MMM-Tehtäväportaali

Menu:

Harjoitustehtäviä liittyen diﬀerentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen ja tutkimiseen Maplessa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

1.
mplD0009.tex
Putoavan kappaleen nopeus v = v(t) toteuttaa diﬀerentiaaliyhtälön mv′(t) = mg −kv(t)², jos positiivinen suunta on alaspäin ja ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön kertoimella k > 0.
a) Ratkaise diﬀerentiaaliyhtälö alkuehdolla v(0) = 0.
b) Mikä on rajanopeus lim _t→∞v(t)?
Vihje: Ohjelma ei osaa laskea raja-arvoa, koska se ei tiedä vakioiden etumerkkiä. Lisää käsky assume(m>0 and k>0 and g>0) ja kokeile uudelleen sen jälkeen.

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
2.
mplD001.tex (infoverkostot (iv) s. 2001) Ratkaise yhtälö

$dy ---= ty dt$ .
- Muodosta yleinen ratkaisu.
- Määritä vakio ˙C1 alkuehdolle y(0) = 1.
- Ratkaise alkuarvotehtävä suoraan dsolve:lla.
Vihje: Maplen funktio dsolve.
b)-kohdassa voit ottaa ratkaisulausekkeen rhs (Righthand side) kiinni. Tarvitset lisäksi komentoja subs ja solve
c) ?dsolve, [HAM] ss. 162-165
Ratkaisu:

> dyht := diff(y(t), t) = t*y(t)
a)
> ylratk := dsolve(dyht, y(t))
b)
> Y := rhs(ylratk)
> solve(subs(t = 0, Y) = 1, ˙C1)
Huom! Dokumenttimoodissa alaviiva pudottaa kursorin alaindeksitasolle.
”copy/paste” tarvitaan ˙C1:lle.
> eval(%)
c)
> dsolve(–dyht, y(0) = 1˝, y(t))
Tehtava
3.
mplD002.tex (infoverkostot (iv) s. 2001)
Ratkaise diﬀerentiaaliyhtälö sijoittamalla ratkaisuehdotus (REh) annettuun yhtälöön tai esim. integroimalla, arvaamalla tms.:
(a) y′ + y = x² − 2, REh: y = Ce^−x + x² − 2x
(b) y′′ + y = 0, REh: y = a cos x + b sin x
(c) y′′′ = e^x,
(d) x + yy′ = 0, REh: x² + y² = C (C > 0, vakio).
Vihje: (d)-kohta: Derivoi implisiittisesti, ts. oleta, että on olemassa derivoituva funktio x↦y(x) s.e. x² + y(x) = C ja derivoi puolittain. (Tässä tapauksessa olemassaolo tiedetään, onhan y(x) = tällainen. Tämän eksplisiittisen lausekkeen käyttö ei silti kannata, se vain mutkistaa asioita, olkaamme siis implisiittisiä.)
Ratkaisu: mplD002R.mw ja .pdf ON

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
4.
mplD0021.tex
Vrt. ... mlD0021 ja mlD0021b

Totea Maple:n avulla suoraan yhtälöön sijoittamalla , että
$y(t) = ce− 5t$
toteuttaa diﬀerentiaaliyhtälön y′ = −5y.
Määritä myös diﬀyhtälön yleinen ratkaisu sekä alkuhdon y(0) = c toteuttava ratkaisu dsolve-komennolla (kts. vihje)
Piirrä ratkaisukäyräparvi, kun vakio c saa 21 arvoa tasavälisesti välillä [0,4]. (Tai suunnilleen tuonverran)
Piirrä paksummalla viivalla alkuehdon y(0) = 1 toteuttava kuvaaja ja merkitse alkupiste rinkulalla.
Huom:Maplen syntaksi muistuttaa läheisesti muPad:ia. Graﬁikoiden yhdistämiseen on Maplessa monipuolisemmat välineet.
Vihje: Komentoja: subs,diff,dsolve,plot,with(plots),display

diffyht:=diff(y(t),t) =-5*y(t)
# tai:
diffyht2:=y’(t)=-5*y(t)

Näiden käsittely eroaa, edellinen on lauseketyylinen, jälkimmäinen funktiotyylinen, kuten tulostusmuodosta näkyy.
Normaal subs-toimii edellisessä, mutta ei jälkimmäisessä.
Käytä siis alkuosassa edellistä.

