http://www.math.hut.fi/teaching/v/matlab/opas/osa2.html      Päivitetty 14.9.01

Osa 2. Matriisityöskentelyä

3. Matlab työskentely-ympäristö

Ennen vakavamieliseen toimintaan ryhtymistä on syytä omaksua kestävällä pohjalla oleva työskentelytapa. Toki uudistuvissa versioissa tulee uudenlaisia käyttöliittymäpiirteitä, joita emme tarkemmin käy esittelemään.

Otamme esille kestävän kehityksen periaatteet, jotka toimivat luotettavasti kaikissa ympäristöissä ja versioissa. (Tulevaisuudesta emme voi mennä takuuseen, versio 6 edustaa nykyhetkeä.)

3.1 Työn dokumentointi, komentotiedosto, diary

Kuten jo edellä esitimme, Matlab työskentely kannattaa tehdä pitämällä editori-ikkunaa erikseen auki. Unix:ssa luonnollinen on Emacs (mutta mikä tahansa tekstieditori yhtä hyvin). Windows-Matlabissa on oma tekstieditori, joka aukeaa Matlab- ikkunan File-valikosta. (Tietysti siinäkin voi käyttää vaikkapa notepadia, mutta miksi?)

Työtapa 1

  1. Kirjoitetaan komentoja editori-ikkunassa tiedostoon komennot.m ja talletetaan. (Kommentit %-merkin taakse.)
  2. Huolehditaan, että komennot.m on Matlabpolun varrella.
  3. Kirjoitetaan Matlab-komentoikkunassa >> komennot .
  4. Iteroidaan.

Työtapa 2

Avataan (Matlabin file-valikosta tai jollain muulla tekstieditorilla) tiedosto vaikkapa doku.html, johon kirjoitetaan dokumenttia. Käytetään leikkaus/liimaustekniikkaa dokumentin ja komentoikkunan välillä. (Html-tiedostossa Matlab-komennot kannattaa sijoittaa < pre> </pre >- tägien väliin. ) Muista, että Unix:n X-liittymässä on erityisen kätevää: maalataan hiiren vasemmalla, liimataan keskimmäisellä.

Työtapa 3 

 >> diary doku   % Avataan tiedosto doku
 >> A=eye(10)    % Matlab-komennot ja tulosteet kirjoittuvat
 >> mesh(A)      %  doku-tiedostoon
 >> diary        % Suljetaan tiedosto
 >> type doku    % Katsotaan, tuliko mitään
Jos halutaan antaa nimeksi vaikkapa doku.txt , on komennettava >> diary 'doku.txt', type 'doku.txt'

Editoidaan doku.txt-tiedostosta turhat tulosteet, virheilmoitukset ym. pois ja lisätään kommentteja, selostusta ym.

Kaikki ovat ihan käyttökelpoisia työtapoja. Viimemainittussa tulee muistaa antaa diary-komento ajoissa. Tosin Matlab-ikkunaa voi vierittää taaksepäin ja komentoja selata nuoli ylös-näpäimella, joten armonaikaa jää jonkinverran.

Varoitus: Älä luota save-komentoon

Monissa Matlab-oppaissa mainostetaan save-komentoa. Siitä ei ole dokumentin tallettamisen kannalta mitään hyötyä. Se mahdollistaa muuttujien tallettamisen levylle, mistä harvoin on hyötyä, paitsi jatketteassa laskentaa jollain muulla ohjelmalla. Tärkeämpää on yleensä tallettaa komennot, joilla muuttujat luotiin.

Tämä ei tarkoita, että komennot save ja load olisivat tekijän mielestä hyödyttömiä. Päinvastoin, datan siirtäminen eri ohjelmien välillä saattaa olla monessa tilanteessa todella välttämätöntä.

Komennot save ja load

Pelkkä save tallettaa kaikki muuttujat tiedostoon matlab.mat, josta ne saadaan palautetuksi komennolla load.

>> save 'tiedosto.txt' x y z -ascii tallettaa muuttujat x,y,z mainittuun tiedostoon ascii-tekstinä.
Vastaavasti load 'tiedosto.txt' lataa ne työtilaan levyltä.

