|
Harjoitustehtäviä liittyen differentiaali- ja integraalilaskentaan Maplessa.
Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa
tiedosto, ja liitä se pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.
- 1.
mplDi0001.tex Maple Määritä funktion p( x) = x3 − 4 x2 + 4 x − 1 nollakohdat ja lokaali max/min. Piirrä
funktion ja derivaatan kuvaajat.
Vihje: solve,evalf,diff,plot. Yksinkertaisinta ehkä käsitellä lausekkeena, mutta saat kokeilla
myös funktiotapaa.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 2.
mplDi0002.tex Olkoon
- Laske f′(4) käyttäen diff ja subs - komentoja. Laske tarkka arvo ja likiarvo.
Muista: Pi edustaa vakiota π, pi edustaa vain vastaavaa kreikkalaista kirjainta
ilman semantiikkaa.
- Sama D-operaattorin avulla.
- Miten voit a)-kohdassa muuttaa tuloksen derivaattafunktioksi?
- Määritä f′(4) erotusosamäärän raja-arvona.
Vihje: Komentoja: diff,D,subs,eval,evalf,limit Funktiomääritykset: f:=x->lauseke(x) (vrt. Matlab: f=@(x) lauseke(x)) Lausekkeen muuttaminen funktioksi “jälkikäteen”: F:=unapply(lauseke(x),x
(lauseke(x) tarkoittaa lauseketta, jossa esiintyy symboli x.)
Huom! Uudet Maple-versiot (16 alkaen) armahtavat käyttäjää myös aiemmin ankarin kielloin
varoitetusta funktiomäärityksen muodosta tyyliin: f(x):=x*sin(x) Maple ystävällisesti kysyy, haluatko oikeasti määritellä funktioksi (ja 99%:ssa
tapauksista vastaus on YES! (Uskallan sanoa.))
Avainsanat: Maplediff, Mapleperusteet, lauseke/funktio
Vaikeusaste 1.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 3.
mplDi0002.tex Olkoon
- Laske f′(4) käyttäen diff ja subs - komentoja
- Sama D-operaattorin avulla.
- Miten voit a)-kohdassa muuttaa tuloksen derivaattafunktioksi?
- Määritä f′(4) erotusosamäärän raja-arvona.
Tehtava
- 4.
mplDi001.tex ([HAM] ss. 48-50) Funktiolausekkeen derivaatta muodostetaan diff-komennolla. Määritä seuraavien funktioiden 1. ja 2. derivaatta ja sievennä tulokset
simplify-komennolla.
6x3 + 3x2 − 2x + 1 , , cos(x2 + 1) , arcsin(2x + 3) , , arctan x
Vihje: Voit myös kirjoittaa lausekkeen työarkille, koskettaa sitä hiiren oikealla “context sensitive”
näppäimellä, jolloin saat joukon Maple-komentoja, mm. diff, simplify ym.
Luokittelu, avainsanat: Mapleperusteet, Maplediffint, lauseke, symbolinen derivointi,
diff
Viitteet:
[HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto
588, 1998.
Tehtava
- 5.
mplDi0011.tex Kuulantyönnön tulos riippuu kuulan alkunopeudesta v, lähtökorkeudesta h ja
työnnön suuntakulmasta x seuraavan lausekkeen mukaisesti:
missä x ∈ [−π∕2,π∕2]. Käytetään SI-järjestelmän yksiköitä ja oletetaan, että
h = 2, v = 14 ja g = 9.81. Määritä työnnön optimaalinen suuntakulma ja
maksimitulos.
Kannattanee edetä seuraavien vaiheiden mukaan:
- Määrittele f funktiona; älä sijoita lukuarvoja tässä vaiheessa, niin voit
tarkistaa, että lauseke on oikein.
- Sijoita lukuarvot h,v,g.
- Piirrä funktion f kuvaaja välillä −π∕2 ≤ x ≤ π∕2 ja tarkista, että se
näyttää järkevältä. (Yleinen virhe: kertomerkkejä puuttuu!)
