+ Mat-1.312 Matematiikan peruskurssi T2 / kevat 1996

Viviani'n ikkuna

- Varmuuden vuoksi: Poistetaan mahdolliset aiemmat muuttujat:

Input := 

Remove["Global`*"]

- Ladataan vektoritulo:

Input := 

<<LinearAlgebra`CrossProduct`
Input := 

?Cross
Cross[vec1, vec2] gives the vector product of the 3-vectors
   vec1 and vec2.
Input := 



+ Tapa 1: Pallopinnan parametrisointi xy-tason napakoordinaateilla

- Parametrisointi:

Input := 

x= r Cos[phi]; y= r Sin[phi];
z= Sqrt[R^2-x^2-y^2]//Simplify;

- Pintaintegraalin pinta-alkion laskeminen (piste on skalaaritulon merkki; komennon loppuun voidaan panna lisamaare //Simplify, mika vastaa taysin seuraavalla rivilla
annettavaa komentoa Simplify[%]):

Input := 

p= Cross[D[{x,y,z},r],D[{x,y,z},phi]]//Simplify
Output =

   2               2
  r  Cos[phi]     r  Sin[phi]
{--------------, --------------, r}
        2    2          2    2
 Sqrt[-r  + R ]  Sqrt[-r  + R ]
Input := 

dS= Sqrt[p.p]//Simplify
Output =

       2  2
      r  R
Sqrt[--------]
       2    2
     -r  + R

- Tarvitaan lisasievennys (miksi?):

Input := 

dS= PowerExpand[dS]
Output =

     r R
--------------
       2    2
Sqrt[-r  + R ]

- Pintaintegraalin laskeminen:

Input := 

Integrate[dS,{phi,-Pi/2,Pi/2},{r,0,R Cos[phi]}]
Output =

           2               2
-2 R Sqrt[R ] + Pi R Sqrt[R ]
Input := 

%//PowerExpand
Output =

    2       2
-2 R  + Pi R
Input := 



+ Tapa 2: Pallopinnan parametrisointi (R/2,0)-keskisilla napakoordinaateilla

- Parametrisointi:

Input := 

x= (R/2) + r Cos[phi]; y= r Sin[phi];
z= Sqrt[R^2-x^2-y^2]//Simplify;

- Pinta-alkion laskeminen:

Input := 

p= Cross[D[{x,y,z},r],D[{x,y,z},phi]]//Simplify
Output =

        r (R + 2 r Cos[phi])
{-----------------------------------, 
          2      2
 Sqrt[-4 r  + 3 R  - 4 r R Cos[phi]]
 
                2
             2 r  Sin[phi]
  -----------------------------------, r}
           2      2
  Sqrt[-4 r  + 3 R  - 4 r R Cos[phi]]
Input := 

dS= Sqrt[p.p]//Simplify//PowerExpand
Output =

               2 r R
-----------------------------------
         2      2
Sqrt[-4 r  + 3 R  - 4 r R Cos[phi]]

- Integrointi (tama johtaa raskaanpuoleiseen laskentaan; ala aktivoi solua, jos koneissa on kova kuormitus):

Input := 

Integrate[dS,{r,0,R/2},{phi,-Pi,Pi}]
Output =

                              2  2
                             r  R                 2      2
2 R Integrate[r ((2 Sqrt[--------------] Sqrt[-4 r  + 3 R ] 
                             2      2 2
                         (4 r  - 3 R )
 
                          -8 r R
         EllipticK[--------------------]) / 
                       2              2
                   -4 r  - 4 r R + 3 R
 
                        4 r R
       (r R Sqrt[1 - ------------]) + 
                         2      2
                     -4 r  + 3 R
 
                   2  2
                  r  R                 2      2
      (2 Sqrt[--------------] Sqrt[-4 r  + 3 R ] 
                  2      2 2
              (4 r  - 3 R )
 
                          8 r R
         EllipticK[--------------------]) / 
                       2              2
                   -4 r  + 4 r R + 3 R
 
                        4 r R                R
       (r R Sqrt[1 + ------------])), {r, 0, -}]
                         2      2            2
                     -4 r  + 3 R

- Integrointi symbolisesti ei onnistu (ainakaan silla versiolla 2.2 / PC-Windows,
jolla muistilehtio (Notebook) on tehty), joten tehdaan numeerisesti:

Input := 

NIntegrate[dS/.R->1,{r,0,(R/2)/.R->1},{phi,-Pi,Pi}]
NIntegrate::slwcon: 
   Numerical integration converging too slowly; suspect one of
     the following: singularity, oscillatory integrand, or
     insufficient WorkingPrecision.
NIntegrate::slwcon: 
   Numerical integration converging too slowly; suspect one of
     the following: singularity, oscillatory integrand, or
     insufficient WorkingPrecision.
NIntegrate::slwcon: 
   Numerical integration converging too slowly; suspect one of
     the following: singularity, oscillatory integrand, or
     insufficient WorkingPrecision.
General::stop: 
   Further output of NIntegrate::slwcon
     will be suppressed during this calculation.
Output =

1.14159

- Onko tulos sama kuin tavassa 1 ?

Input := 


(Pi-2)*R^2 /. R->1 //N
Output =

1.14159

o Kuva

- Pallon ja lierion parametrisoinnit:

Input := 

pallo= {Sin[th]Cos[phi],Sin[th]Sin[phi],Cos[th]}
Output =

{Cos[phi] Sin[th], Sin[phi] Sin[th], Cos[th]}
Input := 

lierio= {1/2+1/2 Cos[phi],1/2 Sin[phi],h}
Output =

 1   Cos[phi]  Sin[phi]
{- + --------, --------, h}
 2      2         2

- Kuvat:

Input := 

pallonkuva= ParametricPlot3D[pallo,
{th,0,Pi},{phi,-Pi,Pi},DisplayFunction->Identity]
ParametricPlot3D::ppcom: 
   Function pallo cannot be compiled; plotting will proceed
     with the uncompiled function.
Output =

-Graphics3D-
Input := 

lierionkuva= ParametricPlot3D[lierio,
{phi,-Pi,Pi},{h,-1,1},DisplayFunction->Identity]
ParametricPlot3D::ppcom: 
   Function lierio cannot be compiled; plotting will proceed
     with the uncompiled function.
Output =

-Graphics3D-
Input := 

Show[pallonkuva,lierionkuva,
DisplayFunction->$DisplayFunction]
Output =

-Graphics3D-
Input := 

Show[%,ViewPoint->{3,-0.5,2}]
Output =

-Graphics3D-

- Minkamuotoinen pallon ja lierion leikkauskayra oikeastaan on? Sivuavatko pallo ja lierio toisiaan?