Kts. vanhaa L1.html ***

-> Sisällysluetteloon <-

3.2. Polun asettaminen, alustustoimet

Matlab-istunnossa voi antaa joitakin Unix-komentoja sellaisenaan, kuten pwd, cd, dir (dir ei ole Unix-komento, mutta tavallinen alias). Matlab löytää .m-tiedostoja matlabpath:n varrelta. Kätevintä on antaa komentoja 
>> addpath /p/edu/mat-1.414/matlab/
>> addpath /p/edu/mat-1.414/matlab/laode/
Nämä ovat tarpeen V-peruskursseilla, tällöin Matlab-kurssihakemistoon sijoitetut m-tiedostot ovat suoraan käytettävissä.

Jotta näitä ei aina tarvitse toistaa kannattaa kirjoittaa ne oman kotihakemiston alla olevaan matlab-hakemiston tiedostoon

startup.m

Tämä tapahtuu Unix-komennoilla 

(Ollaan käyttöjärjestelmäikkunassa.)
> cd            % Kotihakemistoon
> mkdir matlab  % Luodaan matlab-hakemisto (ellei ole jo)
> emacs matlab/startup.m &
  %Kirjoitetaan editoriin ainakin rivit (jos ollaan V3-kurssilla):
  addpath /p/edu/mat-1.414/matlab/
  addpath /p/edu/mat-1.414/matlab/laode/
Tehtävä: Tee tämä ja heti!

-> Sisällysluetteloon <-

4. Matriisi- ja taulukko-operaatiot

Matlab on matriisikieli, siksi perusaritmeettiset operaatiomerkit on varattu matriisialgebralle. Yhteen- ja vähennyslaskun suhteen ei synny erimielisyyttä, laskenta suoritetaan vastinalkioittain (mikäli matriisit ovat samankokoiset, muussa tapauksessa saadaan virheilmoitus).

Kertolasku (*) on nimenomaan matriisikertolasku. Jos halutaan laskea kahden samankokoisen matriisin (vektorin) tulo vastinalkioittain (pisteittäin), kirjoitetaan kertomerkin eteen pite (.).

Jakolasku A\B tai A/B tarkoittaa matriisioperaationa yhtälöryhmän ratkaisemista ja taulukko-operaationa (A./B) yksinkertaisesti vastinalkioittain tapahtuvaa jakoa. (Taulukkotapauksessa A.\B on sama kuin A./B) .

Potenssiin korotus A^p tarkoittaa matriisioperaationa tuloa A*A*...*A ja edellyttää siten, että A on neliömatriisi. Taulukko-operaatio A.^B tarkoittaa vastinalkioittain muodostettuja potensseja ja edellyttää samankokoisia matriiseja (joista toinen voi olla skalaari). Kokoamme taulukkoon:

Matlabin laskutoimitukset

Laskutoimitus Matriisioperaatio Taulukko-operaatio
Yhteenlasku + +
Vähnnyslasku - -
Kertolasku * .*
Vasemmalta jako \ .\
Oikealta jako / ./
Potenssi ^ .^

-> Sisällysluetteloon <-

Oikeanpuoleiset taulukko-operaatiot suoritetaan siis aina vastinalkioittain ja ne edellyttävät, että operandimatriisit ovat samankokoiset. Jos toinen operandi on skalaari (1 x 1 - matriisi), niin tätä samaa skalaaria käytetään operandina jokaisessa laskutoimituksessa. (Taulukko-operaatioiden kohdalla voidaan ajatella, että Matlab laajentaa skalaarin samankokoiseksi vakiomatriisiksi toisen operandin kanssa.)

Vasemman sarakkeen matriisioperaatiot edellyttävät, että operandit ovat oikean kokoisia kyseiseen toimitukseen. Tässäkin tapauksessa skalaarilla operoiminen onnistuu aina. On syytä huomata, että potenssiin korotuksessa ja jakolaskussa matriisi- ja taulukko-operaatiot eivät ole samoja, vaikka toinen argumentti olisi skalaari. Kertolaskussa sensijaan skalaarin ja matriisin tulo on sama kuin pisteittäinen tulo.