?dsolve   # Toimii kumpaankin yhtälömuotoon (tottakai).
ratk:=dsolve(–diffyhtalo,y(0)=c˝,y(t))
Y:=subs(ratk,y(t))  # Mieti, logiikka on kohdallaan.
parvi:=seq(Y,c=0..4,0.2) # Sama kuin matlab:n  0:0.2:4
with(plots)
pkuva:=plot([parvi],t=a..b)  # a ja b tehtävän mukaan.
?plot,options
display(pkuva,plot([[0,1]],style=point,symbol=circle,symbolsize=20),plot(exp(...),t=...,thickness=3))

Graﬁikkojen yhdistäminen yleisesti Maplella hoituu display-komennolla (edellyttää with(plots)-komentoa):
display(kuva1,kuva2,kuva3)
Vaativuus: 1
Avainsanat: MapleDiﬀyht, MapleODE, diﬀyhtälöt, ratkaisukayraparvi

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
5.
mplD003.tex [Matlab-versio: ...mlD002.tex] (iv3/2001, harj. 1, teht. 2)
Millä xy-tason käyrillä on ominaisuus: Käyrän tangentin kulmakerroin jokaisessa pisteessä (x,y) on − ?
Ratkaise yhtälö muuttujien erottelulla (“separation of variables”). Piirrä suuntakenttä isokliineja apuna käyttäen käsin vaikkapa alueessa [−2, 2] × [−2, 2].
Ota sitten Maple avuksi. Kokeile ja selitä!
Vihje: Kts. [HAM] ss. 169-170

> with(DEtools)
> with(plots)

Suuntakenttään:DEplot,
graﬁikkojen yhdistämiseen: display.
Suoraparven saat tyyliin

> yparvi:=seq(...,c=[-2,-1,-.5,.5,2,1]) # tms.
> isokl:=plot([yparvi],x=...)

Yleisemmin isokliinit saadaan piirretyksi implicitplot-funktiolla, mutta tässä saatiin ratkaistussa muodossa suoraan.
Avainsanat:MapleDy, diﬀyhtälöt, suuntakenttä, isokliinit, mplDiﬀerentiaali(yhtälöt)
Viitteet: [HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
6.
mplD004.tex [Matlab-versio: ...mlD004.tex] (iv3/2001, harj. 1, LV teht. 1-2)

Laskuvarjohyppääjän yhtälö. Oletetaan, että hyppääjän + varustuksen massa = m ja ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön, olkoon verrannollisuskerroin = b. Tällöin Newtonin 2. laki antaa liikeyhtälön:

$mv ′ = mg − bv2.$
Olkoon yksinkertaisuuden vuoksi m = 1,b = 1 ja g = 9.81m∕s².
Piirrä suuntakenttä.
Oletetaan, että laskuvarjo aukeaa, kun v = 10m∕s, valitaan tämä alkuhetkeksi t = 0. Piirrä tämä ratkaisukäyrä suuntakenttäpiirrokseen. Yritä nähdä suuntakentästä, että kaikki ratkaisut näyttävät lähestyvän rajanopeutta v ≈ 3.13 ja että ratkaisut ovat joko kasvavia tai pieneneviä (ja millä alkuarvoilla mitäkin, ja mitä tarkoittaa fysikaalisesti)
Määritä rajanopeus suoraan yhtälöstä.
Käytä Matlab-piirroksiin funktiota dfield8 ja Maplessa DEtools-kirjaston DEplot-funktiota.
Vihje: Kts. [HAM] ss. 169-170 tai ?DEplot

> with(DEtools)
> with(plots)

Suuntakenttään:DEplot,
graﬁikkojen yhdistämiseen: display.
dﬁeld-ohje:
Hae m-tiedosto dﬁeld8 sivulta http://math.rice.edu/˜dfield/ ja sijoita se Matlab-polkusi varrelle.
Kirjoita Matlab-istuntoon : dfield8

Avainsanat: MatlabDy, MapleDy, diﬀyhtälöt, suuntakenttä, isokliinit, mplDiﬀerentiaali(yhtälöt), mlDiﬀerentiaali(yhtälöt)
Viitteet: [HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998

Tehtava
7.
mplD005.tex (iv3/2001, harj. 1, LV teht. 2)

