Luento 14-15

Polynomi-interpolaatio ja splinit

Newtonin interpolaatiomuoto

...

Polynomi-interpolaation vaaroja

Rungen esimerkki : 1/(1+x^2) välillä [-5,5]

Rungen koe (Matlabilla)

>> x=linspace(-1,1);y=1./(1+25*x.^2);
>> plot(x,y)
>> hold on


>> n=5;xd=linspace(-1,1,n);yd=1./(1+25*xd.^2);
>> plot(xd,yd,'o')

>> axis([-1.2 1.2 0 1])

Interpolaatiopolynomin kertoimet:

>> kert=polyfit(xd,yd,n-1);

ja arvo:

>> p=polyval(kert,x);

>> plot(x,p,'r')
>> axis([-1.2 1.2 -.5 1])
>> figure  % uusi kuvaikkuna
>> hold on
>> n=n+1;xd=linspace(-1,1,n);yd=1./(1+25*xd.^2);plot(x,y,xd,yd,'o')
>> kert=polyfit(xd,yd,n-1);p=polyval(kert,x);plot(x,p,'r')
(Alla oleva kuva syntyi tämäntyylisillä komennoilla, muttei täsmälleen näillä.)

Splinit

Yleisin: Kuutiollinen splini: koostuu 3. asteen polynomipaloista, liitoskohdissa 2. derivaatat jatkuvia.

Annettu arvovastaavuudet, kuten interpolaatiossa yleensä:

      x0,x1, ... , xn
      y0,y1, ... , yn

              S0(x), x in [x0,x1]
              S1(x), x in [x1,x2]

      S(x) =

              Sn-1(x), x in [xn-1,xn]

Ehdot:

 (1) Si(xi)=yi, Si(xi+1)=yi+1   , i=0...n-1  InterpEhdot
                                                    (2n kpl)
 (2) Si'(xi+1) = Si+1'(xi+1)  ,   i=0...n-2          1DerJatk
                                                     (n-1 kpl)
 (3) Si''(xi+1) = Si+1''(xi+1)  , i=0...n-2        2DerJatk
                                                     (n-1 kpl)

• Luonnolliset RE:t: S''=0 reunasolmuissa
• Clamped: S' on annettu (data peräisin funktiosta, jonka derivaatta reunalla tunnetaan.
• "NOT-A-KNOT": Kolmas derivaatta jatkuva laitimmaisissa sisäsolmuissa, jolloin nuo sisäsolmut eivät oikeasti olekaan solmuja, vaan laitapolynomipalat yhtyvät yhdeksi polynomiksi.

Splinikertoimien johto

... jatkuu (tämäkin on hieman vaivalloista, eli vaatii enemmän aikaa kuin luentojen väliyön ... )