Näin jatkaen saadaan: An=QDD...DQ -1 = QDnQ-1.
b)
> with(linalg):
> A:=matrix(3,3,[0,3,-2,2,1,-2,-3,3,1]);
[ 0 3 -2]
[ ]
A := [ 2 1 -2]
[ ]
[-3 3 1]
> eigenvects(A);
[-2, 1, {[1, 0, 1]}], [3, 1, {[1, 1, 0]}], [1, 1, {[1, 1, 1]}]
Tämä tarkoittaa: Ominaisarvot: -2,3,1 ja niiden alg. kertaluvut 1,1,1 ja
sitten näkyvät ominaisvektorit.
Koska alg. kertaluvut ovat =1, niin geom. kertaluvut ovat myös =1
(jäävät 1:den ja 1:den väliin). Siitä seuraa diagonalisoituvuus.
(Tietysti yhtä hyvin suoraan siitä, että ominaisarvot ovat eri suuret
ja eri ominaisarvoihin liittyvät om. vektorit ovat lin. riippumattomia.)
*** alla ominaisarvot "käsinlaskutekniikalla" ***
Seuraava on kätevä tapa poimia ominaisvektorit hiirellä vaakariveiksi,
jolloin tarvitaan transponointi.
> Q:=transpose(matrix([[1, 0, 1],[1, 1, 0],[1, 1, 1]]));
[1 1 1]
[ ]
Q := [0 1 1]
[ ]
[1 0 1]
> QI:=inverse(Q);
[ 1 -1 0]
[ ]
QI := [ 1 0 -1]
[ ]
[-1 1 1]
Tarkistus:
> evalm(A),evalm(Q&*diag(-2,3,1)&*QI);
[ 0 3 -2] [ 0 3 -2]
[ ] [ ]
[ 2 1 -2], [ 2 1 -2]
[ ] [ ]
[-3 3 1] [-3 3 1]
Samathan nuo ovat.
a)-kohdan mukaan: A6=Q D6 Q-1
> D6:=diag((-2)^6,3^6,1^6);
[64 0 0]
[ ]
D6 := [ 0 729 0]
[ ]
[ 0 0 1]
> evalm(Q&*D6&*QI);
[792 -63 -728]
[ ]
[728 1 -728]
[ ]
[ 63 -63 1]
Tarkistus (raakaa voimaa käyttäen):
> evalm(A&^6);
[792 -63 -728]
[ ]
[728 1 -728]
[ ]
[ 63 -63 1]
**Näin siis ominaisarvot "käsin":
> charmA:=evalm(A-lambda*diag(1,1,1));
[-lambda 3 -2 ]
[ ]
charmA := [ 2 1 - lambda -2 ]
[ ]
[ -3 3 1 - lambda]
> p:=det(charmA);
2 3
p := 5 lambda + 2 lambda - lambda - 6
> lam:=solve(p,lambda);
lam := 1, 3, -2
> charm1:=subs(lamda=1,op(charmA));
[-lambda 3 -2 ]
[ ]
charm1 := [ 2 1 - lambda -2 ]
[ ]
[ -3 3 1 - lambda]
> charm2:=subs(lambda=3,op(charmA));
[-3 3 -2]
[ ]
charm2 := [ 2 -2 -2]
[ ]
[-3 3 -2]
> charm3:=subs(lambda=-2,op(charmA));
[ 2 3 -2]
[ ]
charm3 := [ 2 3 -2]
[ ]
[-3 3 3]
Tässä leikitään eleganttia: suoritetaan Gauss kolmelle matriisille
samanaikaisesti:
> map(gausselim,[charm1,charm2,charm3]);
[-1 3 -2] [-3 3 -2 ] [2 3 -2]
[ ] [ ] [ ]
[[ 0 6 -6], [ 0 0 -10/3], [0 15/2 0]]
[ ] [ ] [ ]
[ 0 0 0] [ 0 0 0 ] [0 0 0]
Tästäpä luetaan ominaisvektorit:
[1, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 1]