- Ratkaise maksimi kokeilemalla molempia tapoja: suoraan maximize TAI
muodosta yhtälö f′(x) = 0, ratkaise numeerisesti fsolve-käskyllä, laske
maksimi.
- Muuta saatu kulma asteiksi ja mieti, onko tulos järkevä.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 6.
mplDi002.tex Olkoon f( x) = x2 − 4 . Muodosta integraalifunktiot
Tarkista tulokset derivoimalla.
Vihje: int ja Int. Voit myös aloittaa: int ¡ESC-näppäily>, saat valikon, josta valitset ∫
-merkin ja
täydennät luonnollisen tapaan. Käytä simplify-komentoa tarvittaessa.
Luokittelu, Avainsanat: Maplediffint, int,Int,Mapleperusteet
.
Tehtava
- 7.
mplDi003.tex Määritä seuraavat integraalit:
Vihje: Ääretön: infinity. Huom: Voit kirjoittaa int(ESC), saat valikon, josta voit valita määrätyn
integraalimerkin, rajojen paikalle kirjoitat sopivasti, ylärajan voit aloittaa infi(ESC), jolloin Maple antaa
taas valikon, josta voit valita ∞-symbolin. Toki voit kirjoittaa “vanhan hyvän ajan tapaan” int(f,t=0..infinity).
Tehtava
- 8.
mplDi004.tex Huom! Alla jotkin kaavat html-sivulla epäselviä, suositus: avaa pdf-tiedosto (ellet jo
avannut).
Laske seuraavat integraalit. Määräämättömien integraalien tapauksessa tarkista
tuloksesi derivoimalla. Määrätyissä integraaleissa, joista Maple ei suoriudu
voit käyttää numeerista integrointia. Laske joitakin esimerkkejä (kuten
h-kohta) “symbolisesti” ja sitten tulokselle numeerinen likiarvo ja toisaalta suoraan
numeerisesti.
Huomaa, että ns. “suljettu muoto” on nykyisin epämääräinen käsite, sillä
useat “perinteisesti mahdottomat” integraalit voidaan lausua Maple:n tuntemien
erikoisfunktioiden (kuten erf ) avulla.
- a) ∫
0π∕2 sin xdx b) ∫ x cos x2dx
- c) ∫
sin3xdx d)∫
ln xdx
- e) ∫
x2dx f) ∫
01dx
- g) ∫
0πecos xdx h) ∫
−∞∞e−x2dx
Vihje: Integrointikomento on int. Lisäksi on komennon muoto Int, joka on ns. “hidas muoto”
int:stä (“inert function”). Numeerinen integrointi saadaan aikaan yhdistelmällä evalf(Int(...)) tai int(,...,numeric).
Muoto evalf(int(...)) yrittää ensin symbolista, ja evaluoi tuloksen. Jos symbolinen ei
onnistu, integroi numeerisesti. Siksi saattaa olla paljon tehottomampi numeeriseen integrointiin.
Avainsanat: mapleDiffint, symbolinen integrointi, numeerinen integrointi,erf
Tehtava
- 9.
mplDi005.tex Maple, Mathematica , Matlab (erityisesti b)-kohta).
Laske integraali
a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse
asiassa on integraalin arvo?
Vihje:
Mathematica: Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla Integrate, numeerinen funktiolla NIntegrate. Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää,
jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa. Ks. dokumentaatiota, erityisesti Implementation
Notes.
Maple: Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla int, numeerinen funktiolla int(...,type=numeric) tai evalf(Int(...)). Numeerisessa sovelletaan suoraan jotakin numeerisen
integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa. Esim: evalf(Int(f, x = 0 .. 2, digits = 20, method = ˙Dexp))
Matlab: Integrandi määritellään funktioksi (helpoimmin funktiokahvaksi “function handle”). Sitten
quad-alkuiset Matlab-funktiot.