Matriisijakolaskut
Katsotaan tarkemmin operaatioita A\B ja A/B . Nämä ovat erityisen vahvoja toimituksia. Jos kirjoitamme 
>> x=A\b
saamme lineaarisen yhtälösysteemin A*x = b ratkaisuvektorin x . Kyseessä on neliömatriisin A tapauksessa sama asia kuin laskussa 
>> x=inv(A)*b
Tosin käänteismatriisilla kertominen on numeerisen laskennan tehokkuuden ja tarkkuuden kannalta epäedullisempaa.

Tässä b:n on oltava A:n sarakkeen pituinen sarakevektori tai matriisi, jossa tällaisia sarakevektoreita on ladottuna vierekkäin.

Muistisäänöt:

Jotta ei jäisi vaivaamaan, x= b / A tarkoittaa yhtälösysteemin x*A = b ratkaisemista. (Siinäkin jaetaan matriisilla A, joka jälleen on jakoviivan alapuolella.)

Mainittakoon vielä, että matriisijakolaskussa A:n ei tarvitse olla neliömatriisi. Ellei se ole, ratkaisu suoritetaan PNS-mielessä. (Palataan lähemmin.)

Matriisi- ja taulukko-operaatioesimerkkejä

Kun muodostetaan Matlab-lausekkeita, jotka edustavat yhden muuttujan funktioita, on muuttujana x usein pitkä vektori, jonka voidaan ajatella edustavan "diskretoitua x-akselia".

Toisin kuin Maplessa, Matlabissa ei voida käsitellä "vapaita" muuttujia.Jos käytetään lisäpakkausta "symbolic toolbox", voidaan suorittaa myös symbolisia operaatioita, mutta tässä käsittelemme vain Matlabin perusajatusmaailmaa. 

>> x=[-2,-1,0,3,5]  
>> x2=x.^2              % x-vektorin 2. potenssit.
>> x^2                  % Matriisipotenssi on tuomittu epäonnistumaan.
>> x.*exp(x)            % exp toimii "pisteittäin", kerrotaan exp-arvot
                        % pisteittäin x-arvoilla.
>> x=linspace(-1,2);    % 100-pituinen diskretoitu x-akselin pätkä.
>> plot(x,x.*exp(x))    % Yhdistetään kuvaajan 100-pistettä pikku janoilla.

Tee itsellesi selväksi pisteittäiset, vastinalkioittain toimivat operaatiot.

Matriisilausekkeita , vaikkapa matriisipolynomeja voidaan muodostaa, kunhan matriisit ovat kertomiskelpoisia, polynomin tapauksessa samankokoisia neliömatriiseja. Laskutoimitukset ovat silloin normaaleja, keskimmäisen sarakkeen pisteettömiä operaattorisymboleja, emmekä niitä siksi tässä yleisesittelyssä ryhdy esimerkein valaisemaan.

-> Sisällysluetteloon <-

4.2. Esimerkkejä operaatioista, vertailua Mapleen

Aivan kuten Maplessa, Matlabissa operoidaan lausekkeilla, joita muodostetaan muuttujasymbolien, laskutoimitusoperaattoreiden ja funktiokutsujen yhdistelminä.
Matlab- ja Maple-sijoituslauseiden syntaksi
Matlab  Maple 
>> muuttuja=lauseke 
Loppumerkki ei pakollinen (;) estää tulostuksen 		 > muuttuja:=lauseke; 
Loppumerkki (; tai :) pakollinen, kaksoispiste estää tulostuksen. 

Muuttujan nimissä erotellaan pienet ja isot kirjaimet, siten esimerkiksi x ja X edustavat eri muuttujaa. Tämä pätee niin Maplen kuin Matlabin suhteen. Tuttu englanninkielinen termi "case sensitive" pätee siten molempiin.

Kuten todettu, Matlabissa ei ole vapaita muuttujia, kuten Maplessa. Tämä yksinkertaistaa evaluointimekanismia merkittävästi. Jos evaluonnissa törmätään muuttujaan, jolla ei ole arvoa, saadaan virheilmoitus. (Maplen evaluointisääntöjä on käsitelty mm. viitteessä [HAM].)

Periaatteita
Matemaattisten lausekkeiden syntaksi on hyvin pitkälle sama molemmissa ohjelmissa, lukuunottamatta Matlabin pistealkuisia toimituksia.

Matemaattisten lausekkeiden käsittely on siten Maplessa mukavampaa ja luontevampaa (myös vapaiden muuttujien takia).