Muodosta edellä olevan laskuvarjotehtävän (mplD004) analyyttinen ratkaisu muuttujien erottelulla. Määritä edellä mainittu (v(0) = 10)-ratkaisukäyrä. Tarkista ratkaisu Maplella ja kokeile lopuksi Maplen dsolve- komentoa. (Ohje [HAM]-kirjassa.)
Vihje: Ohje analyyttiseen: Muistathan, että osamurtohajoitelma on hyödyllinen rationaalilausekkeen integroinnissa (Maple: convert(lauseke,parfrac,muuttuja); mutta osattava myös käsin).
Avainsanat: MapleDy, diﬀyhtälöt, muuttujien erottelu, mplDiﬀerentiaali(yhtälöt), mlDiﬀerentiaali(yhtälöt)
Viitteet: [HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998

Tehtava
8.
mplD006.tex (iv3/2001, harj. 1, LV teht. 3)
Vaihdamme tässä LAODE-tyyliseen notaatioon: t on riippumaton muuttuja, x on “riippuva” muuttuja. Kannattaa totutella eri tyyleihin.
Ratkaise alkuarvotehtävä x′ = − e^−t, x(0) = −1. Kyseessä on lineaarinen epähomogeeninen (EHY). Tämä lasku ei edellytä mitään uutta muuttujien erottelun lisäksi (ainoastaan uskomista), kaikki on tässä neuvottu.
Suorita ratkaisu näin:
- Ratkaise ensin vastaava (HY) x′ = (yleinen ratkaisu).
- Yritä keksiä jokin (EHY):n erityisratkaisu (siis mikä tahansa (EHY):n toteuttava). Keksiminen on helppoa, kun mietit exp-funktion derivointia. (Määräämätön kerroin ratkaistaan sijoittamalla yrite (EHY):yyn).
Lineaaristen teoria sanoo, että (EHY):n yleinen = (HY):n yleinen + (EHY):n erikoinen.
Piirrä myös suuntakenttä ja ratkaisukäyriä (Maple: DEtools[DEplot], Matlab: dfield8 tai suuntak1).
Miten näet suuntakentästä, että yhtälö ei ole autonominen?
Avainsanat: MapleDy, lineaariset diﬀyhtälöt, mplDiﬀerentiaali(yhtälöt)
Viitteet: [LAODE] Golubitzky-Dellnitz: Linear Algebra and Diﬀerential Equations using Matlab, Brooks/Cole 1999.
Tehtava
9.
mplD007.tex (iv3/2001, harj. 2, AV teht. 1)
Ratkaise (AA)-tehtävä y′− 2xy = 1, y(0) = −0.5
Tässä näyttää siltä, että (EHY):n erikoinen olisi helppo löytää, mutta huomaat pian, että luonnolliset yritteet eivät toimi. (Kyseessähän on lineaarinen, mutta ei-vakiokertoiminen yhtälö.)
Ratkaise vaan sitten kiltisti integroivan tekijän menettelyllä.
Integrointi johtaa erf-funktioon, Maple antaa sen suoraan, voit myös konsultoida KRE-kirjaa hakusanalla erf. Lausu siis ratkaisu erf:n avulla.
Piirrä suuntakenttäpiirros Maplen DEtools-pakkauksen DEplot-funktion avulla (kts [HAM] s. 169), voit toki käyttää myös Matlab:n dﬁeld8-funktiota (ohje alla).
Valitse alkuarvoja y₀ väliltä (−1,−0.5) yrittäen löytää kriittistä arvoa y₀, joka jakaa ratrkaisukäyrät plus tai miinus ääretöntä lähestyviin. (Tuo kriittinen ratkaisukäyrä on rajoitettu.) Käytä hyväksesi erf-funktion ominaisuutta lim _x→∞erf(x) = 1 laskeaksesi tarkan arvon y₀:lle.
Vihje: dﬁeld-ohje: Hae m-tiedosto dﬁeld8 sivulta http://math.rice.edu/˜dfield/ ja sijoita se Matlab-polkusi varrelle.
Kirjoita Matlab-istuntoon : dfield8

Avainsanat: MapleDy, diﬀyhtälöt,erf, mplDiﬀerentiaali(yhtälöt)
Viitteet: [KRE] E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, Wiley
[HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.