Luokittelu: mplteht/mplDiffint/mplDixx.tex, matlabteht/mlDiffint/mlDixx.tex mmateht/mmaDiffint/mmaDi100 Avainsanat: Symbolinen integrointi, numeerinen integrointi, funktiot, lausekkeet
Ratkaisu: ON (mplDi005R.mw, mplDi005R.pdf)
Viitteet:
http://math.tkk.fi/˜apiola/matlab/opas/lyhyt/m-files.html (Matlab:n
funktiokahva, function handle)
.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 10.
mplDi005a.tex (PA, P1, tharj. 2, s. 2011)
Harjoituksessa käytetään Maple-ohjelmaa. Toisen harjoituksen tavoitteena
on syventää tietoja funktioiden käsittelystä: aiheina ovat mm. derivointi,
maksimointi, yhtälöiden ratkaiseminen (ja iterointi jos jää aikaa). Avaa
Viikkoharjoitukset-sivulla oleva työarkki ja käy läpi siinä olevat esimerkit
ja tehtävät. Sen jälkeen voit siirtyä alla oleviin tehtäviin, mikäli aikaa
riittää.
-
1.
- Klikkaa hiirellä Viikkoharjoitukset-sivun tiedostoa maple2.mw
(tässä http://www.math.hut.fi/opetus/Mattie/MattieT/mplteht/mplDiffint/mplDi005aPohja.mw),
ja avaa se Maple-ohjelmalla. Käy läpi työarkin tehtävät ja siirry sen
jälkeen alla oleviin tehtäviin.
-
2.
- Putoavan kappaleen nopeus v = v(t) toteuttaa differentiaaliyhtälön
mv′(t) = mg−kv(t)2, jos positiivinen suunta on alaspäin ja ilmanvastus on
verrannollinen nopeuden neliöön kertoimella k > 0.
a) Osoita, että funktio
toteuttaa vaaditun differentiaaliyhtälön. b) Mikä on rajanopeus lim t→∞v(t)? Vihje: simplify-käsky ei tee sievennyksiä aivan loppuun, koska se ei tiedä,
ovatko m,g,k positiivisia. Lisää käsky assume(m>0 and k>0 and g>0) ja
kokeile sievennystä sen jälkeen.
-
3.
- Kuulantyönnön tulos riippuu kuulan alkunopeudesta v, lähtökorkeudesta
h ja työnnön suuntakulmasta x seuraavan lausekkeen mukaisesti:
missä x ∈ [−π∕2,π∕2]. Käytetään SI-järjestelmän yksiköitä ja
oletetaan, että h = 2, v = 14 ja g = 9.81. Määritä työnnön
optimaalinen suuntakulma ja maksimitulos.
Kannattanee edetä seuraavien vaiheiden mukaan:
- Määrittele f funktiona; älä sijoita lukuarvoja tässä vaiheessa, niin voit
tarkistaa, että lauseke on oikein.
- Sijoita lukuarvot h,v,g.
- Piirrä funktion f kuvaaja välillä −π∕2 ≤ x ≤ π∕2 ja tarkista, että se
näyttää järkevältä. (Yleinen virhe: kertomerkkejä puuttuu!)
- Ratkaise maksimi kokeilemalla molempia tapoja: suoraan maximize TAI
muodosta yhtälö f′(x) = 0, ratkaise numeerisesti fsolve-käskyllä, laske
maksimi.
- Muuta saatu kulma asteiksi ja mieti, onko tulos järkevä.
Avainsanat: mplDiffint, PeruskurssiP1, putoavan kappaleen diffyhtalo, differentiaalyhtalo,
yhtälö, simplify, assume
Tehtava
- 11.
mplDi006.tex (Maple, Mathematica) Laske integraali
Yritä sieventää tulosta (äläkä masennu, kun ei sievene). Derivoi, sievennä ja
hämmästy!
Vihje: Funktiot int (ja Int). Tehtävä näyttää kovin viattomalta, mutta tulos voi yllättää ja lisätä kunnioitusta Maplen
kykyihin. Samalla näkyy, että integroinnin ns. “suljettu muoto” on nykyohjelmissa huomattavasti
laajentunut entisajoista.
