiden luonne.
(min/max/satula/singulaari) Havainnollista piirroksin.
Avainsanat: Kriittiset pistet, min/max, osittaiderivaatta, nollakohta.
Vihje: Yhtälösysteemin ratkaisu: solve(–yht1,yht2˝,–x,y˝); Polynomiyhtälöissä kannattaa
usein jatkaa komennolla allvalues. Numeerinen ratkaisu: fsolve
Tehtava
- 25.
mplV013.tex Määritä funktion
kriittiset pisteet (KRP) ja niiden luonne. (min/max/satula/singulaari) Havainnollista
piirroksin.
Avainsanat: Kriittiset pisteet, min/max, osittaiderivaatta, nollakohta.
Vihje: Yhtälösysteemin ratkaisu: solve(–yht1,yht2˝,–x,y˝);
Tehtava
- 26.
DOKU mplV013a.tex Määritä funktion
suurin ja pienin arvo joukossa [1 , 2] × [1 , 2].
Maplen lisäksi kannattaa kokeilla Matlab:lla meshgrid, max/min, find ...-tekniikkaa.
Toki ihan optimointiin räätälöityjä funktioitakin kummallakin ohjelmalla.
Mutta ensisijaisesti ihan perustekniikoita, please!. (Osoittautuu sitäpaitsi, että
minimize-tyyppiset “mustat laatikot” eivät oikein pärjää joka kohdassa.)
Jatkotehtävä: Määritä kaikki kriittiset pisteet yo. alueessa ja niiden luonne
(max/min/satula).
Vihje: Vaatimattomasta ulkoasustaan huolimatta voi olla hiukan työläs, mutta sitäkin
opettavaisempi. Jatkotehtävässä esiintyy ehkä yllättävääkin käytöstä.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 27.
mplV014.tex Joudut tekemään vastuunalaisen päätöksen mitoista valmistettaessa
laatikkoa. Pohjamateriaali on kaksi kertaa niin kallista pinta-alayksikköä
kohti kuin sivu- tai kansimateriaali. Millä mitoilla saat V-tilavuuksisen laatikon
materiaalikustannukset minimoiduksi? Perustele, että ratkaisusi on globaali
minimi joukossa {( x,y) |x > 0 ,y > 0 }. (Toisia derivaattoja ei välttmättä
tarvita.)
Avainsanat: minimointi,optimointi, osittaiderivaatta, nollakohta.
Vihje: Sopii puhtaasti käsinlaskuun, toki saa käyttää Maplea laskuapualaisena.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 28.
mplV016.tex Määritä funktion f( x,y) = x3 + y3 − 3 xy kriittiset pisteet (KRP) ja niiden luonne.
(min/max/satula/singulaari) Havainnollista piirroksin.
Avainsanat: Kriittiset pisteet, min/max, osittaiderivaatta, nollakohta.
Vihje: Yhtälösysteemin ratkaisu: solve(–yht1,yht2˝,–x,y˝); Polynomiyhtälöissä kannattaa
usein jatkaa komennolla allvalues. Numeerinen ratkaisu: fsolve
Tehtava
- 29.
mplV017.tex
- Olkoon f(x,y) = .
Määritä pinnan z = f(x,y) tangenttitaso pisteessä (2,−1). Piirrä pinta
ja tangenttitaso ja pyörittele ja zoomaa.
- Sama pinnalle z = arctan pisteessä (2, 2,π∕4).
Vihje: (Kts. ..H/harj6ohje.mws) -TODO- Avainsanat: 1mplVektori,1tangenttitaso,1tangent1plane,1several1variables
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 30.
mplV018.tex Määritä lieriöiden
leikkauskäyrän pisteen (1,−1, 1) kautta kulkevan tangentin yhtälö.
Lieriöpinnan piirtäminen sujuu hyvin plot3d:llä. Kannttaa ajatella lieriö (kahdesta
parametristä riippuvana) parametrimuotoisena pintana. Ensimmäisen lieriön
luonnollinen parametriesitys on x = cos t,y = sin t,z = z. Tässä siis t ja z ovat
parametreja.
Edellinen voisi näyttää tältä:
plot3d([sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t),z],t=0..2*Pi,z=c..d);
Jälkimmäinen vastaavasti. Kuvat yhdistetään:
display(kuva1,kuva2);
Huom! plot3d on monipuolinen funktio, sille voi antaa pinnan muodossa f(x,y), mutta
myös parametrimuodossa yllä kaavailtuun tapaan.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 31.
Määritä funktion f(x,y) = x2 − y suurin arvo ympyrällä x2 + y2 = 1. Käytä
Lagrangen menetelmää.
Vihje: (diff, solve, f:= (x,y)->(x2+y). Jos et ehdottomasti osaa Lagrangen menetelmää, lataa
with(Student[MultivariateCalculus]) ja tutki LagrangeMultipliers-dokumentaatiota.
Tehtava
|
Työkaluja
|