Tehtava
10.
mplD008.tex (iv3/2001, harj. 2, AV teht. 2)
Tarkastellaan (AA)-tehtävää xy′ = 4y, y(0) = 1.
(a) Osoita, että tehtävällä ei ole ratkaisua. Osoita, että tämä ei ole ristiriidassa ∃₁-lauseen kanssa. (Huom: Lauseen avulla ei voi todistaa epäeksistenssiä, koska lauseen ehdot eivä ole välttämättömät.)
(b) Vaihdetaan alkuehdoksi: y(0) = 0. Miten nyt on ratkaisujen laita.
(c) Mitä voit sanoa alkuehdon y(x₀) = y₀ tapauksessa, jos x₀≠0,
(A) suoraan ratkaisukaavan avulla, (B) ∃₁-lauseen avulla.
Vihje: Tämä on puhtaasti “perinteinen” tehtävä, mutta havainnollistus Maple/Matlab-välineillä on hyvinkin paikallaan.
Avainsanat: diﬀyhtälöt, ratkaisun (epä)olemassaolo, eksistenssilause, mplDiﬀerentiaali(yhtälöt)

Tehtava
11.
mplD009.tex (iv3/2001, harj. 2, AV teht. 3)
Muodosta Picardin iteraatiojonon muutama termi (AA)-tehtäville
(a) y′ = x + y, y(0) = 0 (b) y′ = x + y, y(0) = −1
(c) y′ = y², y(0) = 1.
Määritä myös tarkka ratkaisu.
Vihje: LV-tehtävässä palataan asiaan Maple-hommana. Tämä on tyypillistä symbolilaskennan vahvuusaluetta.
Avainsanat: diﬀyhtälöt, ratkaisun (epä)olemassaolo, Picard-Lindelöf-menetelmä, Picardin iteraatio, mplDiﬀerentiaali(yhtälöt)

Tehtava
12.
Ratkaise yhtälö = ty. Vihje: Maplen funktio dsolve.

Tehtava
13.
mplD010.tex (iv3/2001, harj. 2, LV teht. 1)
Muodosta Picardin iteraatiojonoa pitemmälle kuin AV-tehtävässä samoille (AA)-tehtäville (a), (b), (c) ja lisäksi vielä (d): lle.
(a) y′ = x + y, y(0) = 0 (b) y′ = x + y, y(0) = −1
(c) y′ = y², y(0) = 1. (d) y′ = 3
Laske myös tarkka ratkaisu Maplella ja piirrä se ja iteraatiojonon funktioita. (Jos tuntuu liian pitkältä, niin jätä yksi pois, hyvä olis saada kaikki yhteisesti katetuksi (vaikka parityöskentelyssä sopimalla).
Vihje: Malli: Aputiedostossa mplD010apu.zip on L4Picard.mw,L4Picard.pdf,L4exa2.mw, L4exa2.pdf, kts. myös [HAM] ss. 162–165 (dsolve)ja s. 126 Picard–Lindelöf
Avainsanat: diﬀyhtälöt, Picard-Lindelöf-menetelmä, Picardin iteraatio, mplDiﬀerentiaali(yhtälöt)
Viitteet: [HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.

Tehtava
Aputiedostot
14.
mplD011.tex
- Sovella Picardin iteraatiota (tuttuakin tutumpaan) (AA)-tehtävään
  y′ = y, y(0) = 1. Osoita, että iteraatiojono lähestyy ratkaisufunktiota y(x) = e^x .
- (Olkoon vaihteeksi x(t) .)
  Olkoon alkuarvotehtävänä edelleen x′ = x, x(0) = 1.
  Osoita, että jos lasketaan likiarvo x_n = x_h(t_n) EM:llä pisteessä t = t_n käyttäen askelpituutta h, niin x_h(t_n) = c(h)^t_n, missä c(h) = (1 + h)^1∕h.
  Osoita tämän nojalla, että kiinteällä t = t_n pätee lim _h→0x_h(t) = e^t.
Vihje: Tehtävässä tuskin tarvitaan ohjelmistoja.
EM = Eulerin menetelmä
Tehtava
15.
mplD012.tex
Seuraava toistokäsky soveltaa Eulerin menetelmää alkuarvotehtävän y′ = sin(xy), y(0) = 1 ratkaisun likiarvon y(1) laskemiseen. Kokeile käskyjä askelpituuksilla h = 0.25,h = 0.1,h = 0.01 ja h = 10⁻⁴. Mikä menee pieleen viimeisessä kohdassa?
f:=(x,y)-> sin(x*y);
Digits:= 4;
n:= 4;
h:=1/n;
y[0] := 1;
for k from 0 to n-1 do # (paina tässä kohti Shift+Enter)
y[k+1]:= evalf(y[k]+h*f(k*h,y[k])) # (samoin)
end do;