Luokittelu, avainsanat: MapleDiffint, integrointi, erikoisfunktiot
Tehtava
- 12.
mplDi007.tex [Isr] s. 46
Ilmapallon tilavuus kasvaa nopeudella 10cm3∕s. Millä nopeudella säde kasvaa
hetkellä, jolloin pallon pinta-ala on 200cm2?
Vihje: Periaate: V (t) = πr(t)3, A(t) = 4πr2. Derivoidaan: V ′(t) = lauseke, jossa esiintyy r(t) ja r′(t)
(implisiittinen derivointi). Tästä saadaan yksi yhtälö, josta voidaan ratkaista r′ V ′:n (tunnettu) ja
r:n avulla. r saadaan pinta-alaehdosta.
Voit aloittaa vaikka näin:
V:=(4/3)*Pi*r(t)^3; A:=4*Pi*r(t)^2;
yht1:=10=diff(V,t);yht2:=200=A;
Huomaa, että diff soveltaa implisiittistä derivointia tuntemattomaan funktioon r(t).
Ratkaisu:
> V := (4/3)*Pi*r(t)^3;
> A := 4*Pi*r(t)^2;
> yht1 := 10 = diff(V, t);
> yht2 := 200 = A;
> r1 := solve(yht2, r(t));
> r1 := max(r1); # Valitaan pos.
> dr := solve(yht1, diff(r(t), t));
> subs(r(t) = r1, dr);
Luokittelu, avainsanat: MapleDiffint, implisiittinen dervointi
Viitteet: [Isr] Robert Israel: Calculus: The Maple Way, Addison Wesley
Tehtava
- 13.
mplDi008.tex Missä pisteissä Cartesiuksen lehden x3 + y3 = 3 xy tangentin suuntakulma jonkin
koordinaattiakselin suhteen on = 45 ∘ ? Piirrä sekä käyrä että ko. tangentit (ainakin
joku tangentti).
Vihje: Implisiittinen derivointi ja numeerinen yhtälön ratkaisu fsolve lienevät paikallaan. Huomaa,
että diff soveltaa implisiittistä derivointia tuntemattomaan funktioon y(x) (tai x(y)).
Luokittelu, avainsanat: MapleDiffint, implisiittinen derivointi, yhtälön numeerinen
ratkaisu, fsolve
Tehtava
- 14.
mplDi009.tex (Maple, Mathematica) Muodosta funktion f( x) = arctan ensimmäinen ja toinen derivaatta. Piirrä
funktion ja derivaattojen kuvaajat.
Vihje: Derivaatat ovat aluksi todella sotkuisia. Käytä komentoa simplify siistiäksesi tulostusta.
Kuvat saattavat yllättää ja johdatella pohtimaan, miksi?
Ratkaisu:
(Poista kommentit ...)
%> f := x -> arctan(sqrt((1-cos(x))/(1+cos(x))))
%> plot(f(x),x=-2*Pi..2*Pi)
%> df := diff(f(x), x)
%> df:=simplify(df)
%> plot(df,x=-Pi..Pi)
%> d2f:=diff(df,x)
%> simplify(%)
Luokittelu, avainsanat: diff, simplify, plot,diffint1, peruskurssi1
Tehtava
- 15.
mplDi010.tex
Määritä funktion f(x) = arcsin(2x) suurin ja pienin arvo välillä
[−1, 1].
Käytä symboliohjelmissa perinteistä “diffistekniikkaa” kuvan kanssa, Matlab:ssa
raakaa “numeronmurskausta” tyyliin: linspace, plot, zoom, uusi linspace
kapeammalla välillä, find, ...
Vihje: arcsin on Mathematicassa ArcSin, Maplessa arcsin ja Matlabissa asin. Symbolilaskentaohjelma saattaa johtaa oikeaan tulokseen puutteellisin perustein, jos tarkkoja ollaan.
Ratkaisu: Tämän kohdan ratkaisulinkissä Maple-ratkaisu, Matlab-ratkaisu vastaavassa
Matlab-kohdassa (../../matlabteht/mlDiffint/mlDi010R.m ja .pdf)
Avainsanat: Diffint1,max/min, ääriarvot,peruskurssi1
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 16.
mplDi011.tex Ohjelmat: Maple,Mathematica Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät y2 = x ja x − y = 3.