Toisaalta Maplessa on tiettyjä komplikaatioita matriisien käsittelyssä. Asia on paranemaan päin versiossa Maple 6 kehitetyn LinearAlgebra- pakkauksen ansiosta. Kuitenkin siirtymäkauden hankaluuksia esiintyy, koska nykyisellään on myös tarvetta vanhempaan linalg-syntaksiin.
Matlab on numeeristen matriisien käsittelyssä ylivertaisen yksinkertainen ja lisäksi tehokas Mapleen verrattuna. (Symbolisia matriiseja ei Matlabilla tietenkään voi käsitellä.)

Esimerkki "algebrallisesta" lausekkeesta 
x=linspace(-1,1);
y1=1+x;
y2=y1+(x.^2)/2;
y3=y2+(x.^3)/(1*2*3);
plot(x,y1,'b',x,y2,'r',x,y3,'g',x,exp(x),'k')
>> plot(x,y1,'b',x,y2,'r',x,y3,'g',x,exp(x),'k')
>> shg
>> grid

kuva3.gif

Tehtävä. Suorita Matlabissa yllä olevat komennot. Piirrä samaan kuvaan vielä astetta 5 oleva Taylorin polynomi jollain edellisistä erottuvalla värillä. Voit joko editoida komentoikkunassa yllä olevaa plot-komentoa tai lisätä yksittäisen kuvaajan komentamalla ennen piirtämistä hold on .

Esimerkki matriisilausekkeesta 

>> rand('state',0)
>> A=rand(2,2);
>> S1=eye(2,2)+A;
>> S2=S1+(A^2)/2;
>> S3=S2+(A^3)/(1*2*3);
>> S4=S3+(A^4)/(1*2*3*4);
>> [A,S1,S2,S3,S4,expm(A)]
ans =
  Columns 1 through 7 
    0.9501    0.6068    1.9501    0.6068    2.4716    1.0426    2.6704
    0.2311    0.4860    0.2311    1.4860    0.3971    1.6742    0.4642
  Columns 8 through 12 
    1.2187    2.7278    1.2702    2.7441    1.2849
    1.7383    0.4838    1.7562    0.4894    1.7613

Tulosta on syytä katsoa ajattelemalla sitä vierekkäisinä 2 x 2-matriiseina. Kirjoitetaan yleisemmin for-silmukalla, käytetään samalla uudempaa Matlabin tietorakennetta, solumatriisia, jossa kukin 2 x 2 - matriisi on alkiona "matriisivektorissa" P. (Solumatriisin käyttö ei olisi mitenkään välttämätöntä, sen hyöty tässä yhteydessä on lyhentää laskentakaavaa jakamalla toiminta kahteen for-silmukkaan. Saammepa samalla ensituntuman uuteen tietorakenteeseen (versiossa 5 tulleeseen). 


>> for k=1:20; P{k}=(A^k)/prod(1:k); end  % Tässä on kätevää käyttää 
                                          % solumatriisia P ("cell array")
>> S=eye(2,2);for k=1:20; S=S+P{k}; end  
>> [S,expm(A)]
ans =
    2.7441    1.2849    2.7441    1.2849
    0.4894    1.7613    0.4894    1.7613
>> format long               % Täysi tulostustarkkuus
>> [S,expm(A)]
ans =
   2.74410134440431   1.28494639715736   2.74410134440431   1.28494639715736
   0.48941951062196   1.76130317613298   0.48941951062196   1.76130317613298
>> format short             % Palataan alkuperäiseen tulostustarkkuuteen.

Huomaa ero x.^k, A^k. Lukija, joka tuntee matriisieksponenttifunktion, huomaa heti mistä on kyse. Sellaiselle lukijalle, joka ei ole tätä käsitettä kohdannut, esimerkki voi avata uusia huikeita näköaloja (?!)

-> Sisällysluetteloon <-

5. Vektorin ja matriisin osat ja kokoaminen

5.1. Vektorit ja kaksoispiste

Vektorin luominen

Kaksoispistenotaation olemme jo nähneet monessa paikassa. 

  a:b     % vektori: [a,a+1,...,b]
  a:h:b   % vektori: [a,a+h,...,b]
Viimeinen alkio voi jäädä b:tä vähän pienemmäksi, jos jako "ei mene tasan", mutta se on harvemmin tärkeää. Kts. myös help colon .