Piirrä Eulerin murtoviivat eri väreillä samaan koordinaatistoon. Vihje: Datan piirto sujuu nykyisin “Matlab-tyylisesti”:

> xlista:=[seq(j*h,j=0..n)];
> ylista:=[seq(y[j],j=0..n)]
> plot(xlista,ylista)

[HAM]-viitteessä ss. 94-96 esitetyt tavat pisteparien listana toimivat myös, mutta s. 96 zip-temppu ei ole enää tarpeen. Viitteet: [HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.

Tehtava
16.
mplD013.tex
Ratkaise alkuarvotehtävä $′′ ′ −x ′ y + 3y + 3y = 1 − e ,y(0) = 2,y (0) = 0,$
ja piirrä ratkaisun kuvaaja välillä 0 ≤ x ≤ 10. Vihje: Diﬀyhtälön saat ratkaistua komennolla dsolve. Yhtälössä esiintyvät derivaatat voit ilmoittaa komennolla diff, ja derivaatan pisteessa 0 voit ilmaista derivaattaoperaattorilla D(y)(0).

Tehtava
17.
mplD014.tex Maple,Matlab
- Ratkaise alkuarvotehtävä $′ y − y = cosx, y(0) = 1$
  analyyttisesti Maplella ja numeerisesti Matlabilla. Piirrä ratkaisukäyrä.
- Anna alkuarvoksi symboli c ja piirrä ratkaisukäyräparvi sopivalla välillä, kun c = −0.9,−0.8,…, 0.
  
  Miltä parvi näyttää suurilla x :n arvoilla. Tässä pitäisi erottua kolmenlaista käytöstä.
Vihje: Maple: dsolve, Matlab: ode45
Avainsanat: Diﬀerentiaaliyhtälö, alkuarvotehtävä, analyyttinen ratkaisu, numeerinen ratkaisu.
Viitteet:
Coombes et al: Diﬀerential equations with Maple, Wiley
Boyce - DiPrima’s: Elementary Diﬀerential Equations and Boundary Value Problems,Wiley
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
18.
mplD015.tex Maple,Matlab
Tarkastellaan (AA)-tehtävää $2 y′ = ---3t----, y(1) = 0. (3y2 − 4 )$
(a) Laske EM:llä ratkaisuapproksimaatiot pisteissä t = 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 käyttäen askelta h = 0.1 .
(b) Tee sama askeleella h = 0.05 .
(c) Vertaa tuloksia.
(d) Piirrä suuntakenttä ja ratkaisuapproksimaatioita, sekä EM-ratkaisuja. Osaatko selittää, miksi EM toimii kohtuullisesti alussa, mutta kelvottomasti lopussa?
Vihje: Eulerin menetelmää voi tässä käyttää ohjelman (MMM) laskintyylillä, kuten edellä tai sitten oikeaksi funktioksi koodatulla versiolla, annetaan tässä nuo koodit.
Eulerin menetelmän koodit (sisältyvät myös apupakettiin *apu.zip):
Maple: [HAM s. 206] (copy/paste → Maple-istuntoon)

Euler:=proc(f,a,b,ya,m)
local n,h,t,y;
h:=evalf((b-a)/m);
t[0]:=a;y[0]:=ya;
for n from 0 to m do
y[n+1]:=y[n]+h*f(t[n],y[n]);
t[n+1]:=t[n]+h;
end do;
seq([t[n],y[n]],n=0..m);
end:

Esim: y′ = t − y²

f:=(t,y)->t-y^2;
e3:=Euler(f,0,5,1,3);
plot([e3]);

Matlab: (Kts. vastaava Matlab-teht.)

Avainsanat: Diﬀerentiaaliyhtälö, alkuarvotehtävä, analyyttinen ratkaisu, numeerinen ratkaisu.
Viitteet:
[KRE] E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, Wiley
[HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.