Vihje: Mieti, kumpi on helpompaa: integrointi x- vai y-suunnassa.
Ratkaisu: mplDi011.pdf (pdf-tiedosto), mplDi011.mw (Maple ws) ...mmateht/mmaDiffint/mmaDi107R.nb (Mma-notebook)
Luokittelu: mplteht/mplDiffint/mplDi011.tex, mmateht/mmaDiffint/mmaDi107.tex Avainsanat: Pinta-ala, integraali,diffintperusteet,peruskurssi1.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 17.
mplDi012.tex (Maple,Mathematica) Määritä ellipsin 9 x2 + 16 y2 = 144 sisään piirretyn (akselien suuntaisen)
suorakulmion maksimaalinen pinta-ala. Piirrä ellipsi ja suorakulmio.
Ratkaisu: Maple: mplDiffint/mplDi012R.mw mplDiffint/mplDi012R.pdf
Avainsanat: Diffint1, ääriarvot, peruskurssi1,diffintperusteet
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 18.
mplDi013.tex (Mathematica,Maple) Määritä funktion
integraalifunktio ja piirrä sen kuvaaja. Onko tämä jatkuva? Pitäisikö sen olla
jatkuva? Laske funktion integraali jakson [0, 2π] yli a) integroimalla analyyttisesti
komennolla Integrate, b) integroimalla numeerisesti komennolla NIntegrate,
c) muodostamalla ensin integraalifunktio komennolla Integrate ja sijoittamalla rajat
tähän korvausoperaattoria käyttäen.
Vihje: Mathematica: Komennolla Integrate lasketaan sekä integraalifunktio että määrätty integraali. Numeeriselle
integroinnille (määrätyn integraalin laskemiseen) on komento NIntegrate. Korvausoperaattori on
ReplaceAll eli /. .
Maple: Integrointi: int, “hidastusmuoto”: Int. Numeerinen integrointi: int(lauseke,x=a..b,numeric). Arvon (a) sijoittaminen lausekkeen (F) muuttujaan (x): subs(x=a,F)
Ratkaisu:
> f := 1/(2+sin(x)) # (Työarkilla matem. notaatio)
> F:=int(f,x)
> plot(F,x=0..2*Pi) # Oho, integroimisvakiot ei yhteensopivat.
> subs(x=2*Pi,F)-subs(x=0,F)
> simplify(%) # Ei voi olla, integroitava pos. koko välillä
> int(f,x=0..2*Pi)
> evalf(%)
> int(f,x=0..2*Pi,numeric)
Tehtava
- 19.
mplDi014.tex (Mathematica,Maple) Laske kardioidin r = 1 + cos φ kaarenpituus. Piirrä kuvio. Miten saat kardioidin kuvan
oikeanmuotoiseksi? Tuntuuko saamasi pituus uskottavalta?
Vihje: Kaarenpituusintegraali: ∫
ds = ∫
dφ.
Tehtava
- 20.
mplDi015.tex Laske kaksinkertainen integraali
Laske tarkka arvo sekä likiarvo.
Vihje: Huom: Maplessa voit kirjoittaa integraalit, neliöjuuret ym. matemaattisena notaationa.
Tässä kaksoisintegraalissa syntyy jostain syystä oikeannäköisen matemaattisen kaavan kanssa
vaikeaselkoinen virhe: Error, unable to parse integral ... . Kyse on differentiaalitermin tulkintavaikeudesta.
Perusnotaatio (int(int(...))) toimii varmasti.
Ratkaisu:
> int(int(x*sqrt(1+y), y = -x^2 .. x^2), x = 0 .. 1)
> evalf(%)
Avainsanat: diffint2, kaksinkertainen integraali, peruskurssi2
Tehtava
- 21.
mplDi016.tex Osoita, että funktio
toteuttaa Laplace yhtälön fxx + fyy + fzz = 0.