Esim: 

>> -5:6
ans =
    -5    -4    -3    -2    -1     0     1     2     3     4     5     6
>> -3.1:0.1:-2
ans =
  Columns 1 through 7 
   -3.1000   -3.0000   -2.9000   -2.8000   -2.7000   -2.6000   -2.5000
  Columns 8 through 12 
   -2.4000   -2.3000   -2.2000   -2.1000   -2.0000
>> 2:-0.5:-1
ans =
    2.0000    1.5000    1.0000    0.5000         0   -0.5000   -1.0000

Viimeinen esimerkki havainnollistaa sitä, että pienenevän jonon saamme kätevästi ottamalla negatiivisen askelpituuden h.

Usein on tarpeen jakaa annettu väli tasan n:ään osaan. Se voitaisiin tehdä tyyliin 

  h=(b-a)/n
  x=a:h:b
Tähän on myös valmis funktio linspace , vanha tuttavamme.

> x=linspace(a,b,n);

Funktiolla linspace on myös muoto linspace(a,b), jolloin n:n oletusarvona käytetään lukua 100. Tämä on tavallisessa käyrien piirtämisessä usein sopiva arvo.

Vertailua Mapleen

Maplessa perustyökalu vastaaviin säännöllisiin jonoihin on seq . Yllä oleva voitaisiin hoitaa Maplessa tähän tyyliin: 
> a:=-Pi: b:=Pi: n:=20:

> h:=(b-a)/n;
                                 h := 1/10 Pi

> x:=seq(a+k*h,k=0..n);
x := -Pi, - 9/10 Pi, - 4/5 Pi, - 7/10 Pi, - 3/5 Pi, - 1/2 Pi, - 2/5 Pi,

    - 3/10 Pi, - 1/5 Pi, - 1/10 Pi, 0, 1/10 Pi, 1/5 Pi, 3/10 Pi, 2/5 Pi,

    1/2 Pi, 3/5 Pi, 7/10 Pi, 4/5 Pi, 9/10 Pi, Pi

-> Sisällysluetteloon <-

Vektorin osat ja modifioiminen

Vektorista v voidaan poimia alkio indeksoimalla tyyliin v(3). Indeksinä voidaan käyttää kokonaislukuvektoria, joka usein muodostetaan kaksoispisteen avulla, tällöin siis viitataan osavektoriin.

Esim: 

>> v=rand(1,7)
v =
    0.7382    0.1763    0.4057    0.9355    0.9169    0.4103    0.8936
>> v(2:5)
ans =
    0.1763    0.4057    0.9355    0.9169

Mikään ei estä ottamasta mitä tahanasa jonoa vektorin indekseiksi kelpaavia kokonaislukuja (siis välillä 1 ... length(v)). Samaa lukua saa toistaa ja indeksilukujen järjestys saa hypähdellä miten vain. 

>> v([1 1 1 2 7 6 6 3])
ans =
  Columns 1 through 7 
    0.7382    0.7382    0.7382    0.1763    0.8936    0.4103    0.4103
  Column 8 
    0.4057

Vektorin osalle voidaan sijoittaa arvoksi jokin toinen vektori yksinkertaisesti tyyliin 

>> v(1:4)=[2 4 6 8]
v =
    2.0000    4.0000    6.0000    8.0000    0.9169    0.4103    0.8936

Tehtävä Miten kääntäisit vektorin alkiot vastakkaiseen järjestykseen kaksoispistettä käyttäen?

-> Sisällysluetteloon <-

5.2. Matriisit

Matriisien rakentelu osista ja matriisifunktioilla

Opimme edellä perustavat matriisien muodostamiseen, kuten 
>> A=[1 2 3;4 6 5]
Matlabissa on koko joukko tehokkaita funktioita erilaisten matriisien muodostamiseen. Eri tavoin muodostetuista osamatriiseista voidaan rakentaa isompia matriiseja näitä periaatteita noudattaen: Esim: 

>> A=[1 2 1;-1 2 3;-10 -11 -12]
A =
     1     2     1
    -1     2     3
   -10   -11   -12

>> b=[1;1;1];   % tai b=ones(3,1)
>> Ab=[A,b]
Ab =
     1     2     1     1
    -1     2     3     1
   -10   -11   -12     1

>> A_alle_trb=[A;b']
A_alle_trb =
     1     2     1
    -1     2     3
   -10   -11   -12
     1     1     1
>> [A,A,A]
ans =
     1     2     1     1     2     1     1     2     1
    -1     2     3    -1     2     3    -1     2     3
   -10   -11   -12   -10   -11   -12   -10   -11   -12

Otetaan tässä vertailu Mapleen.