Tehtava
19.
mplD016.tex (vrt. Matlab: mlD007.tex)
Tarkastellaan (AA)-tehtävää $√ -------- y′ = 2--y-−-lnt-+ 1-, y(1) = 0 t t$ välillä t ∈ [1, 1.8] Ratkaise tehtävä
- Eulerin menetelmällä askelpituudella h = 0.1,
- Heunin menetelmällä askelpituudella h = 0.2,
- RK4- menetelmällä askelpituudella h = 0.4.
Määritä tarkka ratkaisu Maple:n dsolve-komennolla ja laske sen avulla virheet, piirrä ja taulukoi kussakin tapauksessa.
Huomaa, että näillä askelpituuksien valinnoilla funktion arvojen laskentamäärät ovat samat.
Vihje: Eulerin menetelmän koodit (sisältyvät myös apupakettiin mplD016apu.zip):
Maple: [HAM s. 206] (copy/paste → Maple-istuntoon)

Euler:=proc(f,a,b,ya,m)
local n,h,t,y;
h:=evalf((b-a)/m);
t[0]:=a;y[0]:=ya;
for n from 0 to m do
y[n+1]:=y[n]+h*f(t[n],y[n]);
t[n+1]:=t[n]+h;
end do;
seq([t[n],y[n]],n=0..m);
end:

Esim: y′ = t − y²

f:=(t,y)->t-y^2;
e3:=Euler(f,0,5,1,3);
plot([e3]);

Laitetaan myös Heun ja RK4
Matlab: (Kts. vastaava Matlab-teht.)

Huom: Tästä voi kehitellä monenlaisia tehtävävariaatioita, myös ilman numeeristen menetelmien korostusta.
Avainsanat: Diﬀerentiaaliyhtälö, alkuarvotehtävä, analyyttinen ratkaisu, numeerinen ratkaisu.
Viitteet:
[KRE] E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, Wiley
[HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.
Tehtava
20.
mplD017.tex, mlD007.tex
Huomasimme, että eksponentiaalinen kasvumalli, ns. Malthus’n laki y′ = ky ei toimi USA:n väestödataan pitkällä aikavälillä. Mallia voidaan tarkentaa lisäämällä sopiva kasvua rajoittava termi, tällöin johdutaan ns. logistiseen kasvulakiin:
y′ = ay − by²
USA:n väestödataan liityen Verhulst arvioi v. 1845 arvot a = 0.03 ja b = 1.610⁻⁴, kun t mitataan vuosissa ja väkiluku y(t) miljoonissa.
Opettajalle: Tehtävä voidaan käsitellä ehkä luontavamminkin kokonaan erillisenä numeeristen diﬀyhtälöratkaisujen opetuksesta. Tällöin otetaan vain alla olevat kohdat (c) ja/tai (d).
(a) Ratkaise tehtävä (y(0) = 5.3) Eulerin menetelmällä käyttämllä askelpituussa h = 10
(b) rk4:llä käyttäen n. nelinkertaista askelta (voit kokeilla pienempiäkin)
(c) Matlabin ode45:llä.
(d) Laske analyyttinen ratkaisu Maplella (kyseessähän on Bernoullin yhtälö.
Piirrä kuvia ja laske kaikissa tapauksessa ratkaisujen arvot annetuissa taulukkopisteissä. (ode45-tapauksessa onnistuu ainakin sovittamalla dataan splini funktiolla spline, joka on maailman helppokäyttöisin.)
kts. http://www.math.hut.fi/teaching/v/matlab/opas.html#splinit
(Nykyään (2012) ei tarvita erillistä splinisovitusta, laskentapisteet voidaan antaa suoraan ode45-funktiolle syötteenä.) Vihje:

function [T,Y]=eulerS(f,Tspan,ya,n)
% Tämä vain kehittely- ja opettelutarkoituksessa.
% Funktio eulerV hoitaa niin skalaari- kuin vektoriversion.
%  (24.2.04, modifioitu 21.8.2010)
% Esim: y’=t+y, y(0)=1
%       f=@(t,y)t+y
%       [T,Y]=eulerS(f,[0 4],1,6), plot(T,Y,T,Y,’.r’);shg
a=Tspan(1);b=Tspan(2);
h=(b-a)/n;
Y=zeros(n+1,1);T=(a:h:b)’; %Pystyvektorit yhdenmukaisesti ode45:n
Y(1)=ya;                   %  kanssa
for j=1:n
   Y(j+1)=Y(j)+h*f(T(j),Y(j));
end;