Vihje: Laske osittaisderivaatat diff-komennolla. Tulos ei todennäköisesti suoraan anna nollaa, vaan
kaipaa sieventämistä. Käytä tähän komentoa simplify.
Ratkaisu:
> f := 1/sqrt(x^2+y^2+z^2)
> diff(f, x, x)+diff(f, y, y)+diff(f, z, z)
> simplify(%)
Avainsanat: diffint2, osittaisderivaatta, Laplacen yhtälö, peruskurssi2
Tehtava
- 22.
mplDi017.tex
Ratkaisu: mplDiffint/mplDi017R.mw ja .pdf
Avainsanat: Osittaisderivaatta, harmoniset funktiot, sekaderivaatat yhtyvät, diffint2,
peruskurssi2
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 23.
mplDi018.tex
Approksimoi numeerisesti kahden desimaalin tarkkuudella polun
pituutta. Idea on, että jaat välin [0, 1] n kappaleeseen tasapituisiä välejä, ja lasket
näiden välien päätepisteitä vastaavien koordinaattien etäisyydet yhteen. Näin
jakoa tihentämällä summan pitäisi lähestyä oikeaa pituutta. Muista, että saat
tarkan pituuden laskemalla
Vihje:
Tehtava
- 24.
mplDi019.tex Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1, syksy 2011, Pekka Alestalo
Harjoituksessa käytetään Maple-ohjelmaa. Viimeisen harjoituksen tavoitteena on
tutustua integraalilaskentaan ja ratkaista siihen liittyvä sovellettu tehtävä. Lopuksi
tutustutaan työarkin esimerkkien avulla jonojen, listojen ja matriisien käsittelyyn, jos
jää aikaa.
Tarkista oman ryhmäsi aika ja paikka. Ota mukaasi (tämän paperin
lisäksi) Viikkoharjoitukset-sivun Maple-pikaohje. Myös aikaisempien
kierrosten malliratkaisut kannattaa kerrata.
-
1.
- Käy läpi edellisen kerran tehtävä 3 Noppa-sivun malliratkaisun avulla,
ellet ehtinyt tehdä sitä viimeksi.
-
2.
- Klikkaa hiirellä Viikkoharjoitukset-sivun tiedostoa maple3.mw (puuttuu
tästä toistaiseksi) ja avaa se ohjelmalla Maple 15. Käy läpi esimerkit ja
laske annetut integraalit.
-
3.
- Työarkilla on annettu katenaariin eli ketjukäyrään liittyvä tehtävä,
jossa etsitään sellaisen köyden muotoa, jonka pituus on 6 ja jonka
päät on kiinnitetty pisteisiin (0, 1) ja (3, 2). Käy läpi esimerkkilaskut
väärästä yrityksestä paraabelin y = g(x) = Ax2 + Bx + C avulla ja
ratkaise sitten tehtävä oikean lausekkeen
avulla. Ehdot tulevat siis muotoon f(0) = 1, f(3) = 2 ja
Piirrä lopuksi funktioiden f ja g kuvaajat samaan kuvaan ja vertaa tuloksia.
Hyödyllisiä vihjeitä:
- Kursoria ei tarvitse siirtää rivin loppuun ennen Enter-käskyä!
- Nuolinäppäimillä voi siirtyä yläindeksistä pois; samoin
murtolausekkeissa.
- Pikanäppäimiä:
Ctrl + Delete poistaa käsky- tai tulosrivin Ctrl + t siirtyy tekstitilaan F5 siirtyy tekstitilassa kaavankirjoitustilaan ja takaisin Ctrl + k tekee uuden käskyrivin kursorin yläpuolelle Ctrl + j tekee uuden käskyrivin kursorin alapuolelle Ctrl + l (l = label) liittää viittauksen aikaisemman tuloksen numeroon
Vihje:
Tehtava
- 25.
mplDi020.tex Integroi rationaalifunktiot:
Saat käyttää Maplea apuna, mutta komennot convert(lauseke,parfrac,x)
(puhumattakaan int :stä) ovat kiellettyjä muuhun kuin tarkistukseen. Katso mallia
Maple-työskentelyyn vaikkapa /p/edu/mat-1.414/L2000/inttekn.mws:stä.
