Numeerisen analyysin ja laskennallisen
tieteen seminaari
21.2.2005 klo
14.15
U322
Mika Juntunen, Matematiikan
laitos
Kontaktiongelman
ratkaiseminen elementtimenetelmällä
Työn lähtökohtana on kontaktiongelman esitys
reuna-arvotehtävänä. Variaatioepäyhtälöt
näytetään ekvivalentiksi esitykseksi kontaktiongelmalle
ja variaatioesitykselle näytetään ratkaisun olemassaolo
ja yksikäsitteisyys Lionsin ja Stampacchian lauseen avulla.
Kontaktiongelman numeerista ratkaisua haetaan
elementtimenetelmällä. Variaatioesitys ei suoraan sovellu
elementtimenetelmän lähtökohdaksi, joten
reuna-arvotehtävälle johdetaan variaatioesitys
sakkomenetelmällä ja Nitschen menetelmällä.
Menetelmien ideana on siirtää kontaktin aiheuttamat
rajoitukset ratkaisujoukosta variaatioyhtälöön.
Molemmat menetelmät osoitetaan elliptisiksi sopivilla oletuksilla,
mutta vain Nitschen menetelmä osoittautuu konsistentiksi
alkuperäisen alkuarvotehtävän kanssa.
Nitschen menetelmälle ja sakkomenetelmälle johdetaan
sekä a priori että a posteriori virhearviot.
Sakkomenetelmän sakkoparametrille näytetään ehto
joka antaa parhaan a priori virhearvion kun ratkaisun sileys tunnetaan.
Nitschen menetelmän a posteriori virhearvion johdossa
käytetään saturaatio-oletusta, jonka avulla voidaan a
posteriori virhearvion johdossa luopua Clément'n
interpolanteista koska interpolantteja tarvitaan vain diskreettien
ratkaisujen välille.
Menetelmien ominaisuuksia ja virhearvioiden tarkkuutta testataan
numeerisilla esimerkeillä. A priori virhearviota tarkastellaan
laskemalla tarkkaa virhettä verkkoparametrin funktiona ja a
posteriori virhearviota testataan tihentämällä verkkoa
adaptiivisesti virhearvion perusteella.