Viitteitä:
http://math.aalto.fi/opetus/kp3-ii/06/L/L14dynumkalvot.pdf
http://www.math.hut.fi/˜apiola/matlab/opas/lyhyt/esim/eulerS.m
(Listaus yllä)

Tehtava
21.
mplD018.tex, mlD008.tex
Tarkastellaan yhtälöä y′ = −2α(t − 1)y. Ratkaise aluksi analyyttisesti (saat käyttää Mapleakin.)
Totea kuvasta ja derivaattaehdosta yhtälön stabiilisuus/epästabiilisuusalueet. Ota kuvassa ja aina tarvittaessa vaikkapa α = 5.
Ratkaise yhtälö sekä Eulerilla että BE:llä. Sopivia arvoja voisivat olla vaikkapa h = 0.2, väli: [1, 4.5], y(1) = 1.
Vertaa kokeellisesti stabiilisuukäyttäytymistä teorian ennustamaan ja pane merkille, miten epästabiilisuus käytännössä ilmenee.
Tämä tehtävä soveltuu erityisen hyvin Maplella tehtäväksi, se on pitkälle ideoitu [HAM] sivulla 124, myös Euler ja BE ovat valmiina. (Koodit saa kurssin maple-hakemistosta.) ** Tulee aputiedostoon **
** apu puuttuu, editoi viitteet! ** Vihje:

Viitteitä:
http://math.aalto.fi/opetus/kp3-ii/06/L/L14dynumkalvot.pdf
http://www.math.hut.fi/˜apiola/matlab/opas/lyhyt/esim/eulerS.m
(Listaus yllä)

Tehtava
22.
mplD019.tex [mplP017.tex]
Opiskelija ottaa lainaa 10000 euroa hetkellä k = 0 ja ryhtyy maksamaan sitä takaisin kuukauden päästä hetkellä k = 1. Kuukausikorko on 1% (huh!) ja takaisinmaksu tapahtuu kiintein maksuerin 450 EUR/kk
Olkoon y_k k:n kuukauden kuluttua jäljellä olevan velan määrä. Kirjoita diﬀerenssiyhtälö y_k:lle.
Muodosta taulukko ja graaﬁnen esitys, jossa on pisteet (k,y_k), ja selvitä sen perusteella, miten kauan velan maksu kestää ja miten paljon rahaa opiskelijaparka käyttää koko projektiin.
Luokittelu: Diﬀerenssi- ja diﬀerentiaaliyhtalot, Maple-perusteet.
Vihje:

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
23.
Seuraava toistokäsky soveltaa Eulerin menetelmää alkuarvotehtävän y′ = sin(xy), y(0) = 1 ratkaisun likiarvon y(1) laskemiseen. Kokeile käskyjä askelpituuksilla h = 0.25,h = 0.1,h = 0.01 ja h = 10⁻⁴. Mikä menee pieleen viimeisessä kohdassa?
f:=(x,y)-> sin(x*y);
Digits:= 4;
n:= 4;
h:=1/n;
y[0] = 1;
for k from 0 to n-1 do (paina tässä kohti Shift+Enter)
y[k+1]:= y[k]+h*f(k*h,y[k]) (samoin)
od;

Vihje:

Tehtava
24.
Ratkaise alkuarvotehtävä $′′ ′ −x ′ y + 3y + 3y = 1 − e ,y(0) = 2,y (0) = 0,$
ja piirrä ratkaisun kuvaaja välillä 0 ≤ x ≤ 10. Vihje: Diﬀyhtälön saat ratkaistua komennolla dsolve. Yhtälössä esiintyvät derivaatat voit ilmoittaa komennolla diff, ja derivaatan pisteessa 0 voit ilmaista derivaattaoperaattorilla D(y)(0).