Tehtävien ei pitäisi olla kohtuuttomia kokonaan käsinkään laskettaviksi.
** Linkki tuskin toimii, tee apu.zip **
Vihje:
Viitteitä: Tämä ja seuraavat n. 10 teht. kokoelmasta ... v2-3/H/harj2.tex (** Nootti
systeemin rakentajalle(HA) **)
Tehtava
- 26.
mplDi021.tex Tynnyrin korkeus on h, pohjaympyrösöiden säteet a ja keskikohdalta otetun
poikkileikkausympyrän säde b ( a < b). Laske tynnyrin tilavuus, kun sivulaudat
kaartuvat paraabelin muotoisesti.
Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica-harjoitteluun.
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1
.
Tehtava
- 27.
mplDi022.tex Laske sen alueen pinta-ala, joka on ympyrän r = a sisäpuolella, mutta Bernoullin
lemniskaatan r2 = 2a2 cos 2ϕ ulkopuolella.
Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica-harjoitteluun.
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1
Tehtava
- 28.
mplDi023.tex Laske asteroidin x = a cos 3t,y = a sin 3t koko pituus. Piirrä mielellään sekä Maplella
(tai Mma:lla) että Matlabilla.
Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica(/Matlabkin)-harjoitteluun.
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1
Tehtava
- 29.
mplDi024.tex Ketjukäyrän y = a cosh , |x|≤ a pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy
katenoidiksi kutsuttu pinta. Laske sen ala ja piirrä kuva (sopivalla a:lla).
Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica(/Matlabkin)-harjoitteluun.
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1
Tehtava
- 30.
mplDi025.tex Määritä ne p:n arvot, joilla seuraavat integraalit suppenevat ja määritä
suppenevien integraalien arvot.
Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica(/Matlabkin)-harjoitteluun.
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1
Tehtava
- 31.
mplDi026.tex Selvitä, suppeneeko ∫
01 ln xdx. Integrointiin voit käyttää Maplen int-komentoa.
Tarjoile ongelma Maplelle raja-arvona, johon sovellat limit-funktiota. Selvitä tuloksen
oikeellisuus.
Vihje:
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1
Tehtava
- 32.
mplDi027.tex Eulerin Γ-funktio määritellään kaavalla
a) Osoita, että integraali suppenee aina kun x > 0.
b) Johda osittaisintegroimalla palautuskaava Γ(x):lle Γ(x − 1):n avulla ja osoita sitä
käyttäen, että Γ(n + 1) = n!, kun n = 0, 1, 2,... .
c) Tutustu Gamma-funktioon piirtämällä Maplella tai Matlabilla. Huomaa, että
Matlabissa ei ole (ollut) muuta tapaa n!:n laskemiseen kuin Gamman avulla. Pikku
tarkennus (v. 2012): No, tokihan voi laskea: prod(1:n), mutta uudemmissa versioissa on
myös factorial.
Vihje: a)- ja b)-kohdat käsinlasku(pää-päättely)tehtäviä.
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1
Tehtava
- 33.
mplDi028.tex (Maple,Matlab) Selvitä, miksi seuraava Matlabin komentojono antaa exp-funktion (0:ssa muodostetun)
Taylorin n-asteisen polynomin kertoimet.
n=10,c=1:n,c=gamma(c+1),c=1./c,c=[1,c]
Huomaa, että kertoimet ovat kasvavan potenssin mukaan, joten jos/kun halutaan laskea
polyval-funktiolla arvoja, on tehtävä y=polyval(fliplr(c),x);
a) Piirrä exp-funktio ja sen Taylorin polynomit Tk(x, 0), arvoilla k = 1…10
.
