Mat-1.3656 Numeerisen
analyysin ja laskennallisen tieteen seminaari.
Ma 3.12. 2007 klo 14.15
Jukka Tuomela, Joensuun Yliopisto
Osittaisdifyhtälöitten
muodollinen teoria ja numeerinen analyysi
Osittaisdifyhtälöitten teoria on jakaantunut moneen
osa-alueeseen: elliptiset, paraboliset ja hyperboliset systeemit,
säilymislait ym. Lisäksi tietyt yhtälösysteemit,
kuten Navier-Stokes, ovat sinänsä jo iso
tutkimusalue.Tätä taustaa vasten tuntuu siis toivottomalta
sanoa mitään järkevää "yleisistä"
odysysteemeistä. Vaikutelma on kuitenkin väärä!
Paradoksin ratkaisu on siinä, että nykyisin odyteoria
keskittyy nimenomaan funktionaalianalyysiin: pyritään
todistamaan ratkaisun olemassaolo tietyssä Banach-avaruudessa (tai
jossain yleisemmässä vektoriavaruudessa). Kuitenkin on
selvää, ettei vektoriavaruus ole oikea rakenne tutkia
epälineaarisia tehtäviä: viime kädessä
tästä johtuu että olemassaolotodistukset ovat teknisesti
erittäin vaikeita, ja onhan Navier-Stokes yhtälöitten
ratkaisu edelleen selvittämättä, yli sadan vuoden
työn jälkeen.
Odysysteemejä voidaan myös tarkastella toisesta
näkökulmasta. Tämän teorian juuret ovat klassisissa
töissä: Riquier, Janet, Elie Cartan... Moderni teoria on
peräisin 50- ja 60-luvulta, ja Spencer kutsui tätä
teoriaa odyjen muodolliseksi teoriaksi. Sana muodollinen viittaa
siihen, että tässä lähestymistavassa saadaan vain
hyvin heikko olemassaolotulos: muodollinen potenssisarja. Kuitenkin
tämä lähestymistapa, vaikka onkin toisaalta hyvin
abstrakti, antaa käytännön työkaluja analysoida
yleisten odyjen rakennetta. Toisin sanoen on hyödyllistä
analysoida annetun systeemin algebrallisia ja geometrisia ominaisuuksia
riippumatta siitä johtaako tämä suoraan
olemassaolotodistukseen perinteisessä funktionaalianalyysin
mielessä.
Kerron ensin hieman taustatietoja muodollisesta teoriasta, ja
tarkastelen sitten miten tätä lähestymistapaa voidaan
hyödyntää numeerisessa laskennassa. Erityisesti
katsotaan erästä virtausongelmaa, jossa varatut hiukkaset
liikkuvat nesteessä. Muodollisen teorian avulla tehtävä
voidaan muotoilla uudella tavalla mikä puolestaan johtaa
uudenlaiseen tehtävään myös numeriikan kannalta.
Numeeriset testit osoittavat, että saadut tulokset ovat
huomattavasti parempia kuin perinteisillä menetelmillä.
Huomattakoon, että perinteisen koodin muokkaaminen uuteen
tilanteeseen ei vaatinut hirveästi työtä.
Yleisesti ottaen näyttää siltä, että suuri osa
käytännön laskennassa esiintyvistä
epälineaarisista malleista on sellaisia, ettei ratkaisun
olemassaoloa ole todistettu. Muodollinen teoria ei tietenkään
tee tarpeettomaksi tällaisen todistuksen etsintää, mutta
se voi tarjota muuten hyödyllistä tietoa systeemin
rakenteesta ja ominaisuuksista.