Tehtava
25.
Ratkaise diﬀerentiaaliyhtälöryhmä $(| dx= − σx + ρy |||| ddty { dt = σx − y − xz || dz= − βz + xy |||( dt$
numeerisesti välillä [0, 20], kun σ = 10,ρ = 28 ja β = 8∕3. Piirrä ratkaisukäyrät samaan kuvaan, ja piirrä käyrät x(t) ja z(t) parametrisesti. Tämän jälkeen piirrä 3-ulotteinen parametrisoitu käyrä kaikista koordinaateista.
Onko ratkaisu rajoitettu? Suppeneeko se kohti jotain arvoa?
Kokeile muuttaa alkuarvoja, sekä parametrien arvoja. Vallitsevan teorian mukaan systeemi on kaoottinen dynaaminen systeemi, jonka käyttäytyminen voi muuttua merkitsevästi jo pienistä muutoksista lähtötilanteessa; itse asiassa termi perhosvaikutus keksittiin kuvaamaan juuri tämän systeemin käytöstä. Vihje: Kolmiulotteinen parametrisoitu käyrä (tai pistejoukko) piirretään MATLABissa funktiolla plot3.

Tehtava
PDF ratkaisusta
26.
Maple,Matlab (H2T10)
- Ratkaise alkuarvotehtävä $′ y − y = cosx, y(0) = 1$
  analyyttisesti Maplella ja numeerisesti Matlabilla. Piirrä ratkaisukäyrä.
- Anna alkuarvoksi symboli c ja piirrä ratkaisukäyräparvi sopivalla välillä, kun c = −0.9,−0.8,…, 0.
  
  Miltä parvi näyttää suurilla x :n arvoilla. Tässä pitäisi erottua kolmenlaista käytöstä.
Vihje: Maple: dsolve, Matlab: ode45
Avainsanat: Diﬀerentiaaliyhtälö, alkuarvotehtävä, analyyttinen ratkaisu, numeerinen ratkaisu.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
27.
Kirjoita heiluriyhtälö Θ′′ + sin(Θ) = 0 ensimmäisen kertaluvun systeemiksi, tai toisen kertaluvun diﬀerentiaaliyhtälöksi. Voit ottaa g∕L = 1.
Laske ratkaisu sopivalla aikavälillä (esim. ) ja kolmella erilaisella alkuarvolla, joilla saat erityyppiset ratkaisut.
Piirrä ratkaisukäyrät aikatasoon ja trajektorit faasitasoon.

Tehtava
28.
Ratkaise RA-tehtävä $y′′ = y2 − 1, y (0 ) = 0, y(1) = 1.$ Maplella. Yritä ensin analyyttista. Jos/kun mitään ei palaudu, voit asettaa esim infolevel[dsolve]:=3:. Näet ainakin, mitä Maple yrittää.
Siirry sitten tyyppiin numeric, homma sujuu ongelmitta.

Muutaman kokeilun jälkeen huomasin, ettei sujukaan. Numeerisen ratkaisun määritteleminen parametrista riippuvaksi funkioksi on aikamoista temppuilua, tällaisella kurssilla ei kannata siihen paneutua, koska Matlab-ratkaisu on hyvin selkeä ja ongelmaton.
Muutetaan tehtävä helpommaksi:
Suorita Maplella suoraan reuna-arvotehtävän ratkaisu (luultavasti Maple laskee sen diﬀeressimenetelmällä). Syntaksi on aivan sama kuin alkuarvotehtävälle, nyt vain annetaan pelkät reunaehdot.
Helpin esimerkkien avulla pääset kiinni ratkaisufunktioon.

Tehtava
Ratkaisu
29.
- Osoita, että funktio arctan toteuttaa Laplacen osittaisdiﬀerentiaaliyhtälön
  
  $2 2 ∂--u + ∂-u-= 0. ∂x2 ∂y2$
  (Tällaisia funktioita sanotaan harmonisiksi funktioiksi.)
- Oletetaan, että funktioilla u(x,y) ja v(x,y) on jatkuvat toiset osittaisderivaatat ja ne toteuttavat ns. Cauchy-Riemannin yhtälöt:
  
  $∂u- ∂v- ∂v- ∂u- ∂x = ∂y , ∂x = − ∂y$
  Osoita, että u ja v ovat harmonisia.
- Olkoon f(x,y) = x³y² +x⁴ sin y +cos(xy). Laske osittaisderivaatat f_xxy, f_xyx, f_yxx ja totea, että ne ovat samat.
Tehtava
Ratkaisu

Työkaluja

Tehtävät pdf-muodossa