http://www.math.hut.fi/teaching/p3/luentomateriaali/L5.html

Luento 5

ti 23.9.
KRE 7.6,...

7.6. Lineaariset yhtälösysteemit, ratkaisulause

Edellä luennolla 1 (saat, mutta ei tarvitse klikata ...) tulivat eri mahdollisuudet, jotka kerrataan tässä:

(a) r < m ja jokin bmato[i] # 0, r+1 <= i <= m
     Ei ratk.  
Esimerkki  

(b) r=n ja bmato[i]=0, i=r+1 .. m (tai nämä (i > r)bmadot puuttuvat (tap.  m=n))
      yksikäs. ratk. 
Esimerkki 

 (c) r < n ja bmato[i]=0, i=r+1 .. m (tai "kriittiset" bmadot puuttuvat
                                      (tap. m < n ja r = m) )
      äärettömän monta ratkaisua 
Esimerkki  (Myös (a)-kohdassa oli jo yksi.)

Muistetaan, että r oli viimeisen nollasta poikkeavan rivin indeksi.

Mitä vielä tarvitaan? Yllä olevissa ehdoissa on ainakin se puute, että niissä esintyy bmato, joka syntyy vasta erinäisten rivioperaatioiden jälkeen. Olisi tyydyttävää saada aikaan ehdot, jotka voitaisiin lausua alkuperäisen datan avulla, siis A-matriisin ja b-vektorin.

Tähän tarjoutuu oiva tilaisuus, kun käytettävissä on matriisin rangi.

Päälause (LINSYS)

KRE s. 362

Olkoon A (mxn) matriisi ja b sarakevektori (pituus m). Merk. taas:

         Amato=[A b]

(a) Systeemillä A x = b on ratkaisuja JOSS r(A)=r(Amato).

Oletetaan nyt, että ratkaisuja on, eli r(A)=r(Amato)=r.

(b) Jos r=n, niin yksikäsitteinen ratk.
(c) Jos r < n, niin n-p vapaasti valittavaa param. (äärettömän monta ratk.)

Tod ...

Homogeeninen systeemi

KRE s. 363

Lause 2 (Hsys)

Lause 3

Oli jo ..

Lause 4 (EHsys)

EH-ratk = H_yl+Eh_erityis

7.7 Käänteismatriisi

Käänteismatriisin olemassaolo

Neliömatriisi A (nxn). Käänteismatriisi on JOSS r(A)=n

Käänteismatriisi lasketaan Gauss-Jordanilla (oli jo, myös harj.)
Käänteismatriisia ei lasketa Cramerilla (emme edes opettele sitä)
Käänteismatriisia ei lasketa !

7.8 Determinantit

Otamme ne vain lyhyesti, etteivät ole aivan vieraita, kun tulevat vastaan ominaisarvojen yhteydessä. (Ovat varmasti olleet 1-2 peruskursseilla jotenkin esillä.) KRE s. 370 -> esitystapa on tarpeisiimme oikein sovelias. Lähdetään 2x2- determinantista ja laajennetaan tunnettuun tapaan yleisille n-rivisille. Muistathan: Determinantti on luku, kun taas matriisi on lukutaulukko.

7.9 Rangi ja determinantit

Lause 1

... erit. neliömatriisi on singulaarinen (eli ei kääntyvä) JOSS det(A)=0

Lause 4 (determinanttien kertosääntö)

det(AB)=det(A)det(B) Kaunis tulos, helppo muistaa, todistuskaan ei ole ollenkaan niin hankala, kuin voisi luulla. (kts. KRE ss. 384 - 385). Jätämme kuitenkin väliin (emmekä kysele kokeissa).

This page created by < Heikki.Apiola@hut.fi>
Last update Mon Sep 1 13:49:47 EET DST 1997