b) Suorita Maple-komento seq(eval(subs(x=0,diff(exp(x),x$k) )),k=1..5); Se antaa varmasti idean, miten
Maplen ja Matlabin yhteistyöllä voi kätevästi laskea minkä tahansa funktion
Taylorin polynomeja x-vektorissa. Muodosta tällä tavoin joidenkin funktioiden
Taylor-polynomitaulukoita ja kuvia.
c) Muodosta ja piirrä edellisiä suoraan Maplella .
d) Kirjoita edellä olevat ideat (pieneksi, 2–3 komentoa) funktioksi taypolkert, joka
yksinkertaisesti ottaa argumentikseen (Vaikkapa Maplella saatavan ) derivaattajonon,
jossa siis käsiteltävän funktion derivaatat on laskettu kehityskeskuksessa. Funktion
tulee palauttaa Taylorin polynomin kerroinjono. (Laskentapiste ei näy Matlab-funktiossa
argumenttina, se tulee mukaan jo Maple (tai kynä/paperi)-vaiheessa.) Palauta
kertoimet alenevien potenssien mukaan, siis “polyval-sopivasti”. Alku voisi olla
tällainen:
function kertoimet=taypolkert(derjono)
% Lasketaan Taylorin polynomin kertoimet. Asteluku määräytyy
% derjonon pituudesta
% derjono: [f(x0),f’(x0),f’’(x0),...]
% pisteet, joissa lasketaan
Testaa funktiotasi ainakin samoilla kuin ennen funktion tekoa. Voi tietysti olla, että
haluat mieluummin kirjoittaa funktion muodossa function y=taypol(derjono,x) .
Tällöin polyval on mukana ja arvot lasketaan siis vektorissa x. No, tee miten
haluat!
Vihje:
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1,Taylorin polynomi,Matlabdiffint
Tehtava
- 34.
mplDi029.tex (Maple,Matlab) Laske sopivaa Taylorin polynomia ja siihen liittyvää virhetermiä hyväksi käyttäen
likiarvo integraalille
siten, että virheen itseisarvo on korkeintaan 10 −6. Tarkoitus on laskea Taylorin kaavan
jäännöstermin avulla, kuinka korkea asteluku tarvitaan, jotta virheraja varmasti
alitetaan.
Vertaa laskemaasi approksimaatiota Maplen evalf(Int(..)); - komennon antamaan
arvoon.
Pohdittavaksi: Onko Taylorin polynomin käyttö hyvä numeerisen integroinnin
menetelmä? Missä tapauksessa on ja missä ei?
Vihje:
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1,Taylorin polynomi,Matlabdiffint
Tehtava
- 35.
mplDi030.tex (Maple,Matlab) Muodosta lemniskaatan r2 = cos 2 ϕ kaaren pituuden lauseke. Voit integroida välillä
[0 ,π∕4] ja kertoa tuloksen 4:llä.
Kokeile integroida Maplella, kenties tulos on hieman yllättävä, laske numeerinen
approksimaatio evalf:lla.
Suorita with(student): ja kokeile funktioita trapezoid ja simpson. Huomaa, että
integroitava on singulaarinen päätepisteessä, joten näillä täytyy jättää väli
hieman vajaaksi. Pääsetkö lähelle oikeaa tulosta näillä välineillä. Katso myös
kuvia, niin integrandista kuin integraalifunktiostakin (Niin, Maple osaa tosiaankin
sellaisen muodostaa!)
Vihje:
Avainsanat: mapleDiffint, Mapleperusteet, peruskurssi1,Taylorin
polynomi,Matlabdiffint,numeerinen integrointi
Tehtava
- 36.
Selitä, miksi näin saadaan exp-funktion katkaistu Taylorin sarja. Suorita sitten
Maplella tämäntyylistä:
> series(exp(x), x = 0, 10); # tai taylor(…);
> p:=convert(%,polynom);
> c:=coeffs(p,x);
> evalf(%);
Selitä, mitä näissä tapahtuu. (Tutki tarvitessasi helpillä komentoja niin Matlabissa
kuin Maplessa.)
Piirrä ja taulukoi tulokset.
Vihje:
Tehtava
|
Työkaluja
|