Matriisienmuodostamisfunktioiden esittelyä

Nollamatriisi, ykkösmatriisi ja yksikkömatriisi saadaan funktioilla zeros(m,n), ones(m,n), eye(m,n) ("eye" lausutaan samalla tavoin kuin I.)

Nämä ja monet muut tuottavat neliömatriisin, jos niitä kutsutaan vain yhdellä argumentilla. Tämä on joskus epäjohdonmukaista, siksi suosittelemme aina kahden argumentin käyttöä.

Esimerkki 

>> [zeros(2,3),eye(2,2),ones(2,4)]
ans =
     0     0     0     1     0     1     1     1     1
     0     0     0     0     1     1     1     1     1
>> eye(size([ans;ans]))
ans =
     1     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     1     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     1     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     1     0     0     0     0     0

Eräitä matriisinmuodostamisfunktioita 
    ones     Ykkösistä koostuva matriisi
    zeros    Nollamatriisi
    rand     Satunnaislukumatriisi
    diag     Vektorista diagonaalimatriisi, 
             matriisin diagonaalivektori
    spdiags  Harvan matriisin muodostaminen diagonaaleista.
    blkdiag  Lohkodiagonaalimatriisi
    repmat   Matriisin rakentaminen toistamalla lohkoa.

Esimerkki 

>> A=rand(3,4)                      
A =
    0.4451    0.4186    0.2026    0.0196
    0.9318    0.8462    0.6721    0.6813
    0.4660    0.5252    0.8381    0.3795
>> diag(A)
ans =
    0.4451
    0.8462
    0.8381
>> diag(diag(A))
ans =
    0.4451         0         0
         0    0.8462         0
         0         0    0.8381

>> repmat(eye(2,2),2,3)
ans =
     1     0     1     0     1     0
     0     1     0     1     0     1
     1     0     1     0     1     0
     0     1     0     1     0     1

>> blkdiag(diag([-1,1]),2*ones(2,2))
ans =
    -1     0     0     0
     0     1     0     0
     0     0     2     2
     0     0     2     2

Viimemainittu on (ainakin isommassa tapauksessa) helpompi kuin 
>> [diag([-1,1]),zeros(2,2);zeros(2,2),2*ones(2,2)]

Osamatriisit

SKK ss 23 - 25, HIG s. 5

Alkuunpääsyosasssa esittelimme lyhyesti matriisin osiin viittausta. Kerrataan vielä: 

 A(:,[2,4,7])       A:n sarakkeet 2,4,7 kokonaisuudessaan.
 A(2:4,[2,4,7])     Samoista sarakkeista rivit 2,3,4.
 A(:)               A:n kaikki alkiot jonoutettuina sarakkeittain.
Aivan kuten vektorien tapauksessa, voidaan matriisin osaa muuttaa suoralla sijoituksella vastaavaan osamatriisiin tähän tapaan: 
>> A(1:2,[1 3 5])=-ones(2,3)
A =
    -1     4    -1    10    -1
    -1     5    -1    11    -1
     3     6     9    12    15
>> A(1:2,[1 3 5])=-1        
A =
    -1     4    -1    10    -1
    -1     5    -1    11    -1
     3     6     9    12    15
Jälkimmäinen komento havainnollistaa, että jos korvaavan matriisin alkiot ovat samoja, riittää antaa tuo yhteinen skalaari sijoituslauseessa. (Tämä on tavallaan "skalaarin laajennussäännön ilmentymä".)

Laajempia esimerkkejä

-> Sisällysluetteloon <-

-> Sisällysluetteloon <-

-> Sisällysluetteloon <-

-> Sisällysluetteloon <-